ANALISI MATEMATICA 3
a.a. 2013-2014
Insegnamento: Analisi Matematica 3
Docente: Isabella Ianni
Settore Scientifico - Disciplinare: MAT/05
CFU
ORE
8=8L
64
Obiettivi formativi: Acquisire una conoscenza della teoria della misura secondo Lebesgue e della
teoria dell’integrale di Lebesgue. Introduzione allo studio all’analisi complessa.
Propedeuticità: Analisi Matematica 2, Algebra 1, Geometria 1
Modalità di svolgimento: lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale e di una prova scritta.
Legenda:
L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
PARTE I: ANALISI REALE
Misura secondo
Lebesgue.
La misura secondo Peano-Jordan in R: richiami, misura esterna, misura interna,
misurabilità secondo Peano-Jordan, esempio di insieme non misurabile. La
misura esterna di Lebesgue: definizione, proprietà di monotonia, regolarità,
estensione, sigma-subadditività, invarianza per traslazione. Gli insiemi
numerabili hanno misura esterna nulla.
Insiemi misurabili secondo Lebesgue in R: definizione, complementare di un
insieme misurabile è misurabile, gli insiemi di misura esterna nulla sono
misurabili. Chiusura della misurabilità rispetto all'unione al più numerabile (e
all'intersezione al più numerabile), sigma-additività della misura esterna su
insiemi misurabili e a due a due disgiunti. Successioni di insiemi monotone
rispetto all'inclusione. Il traslato di un insieme misurabile è misurabile.
Esempi di insiemi misurabili: semirette, intervalli, aperti e chiusi.
Caratterizzazione degli insiemi misurabili: approssimabili con aperti che li
contengono o con chiusi in essi contenuti (dimostrazione solo della condizione
necessaria). Definizione della sigma-algebra degli insiemi misurabili secondo
Lebesgue.
Definizione della misura di Lebesgue. Esempio di insieme non misurabile secondo
Lebesgue (tramite assioma della scelta). Definizione della sigma-algebra di
Borel e legame con la sigma-algebra degli insiemi misurabili
Funzioni misurabili: definizione. Le funzioni continue sono misurabili. Somma e
prodotto di funzioni misurabili è misurabile. Massimo, minimo, sup, inf, limite,
parte positiva, parte negativa e modulo di funzioni misurabili è misurabile.
Definizione di quasi ovunque (q.o.). Una funzione uguale quasi ovunque a una
funzione misurabile è misurabile. Funzioni caratteristiche e funzioni semplici.
Le funzioni misurabili sono continue a meno di un insieme di misura
arbitrariamente piccola. Legame tra convergenza q.o. di successioni di funzioni
misurabili e convergenza uniforme, Teorema di Egorov, controesempi.
Teoria dell'integrazione.
Richiami sull'integrale di Riemann (mediante funzioni a gradino) ed esempio di
funzione non integrabile secondo Riemann.
Definizione di integrale di Lebesgue per funzione semplice definita su un
insieme di misura finita. Proprietà dell'integrale di funzione semplice:
linearità e monotonia.
Integrale per funzioni limitate definite su un insieme di misura finita
(mediante funzioni semplici). Una funzione limitata e definita su un insieme di
misura finita è integrabile se e solo se è misurabile. Una funzione limitata,
definita su un intervallo chiuso e limitato, e integrabile secondo Riemann è
integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono. Proprietà
dell'integrale di funzioni misurabili, limitate e definite su un insieme di
misura finita.
Successioni di funzioni misurabili, limitate e definite su un insieme di misura
finita: Teorema di convergenza limitata.
Definizione di integrale per funzioni misurabili, limitate, non negative q.o. e
strettamente positive solo su un insieme di misura finita.
Definizione di integrale per funzioni misurabili e non negative q.o.. Esempi di
funzioni (misurabili e non negative q.o.) con integrale infinito. Proprietà
dell'integrale di funzioni misurabili e non negative q.o.
Successioni di funzioni misurabili e non negative q.o.: Lemma di Fatou,
Teorema di convergenza monotona di Beppo Levi, applicazione del Teorema di Beppo
Levi alle serie. Sommabilità di funzioni misurabili e non negative q.o. e
proprietà di linearità dell'integrale per funzioni sommabili. Teorema di
Chebyshev per funzioni misurabili, non negative q.o. e sommabili. Assoluta
continuità dell'integrale di funzioni misurabii, non negative q.o. e sommabili.
Sommabilità di funzioni misurabili (di segno qualunque).
L'integrale generale di Lebesgue (per funzioni misurabili e sommabili. Proprietà
dell'integrale. Teorema di convergenza dominata di Lebesgue.
Misure prodotto.
Definizione di misura in R^2. Semi-algebre. Misura definita a partire da una
semi-algebra. Intervalli e rettangoli.
Misurabilità dei rettangoli in R^2 (senza dimostrazione). Il teorema di FubiniTonelli per funzioni caratteristiche di insiemi di misura finita.
Approssimazione di funzioni non negative con successioni crescenti di funzioni
semplici. Il teorema di Tonelli. Il teorema di Fubini.
Gli spazi L^p(E)
Cenni di analisi funzionale: gli spazi metrici, distanza, spazi metrici
completi. Definizione dello spazio metrico L^1(E). Completezza di L^1(E).
Disuguaglianze di Young e di Holder. Spazi L^p(E), 1<p<+infinito e
L^{infinito}(E) e loro completezza. Inclusioni di spazi L^p(E) per insiemi E di
misura finita. Convergenza in L^p, convergenza in misura e convergenza quasi
ovunque
PARTE II: ANALISI COMPLESSA
Funzioni complesse di variabile complessa e continuità
Richiami sui numeri complessi. Richiami di topologia in $\mathbb C$ e
convergenza di successioni in C. Funzioni complesse di variabile complessa.
Limiti e continuità.
Funzioni olomorfe
Derivabilità nel campo complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann e condizioni
necessarie e sufficienti per la derivabilità. Definizione di funzione olomorfa.
Funzioni elementari: potenza, esponenziale complesso, seno e coseno complessi.
Prime proprietà delle funzioni olomorfe (combinazione lineare, prodotto e
composizione di funzioni olomorfe), teorema di invertibilità locale,
ortogonalità di curve di livello di parte reale e parte immaginaria. Una
funzione olomorfa è una funzione conforme.
Integrale curvilineo di una funzione complessa (e continua) lungo una curva
regolare a tratti
Definizione. Principali proprietà dell'integrale curvilineo (deducibili
dall'integrale delle forme differenziali associate). L'integrale curvilineo di
una funzione olomorfa sul bordo orientato di un dominio regolare con k buchi è
nullo (se f è continua fino al bordo).
Primitive di funzioni complesse
Definizione di primitiva di una funzione continua. Condizioni necessarie e
sufficienti per l'esistenza della primitiva e legame con esistenza di primitive
delle forme differenziali associate. Una funzione olomorfa in un dominio
semplicemente connesso ammette primitiva (e una funzione olomorfa ammette
primitiva locale). Definizione del logaritmo complesso (come primitiva) e
proprietà.
La formula di Cauchy
La formula di Cauchy. Principio di massimo modulo. Continuità e derivabilità di
integrali dipendenti da parametro. Una funzione olomorfa è C^{\infty} e formula
di Cauchy per ciascuna derivata. Teorema di Morera. Teorema di Liouville.
Corollario del teorema di Liouville: Teorema Fondamentale dell'Algebra.
Successioni e serie di funzioni complesse
Convergenza puntuale e uniforme di successioni e teorema di passaggio al limite
sotto il segno di integrale curvilineo. Convergenza uniforme di funzioni
olomorfe (teorema di Weierstrass). Convergenza puntuale, assoluta, uniforme,
totale di serie di funzioni.
Serie di potenze e funzioni analitiche
Definizione di serie di potenze e studio della loro convergenza. Funzioni
analitiche: definizione e legame con funzioni olomorfe.
Zero di una funzione olomorfa e ordine di uno zero. Una funzione olomorfa nulla
su una successione di punti convergente è identicamente nulla su tutto il
dominio; condizioni sufficienti per unicità della funzione olomorfa in un
dominio. Prolungamento analitico di funzioni reali di variabile reale.
Serie di Laurent
Definizione e loro convergenza. Una funzione olomorfa in una corona circolare
ammette un unico sviluppo in serie di Laurent. Classificazione dei punti di
singolarità per una funzione olomorfa in un disco bucato (ed esempi). Teorema di
caratterizzazione della singolarità eliminabile. Teorema di caratterizzazione
della singolarità di tipo polo. Condizione necessaria per singolarità
essenziale.
Residui
Definizione. Calcolo del residuo in un polo (di ordine 1 e di ordine m, m>1).
Teorema dei residui per il calcolo dell'integrale curvilineo di una funzione
olomorfa con singolarità. Residuo all'infinito e secondo teorema dei residui per
calcolo dell'integrale curvilineo di una funzione con singolarità.
Applicazioni del teorema dei residui: calcolo dell'integrale di alcuni tipi di
funzioni di variabile reale, calcolo del valore principale secondo Cauchy
dell'integrale di funzioni di variabile reale (senza singolarità sull'asse
reale)
