Formulario elettrotecnica LKC: la sommatoria delle correnti entranti

Formulario elettrotecnica
LKC: la sommatoria delle correnti entranti in una superficie chiusa (o nodo) coincide con quella
delle correnti uscenti dalla stessa superficie (o nodo);
LKV: la sommatoria di tutte le tensioni ai capi dei nodi di una maglia aventi lo stesso verso è pari a
quella delle tensioni aventi verso contrario.
Avendo un circuto di N nodi e l lati possiamo scrivere:
N-1 LKC indipendenti e l-(N-1) LKV indipendenti.
Teorema di Tellegen:
definita come potenza assorbita da un bipolo Pa = VA*iA secondo la convenzione:
VA
A
iA
±∑ P i =0 dove Pi è presa col segno + se assorbita, col segno – se erogata.
I Bipoli:
un bipolo si può rappresentare con la sua relazione costitutiva oppure tramite la sua caratteristica sul
piano i, V.
serie di bipoli: considerando la serie di due bipoli come un unico bipolo con caratteristica V, i:
i2 = i1 = i; V = V1 + V2
parallelo di bipoli: considerando il parallelo di due bipoli come un unico bip. con caratteristica V, i:
i = i1 + i2; V = V1 = V2
serie di resistenze: RTOT = R1 + R2
R1R2
parallelo di resistenze: RTOT =
R1R2
R1V TOT
R1R2
R2 i TOT
partitore di corrente: considerando il parallelo di due resistenze i1=
R1R2
partitore di tensione: considerando la serie di due resistenze V1=
La sovrapposizione degli effetti: in un circuito lineare se ho n > 1 generatori indipendenti posso
spergnerli tutti eccetto uno a turno e risolvere gli n casi più semplici e alla fine del processo
sommare i risultati ottenuti da ciascuna semplificazione.
Equivalenti di Thévenin e Norton.
Ciascun bipolo lineare (a parte le eccezioni dei generatori) può essere visto:
• come un resistore RTH in serie ad un generatore ideale di tensiove VTH (Thévenin)
• la tensione ai capi del bipolo esprime VTH
VT
• spento il bipolo: si impone IT ai capi del bip. Si misura la VT R TH =
IT
• come un conduttore CN in parallelo ad un generatore ideale di corrente IN (Norton)
• la corrente ai capi del bipolo esprime IN
IT
1
=
• spento il bipolo: si impone VT ai capi del bip. Si misura la IN G N =
V T RTH
I Generatori pilotati non si devono mai spegnere per applicare la sovrapposizione degli effetti.
I Doppi Bipoli:
i1
i2
v1
v2
Rappresentazione implicita:
A v 1 B i 1 = esiste sempre ed è omogenea ( ρ = 0 ) solo se non ci sono generatori
v2
i2
indipendenti all'interno del bipolo. Nel caso del doppio bipolo |A| = |B| = 2x2.
Scriviamo le matrici A = [vI, vII] e B = [iI, iII] come affiancamente di vettori colonna.
[] []
Rappresentazioni esplicite:
•
R = -[vI, iII]-1[iI, iII]
G = - [iI, iII]-1[vI, iII] = R-1
•
H1 = - [vI, iII]-1[iI, vII]
H2 = - [iI, vII]-1[vI, iII] = H1-1
•
T1 = - [vI, iI]-1[vII, -iII]
T2 = - [vII, -iII]-1[vI, iI] = T1-1
Non esistono sempre perchè per ricavarle bisogna fare un'inversione di matrice.
Invertire una matrice 2x2 equivale a moltiplicare l'inverso del determinante per la matrice ottenuta
scambiando di posto gli elementi sulla diagonale principale e invertendo di segno quelli sulla
diagonale secondaria.
Per ricavare la rappresentazione implicita devo risolvere il circuito.
Per ricavare le reppresentazioni esplicite posso partire dalla rapprentazione implicita oppure usare
questo accorgimento che semplifica un po' il circuito:
v
v
v 1 = r 11 r 12 i 1
r 11= 1 |i =0
r 12= 1 |i =0
r 21 r 22 i 2
i1
i2
v2
v
v
r 21= 2 |i =0
r 11 = 2 |i =0
i1
i2
Si nota che, se il d.b. è puramente resistivo, la matrice R è simmetrica.
Anologo il procedimento con le altre matrici.
[][
][ ]
2
1
2
1
Data una rappresentazione di un d.b. ci sono infiniti d.b. che la realizzano.
Ne consegue che se ci viene dato lo schema di un d.b. con componenti al suo interno parametrici
possiamo calcolare la sua rappresentazione equivalente a quella data e poi risolvere il sistema che
uguaglia le due rappresentazioni.
Alcuni d.b. notevoli che si usano per questo “giochetto” sono:
• Circuito a T: --Ra--|--Rb-Rc
-------|-------R R c
Rc
R= a
Rc
RbR c
Nel caso in cui la matrice R non sia simmetrica è utile scomporla in somma di una simmetrica e
un'altra con diagonale principale nulla.
[
]