Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Anno Accademico 2008/09
Programma di Complementi di Matematica / Analisi
A.Capozzi
Spazi normati.
Spazi vettoriali. Spazi normati. Spazi con prodotto scalare.
Integrazione secondo Lebesgue.
Misura secondo Lebesgue. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue delle funzioni misurabili. Teoremi fondamentali.
Spazi Lp .
Funzioni di variabile complessa
Il campo dei numeri complessi. Funzioni di variabile complessa. Definizione di ez , sinz, cosz, sihz, coshz, logz, zμ .
Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy-Riemann. Integrale di una funzione complessa di variabile reale. Integrale di
una funzione complessa di variabile complessa. Teorema di Cauchy-Goursat. Prima formula di Cauchy. Seconda
formula di Cauchy. Serie di potenze. Analiticità delle funzioni olomorfe. Sviluppo in serie di potenze di ez , sinz, cosz,
sihz, coshz. La serie di Laurent. Zeri di una funzione olomorfa e loro caratterizzazione. Principio di identità delle
funzioni olomorfe. Singolarità isolate delle funzioni olomorfe e loro caratterizzazione. Teorema di Picard. Teorema di
Casorati. Il punto all’infinito. Residui. Calcolo dei residui nei poli del primo ordine. Calcolo dei residui nei poli
multipli. Il teorema dei residui. Applicazioni del teorema dei residui. Calcolo di integrali di linea con il metodo dei
residui. Calcolo degli integrali di funzioni del tipo F(cost, sent). Valore principale dell’integrale. Relazione tra integrale
di Lebesgue, integrale improprio e valore principale. Lemmi di Jordan. Calcolo del valore principale dell’integrale per
mezzo del teorema dei residui. Scomposizione in fratti semplici. Cenni sulle trasformazioni conformi.
Spazi di Hilbert e serie di Fourier.
Sistemi ortonormali. Il teorema della proiezione. Serie di Fourier in L2 .
Cenni sulle equazioni differenziali alle derivate parziali.
Generalità. Equazioni lineari del II ordine. Classificazione. Il problema di Cauchy. Caratteristiche. Alcune equazioni.
Altri problemi associati. Formulazione astratta del problema. Nozione di problema ben posto. Equazione di d’Alembert.
Equazione di d’Alembert con condizioni al bordo e con condizione iniziale. Equazione del calore. Equazione di
Laplace. Proprietà delle funzioni armoniche. Equazione di Laplace sul cerchio.
Cenni sulle trasformate di funzioni.
La trasformata di Fourier in L1 e in L2. La trasformata di Laplace. Applicazione alle equazioni differenziali alle derivate
parziali.
Dimostrazioni dei teoremi : 3.9.2 – 3.9.3 – 3.10.1 – 3.10.2 – 3.10.3 – 3.13.1 – 3.13.2 – 3.13.3.
Testo di riferimento:
G. Di Fazio , M. Frasca, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Monduzzi Ed.
Altri testi di riferimento:
M. Codegone, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Zanichelli Ed.
G. Cicogna,Metodi matematici della Fisica, Springer
C.D. Pagani , S. Salsa, Analisi Matematica, volume 2, Masson