CAPITOLO 2
BIPOLI ELEMENTARI
2.1 Introduzione
Spesso nel linguaggio tecnico si fa uso dello stesso termine per indicare sia il componente
che concretamente realizza una certa relazione costitutiva, sia il componente “ideale” che
ritroviamo negli schemi circuitali. Naturalmente, mentre nel primo caso, la relazione
costitutiva è da intendersi come approssimazione che descrive in maniera soddisfacente il
comportamento del componente in un certo insieme dei parametri, nel secondo caso essa è
una legge esatta che descrive completamente il comportamento di un componente ideale
opportunamente estrapolato da quello reale. Anche se questa ambiguità di linguaggio non può
comportare confusione, in quanto sono sempre ben chiari i limiti del modello entro cui si
intende operare, è importante mentre si sta costruendo una teoria operare la distinzione tra il
componente fisico e il componente ideale che lo rappresenta nel modello che si sta costruendo. Per
questa ragione chiameremo elemento circuitale il componente ideale.
L'elemento circuitale è solo un modello e ogni modello costituisce una approssimazione. A
seconda dell'applicazione, lo stesso componente può essere rappresentato da diversi elementi
circuitali. Il modello di un componente può essere, in generale, anche un oggetto complesso costituito
da più elementi circuitali. D'altronde, uno stesso elemento circuitale può rappresentare il
funzionamento di componenti diversi tra loro.
Il rapporto tra componente e elemento circuitale può essere interpretato da due opposti
punti di vista. Si può pensare di partire dal componente, individuarne la relazione costitutiva magari sperimentalmente oppure risolvendo un modello di campo così come abbiamo fatto
nel Capitolo precedente - e quindi costruire per estrapolazione il corrispondente elemento
circuitale che lo rappresenta. Viceversa è anche possibile immaginare una determinata
relazione costitutiva - di cui magari si sente una esigenza per una particolare applicazione - in
base alla quale definire un nuovo elemento circuitale e successivamente, se possibile,
costruire un componente che ne approssima adeguatamente il comportamento. Dal punto di
vista “storico” si può dire, evidentemente, che entrambe le strade sono state percorse: la prima
per i componenti cosiddetti “elementari” e la seconda per quelli più complessi. Anche noi ci
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riserveremo per opportunità didattica, la possibilità di introdurre i diversi elementi circuitali
secondo i due distinti punti di vista cominciando, naturalmente, dagli elementi circuitali elementari
con due terminali.
Gli elementi circuitali a due terminali, cioè i bipoli, rivestono un ruolo fondamentale nella teoria
dei circuiti. Nel precedente Capitolo abbiamo illustrato come sia possibile modellare alcuni
componenti a partire dalla loro costituzione fisica, utilizzando le equazioni di Maxwell. Così facendo
siamo giunti al concetto di bipolo resistore, generatore costante di tensione, condensatore e induttore.
In questo Capitolo oltre a completare la descrizione dei bipoli elementari, ci soffermeremo su quelle
che sono le loro proprietà fondamentali.
Una prima classificazione fondamentale dei bipoli li distingue in lineari e non lineari.
Evidentemente è lineare un bipolo la cui relazione costitutiva sia di tipo lineare. Una seconda
classificazione dei bipoli, che è conveniente introdurre, è quella che li distingue in bipoli statici e
bipoli dinamici. I primi sono bipoli caratterizzati da un legame tra la tensione e corrente di tipo
algebrico. I bipoli dinamici sono invece caratterizzati da un legame tra tensione e corrente più
complesso nel quale è presente, ad esempio, la derivata di una delle due grandezze elettriche. Questi
bipoli, quando presenti, introducono equazioni differenziali ordinarie nelle equazioni circuitali,
ampliando notevolmente la complessità del comportamento della rete elettrica.
Cominciamo con il distinguere i bipoli in due grandi classi, i bipoli statici (detti, anche, bipoli
senza memoria) e i bipoli dinamici (detti, anche, bipoli con memoria).
Definizione: bipolo statico e bipolo dinamico
• Un bipolo si dice statico se il valore della corrente nel generico istante dipende solo dal valore
della tensione in quell'istante (e viceversa), cioè la corrente e la tensione verificano la relazione
I
dove
I
v i = 0 ,
(1)
v i è una funzione delle due variabili v e i; in generale la funzione f può dipendere
esplicitamente dal tempo, che in questo caso svolge solo il ruolo di un parametro.
• Un bipolo si dice dinamico se il valore della corrente (della tensione) nel generico istante t
dipende dalla storia della tensione (della corrente), cioè da tutti i valori (o almeno da una parte di
essi) che la tensione v(t) (la corrente i(t)) assume per t ≤ t . In un bipolo dinamico la corrente e la
tensione verificano una relazione del tipo
F[v(⊇), i(⊇)]=0,
(2)
dove F è un funzionale non lineare; con v(⊇) e i(⊇) stiamo indicando, rispettivamente, le funzioni
che descrivono la tensione e la corrente nell'intervallo di tempo in cui sono definite (le “storie”
temporali) e con v(t) e i(t) i valori che esse assumono al generico istante t.
Più in generale, il funzionamento di un elemento circuitale statico è descritto da una relazione tra i
valori istantanei delle tensioni e delle correnti, mentre il funzionamento di un elemento circuitale
dinamico è descritto da una relazione che coinvolge la storia delle tensioni e delle correnti.
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2.2 Bipoli statici
Il simbolo che useremo per indicare un generico bipolo statico non lineare è mostrato in figura 1a.
In generale non è sempre possibile esprimere la relazione costitutiva di un bipolo non lineare
attraverso combinazioni di funzioni elementari. Questa difficoltà può essere superata
osservando che la relazione costitutiva (1) può essere rappresentata graficamente nel piano
Y − L (oppure nel piano L − Y ). La curva che così si ottiene è la curva caratteristica o
caratteristica del bipolo. I punti di tale curva rappresentano le possibili condizioni di
funzionamento del bipolo, figura 1b.
Figura 1 Simbolo per il generico bipolo statico (a); una possibile curva caratteristica (b).
La curva caratteristica di un bipolo è in generale non simmetrica, figura 1b. Ciò implica che la
funzione che descrive la relazione tra i αβ e v αβ è diversa da quella che descrive la relazione tra
i βα e v βα ( dove i βα = −iβα e vβα = −vαβ ). Questo è il motivo per cui nel simbolo che rappresenta
il bipolo c'è quel tratto in nero in basso: esso serve a distinguere i due terminali.
Figura 2 Bipolo statico simmetrico (a); bipolo statico tempo-variante (b).
Definizione: bipolo statico simmetrico
• Un bipolo statico si dice simmetrico se, per ogni punto (i,v) appartenente alla curva caratteristica
si ha che anche il punto (−i,−v) appartiene alla curva caratteristica.
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Un bipolo simmetrico ha una curva caratteristica simmetrica rispetto all’origine del piano i-v, figura
2a.
In generale la curva caratteristica di un bipolo statico può variare nel tempo, figura 2b.
Definizione: bipolo statico tempo invariante
• Un bipolo statico si dice tempo invariante se la curva caratteristica non dipende dal tempo.
L'equazione (1) definisce un legame implicito tra la tensione e la corrente. Non sempre è possibile
esplicitare questo legame nelle forme i=g(v) e/o v=r(i) dove g(·) e r(·) sono funzioni a un solo valore.
Definizione: bipolo statico controllato in tensione e bipolo statico controllato in corrente
• Un bipolo statico si dice controllato in tensione se per ogni valore ammissibile di tensione esiste
uno ed un solo valore di corrente che verifica la (1), figura 3a.
• Un bipolo statico si dice controllato in corrente se per ogni valore ammissibile di corrente esiste
uno ed un solo valore di tensione che verifica la (1), figura 3b.
Per un bipolo statico controllato in tensione la (1) può essere esplicitata nella forma
i=g(v),
(3)
dove g(·) è una funzione a un solo valore; in generale la funzione g(·) può essere non invertibile.
Invece per un bipolo statico controllato in corrente la (1) può essere esplicitata nella forma
v=r(i),
(4)
dove r(·) è una funzione a un solo valore; in generale la funzione r(·) può essere non invertibile. Se il
bipolo statico è controllato sia in tensione che in corrente, allora la funzione g(·) è l'inversa della
funzione r(·) e viceversa, figura 3c.
Figura 3 Bipolo statico controllato in tensione (a), in corrente (b), in tensione e in corrente (c).
Ora descriveremo le caratteristiche dei bipoli statici più significativi.
• Generatori indipendenti
Il generatore indipendente di tensione è il bipolo che ha la seguente relazione costitutiva
v=e(t),
dove e(t) è una funzione del tempo assegnata, indipendente dalla corrente che in esso circola.
(5)
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Il generatore indipendente di corrente è il bipolo che ha la seguente relazione costitutiva
i=j(t),
(6)
dove j(t) è una funzione del tempo assegnata, indipendente dalla tensione.
Figura 4 Simbolo del generatore indipendente di tensione (a), del generatore indipendente di corrente
(b), del resistore tempo invariante (c) e del resistore tempo-variante (d).
Il simbolo del generatore indipendente di tensione è illustrato in figura 4a e quello del generatore
indipendente di corrente è illustrato in figura 4b. Le rispettive curve caratteristiche sono illustrate in
figura 5a e 5b per il caso stazionario.
I generatori di tensioni sono controllati soltanto in corrente, mentre quelli di corrente sono
controllati soltanto in tensione. Inoltre per il generatore di tensione l'unico valore ammissibile di
tensione è e(t) e per il generatore indipendente di corrente l'unico valore ammissibile di corrente è
j(t). I generatori indipendenti sono bipoli non simmetrici. La relazione costitutiva dei generatori
indipendenti non verifica la proprietà di linearità.
Figura 5 Caratteristica del generatore indipendente di tensione (a), del generatore indipendente di
corrente (b), del resistore lineare (c), del corto circuito (d) e del circuito aperto (e).
• Resistore lineare
Il resistore lineare è definito dalla relazione costitutiva lineare 1
v=Ri,
dove la resistenza R (R 0 e R
(7)
), che in generale può essere variabile nel tempo, è una grandezza
indipendente sia da i che da v. Il resistore lineare è un bipolo simmetrico ed è controllato sia in
tensione che in corrente. Se R è indipendente dal tempo il resistore è tempo invariante. La resistenza
1
La relazione f{x}, che può essere anche di tipo funzionale, si dice lineare se, comunqe si scelgano x 1 e x 2 e le
costanti α 1 e α 2 si ha f ^α 1x1 + α 2 x 2 ` = α 1f ^ x1 ` + α 2 f ^ x2 ` ; la funzione Kx è lineare (K è una costante), mentre
Kx+h, x2, ... non sono lineari.
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R può essere anche negativa (poi faremo vedere come è possibile realizzare bipoli resistori con
resistenza negativa). In figura 4c è illustrato il simbolo del resistore lineare tempo-invariante e in
figura 4d il simbolo del resistore lineare tempo variante. In figura 5c è rappresentata la curva
caratteristica di un resistore tempo-invariante .
• Corto circuito e circuito aperto
Il corto circuito è definito dalla relazione costitutiva
v=0 per qualsiasi valore di i ,
(8)
cioè per qualsiasi valore della corrente i la tensione è nulla. Il simbolo di questo bipolo è illustrato
in figura 6a e la sua curva caratteristica in figura 5d. Esso può essere il modello di un tratto di
conduttore con elevata conducibilità (al limite infinita). Di tale natura, per esempio,
immaginiamo i collegamenti tra i diversi bipoli in un circuito. Naturalmente un buon
conduttore reale può al più approssimare tale comportamento, e l'approssimazione sarà tanto
migliore quanto più “corto” sarà il tratto di conduttore; ciò giustifica anche il nome “corto
circuito” dato al bipolo. La caratteristica di un generatore indipendente di tensione coincide con
quella del corto circuito quando e(t)=0 (cioè quando il generatore è spento) e così anche quella del
resistore nel limite R∅0.
Il circuito aperto è definito dalla relazione caratteristica
i=0 per qualsiasi valore di v,
(9)
cioè per qualsiasi valore della tensione v la corrente che in esso circola è nulla. Un tale bipolo si
potrebbe realizzare frapponendo tra i morsetti un materiale perfettamente “non conduttore”,
cioè un isolante ideale. Per questo motivo il bipolo prende il nome di “circuito aperto”. Il
simbolo del bipolo circuito aperto è illustrato in figura 6b e la sua curva caratteristica in figura
5e. Si osservi che la caratteristica di un generatore ideale di corrente coincide con quella del circuito
aperto quando la corrente j(t)=0 (cioè quando è spento e così anche quella del resistore nel limite
R∅•).
Figura 6 Simbolo del bipolo corto circuito (a), del bipolo circuito aperto (b); simbolo
dell'interruttore: si chiude a t = t1 (c) e si apre a t = t 2 (d).
Il corto circuito è controllato soltanto in corrente e l'unico valore ammissibile di tensione è v=0,
mentre il circuito aperto è controllato soltanto in tensione e l'unico valore ammissibile di corrente è
i=0; entrambi questi bipoli verificano la proprietà di linearità.
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• Interruttore
L'interruttore è un bipolo statico tempo-variante, il simbolo è illustrato in figura 6c e 6d. Quando
l'interruttore è aperto, la corrente è zero indipendentemente dal valore della tensione, mentre quando
è chiuso, la tensione è zero indipendentemente dal valore della corrente. Negli istanti di tempo in cui
l'interruttore è aperto la sua curva caratteristica coincide con quella del circuito aperto; negli istanti in
cui è chiuso la sua curva caratteristica coincide con quella del corto circuito. Il bipolo interruttore è
lineare.
• Interruttore periodico
L'interruttore periodico è un bipolo statico, tempo-variante e lineare. Il simbolo è illustrato in
figura 7. Per 0•t<t1, l'interruttore è aperto, la corrente è zero, e la caratteristica coincide con quella
del circuito aperto. Per t1•t<T, l'interruttore è chiuso, la tensione è zero, e la caratteristica coincide
con quella del corto circuito. Dopo un intervallo di tempo T l'interruttore ripete l'operazione.
Figura 7 Interruttore periodico.
• Diodo
Il diodo ha la caratteristica descritta in figura 8. Questo elemento è non lineare, non simmetrico,
tempo invariante, controllato sia in tensione che in corrente. Esso rappresenta il diodo a giunzione pn
nel funzionamento lentamente variabile.
Figura 8 Simbolo del diodo (a) e curva caratteristica (b).
• Diodo Tunnel
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Il diodo tunnel è il bipolo statico non lineare descritto dalla curva caratteristica rappresentata in
figura 9. Esso è un bipolo controllabile solo in tensione. Per i1 < i < i2 il bipolo non può essere
controllato in corrente. Infatti per i appartenente a questo intervallo esistono tre possibili valori di
tensione che verificano la relazione costitutiva.
Figura 9 Simbolo del diodo tunnel (a), e curva caratteristica (b).
Figura 10 Simbolo del tiristore (a) e curva caratteristica con il terminale di “gate” sconnesso (b).
• Tiristore con terminale di gate sconnesso
Il tiristore con il terminale di gate sconnesso (il modello a bassa frequenza del diodo a quattro
strati) è il bipolo statico con la caratteristica illustrata in figura 10. Esso, a differenza del
diodo tunnel, è controllato in corrente per ogni valore di corrente ed è controllato in tensione
solo per v < v1 e v > v 2 .
• Nullatore e noratore
Completiamo la panoramica dei bipoli statici introducendo altri due bipoli ideali le cui
caratteristiche sono invero molto singolari. La loro utilità, che può non essere chiara a prima
vista, risiede nel fatto che essi consentono di costruire modelli di componenti complessi. In
seguito verrà illustrato un esempio.
Il primo è il nullatore e cioè un bipolo ideale, il cui simbolo è illustrato in figura 11a,
definito dalla relazione costitutiva
v = 0,
i = 0.
(10)
Esso, a differenza di un bipolo corto circuito, impone tensione nulla con una corrente nulla.
Con un simile bipolo è possibile imporre che due nodi di un circuito abbiano lo stesso
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potenziale senza alterare la distribuzione delle correnti. Nel piano
L Y la caratteristica del
nullatore si riduce a un punto, l’origine degli assi.
L’altro bipolo è il noratore e cioè un bipolo ideale, il cui simbolo è illustrato in figura 11b,
che al contrario non impone alcun vincolo tra la tensione e la corrente: la tensione e la
corrente possono assumere valori qualsiasi. Il noratore, a differenza di un bipolo circuito
aperto, consente il passaggio di una qualsiasi corrente per una qualsiasi tensione. Con un
simile bipolo è possibile connettere diverse parti di un circuito senza alterare la distribuzione
delle tensioni.
Figura 11 Simbolo del nullatore (a) e del noratore (b).
2.3 Bipoli dinamici
I bipoli dinamici fondamentali sono il condensatore e l’induttore.
Il condensatore è il bipolo dinamico definito dalle equazioni
dq
i=
dt
q = Q(v; t),
(11)
dove q è la “carica” del condensatore e Q(v; t) è una funzione non lineare di v. In figura 12a è
illustrato il simbolo del condensatore non lineare e in figura 12b quello del condensatore lineare.
Nel condensatore il valore della corrente in un generico istante t dipende dalla storia della carica q
in un intorno di quell'istante e quindi dalla storia della tensione. L'insieme dei punti (v,q) nel piano vq prende il nome di curva caratteristica del condensatore. I concetti di condensatore simmetrico e
tempo invariante sono simili a quelli introdotti per i bipoli statici.
Figura 12 Simbolo del condensatore non lineare (a) e del condensatore lineare (b).
• Condensatore lineare
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Il condensatore lineare è definito dalla relazione costitutiva
q=Cv,
(12)
dove la capacità C è indipendente sia da q che da v e potrebbe dipendere dal tempo. Il condensatore
lineare è simmetrico. Se la capacità è costante nel tempo il condensatore è tempo invariante.
• Varactor
Il varactor è un condensatore non lineare definito dalla relazione caratteristica
−1.5C V 1 − v / V 2 /3
0 0(
0)
q =
0
v ≤ V0
v ≥ V0
(13)
dove C 0 e V 0 sono due parametri caratteristici. Il varactor descrive un componente (il diodo varactor)
che per v>V0 si comporta prevalentemente come un diodo (prevale la corrente di conduzione rispetto
a quella di spostamento). Pertanto un modello realistico del diodo varactor può essere ottenuto
collegando un diodo in parallelo a un varactor.
L'induttore è il bipolo dinamico il cui funzionamento è descritto dalle equazioni
dφ
v=
dt
φ = Φ i t (14)
dove φ è il “flusso” e Φ(i; t) è una funzione non lineare di i. In questo bipolo il valore della tensione
in un generico istante t dipende dalla storia del flusso in un intorno di t e quindi dalla storia della
corrente. In figura 13a è illustrato il simbolo dell’induttore non lineare e in figura 13b quello
dell’induttore lineare.
L'insieme dei punti (i,φ) nel piano i-φ prende il nome di curva caratteristica dell'induttore. I
concetti di induttore simmetrico e tempo invariante sono gli stessi che abbiamo illustrato per gli altri
bipoli.
Figura 13 Simbolo dell'induttore non lineare (a) e simbolo dell'induttore lineare (b).
• Induttore lineare
L'induttore lineare è definito dalla relazione caratteristica
φ=L i,
(15)
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dove il coefficiente di autoinduzione (o induttanza) L è indipendente dal flusso e dalla corrente; esso
potrebbe dipendere dal tempo. L'induttore lineare è simmetrico. Quando l'induttanza è costante,
l'induttore è tempo invariante.
• Induttore saturabile
L'induttore saturabile è l'induttore non lineare descritto dalla caratteristica grafica illustrata in
figura 14. Esso può rappresentare il modello di un avvolgimento realizzato su di un nucleo di
materiale ferromagnetico (in questo modello viene ignorato il fenomeno dell'isteresi magnetica).
Figura 14 Curva caratteristica dell'induttore saturabile
• Giunzione Josephson
La giunzione Josephson è l'induttore non lineare descritto dalla relazione
i = I0
VLQ
k 0 φ ,
(18)
dove I0 e k0 sono due parametri caratteristici. Esso è controllato solo in flusso e ammette solo i valori
di corrente appartenenti all'intervallo [−I0, I0].
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