Programma del corso Analisi Matematica 3

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Programma del corso Analisi Matematica 3
A.A. 2016/17, proﬀ. C. Tarsi, E. Terraneo
1. Complementi di Calcolo Diﬀerenziale [1, 3]
Funzioni implicite. Teorema del Dini. Teorema di invertibilità locale. Massimi e minimi
vincolati, moltiplicatori di Lagrange.
2. Forme diﬀerenziali lineari [1, 3]
Forme diﬀerenziali in Rn . Integrale curvilineo di una forma diﬀerenziale. Forme differenziali esatte, caratterizzazione delle forme direnziali esatte. Forme diﬀerenziali chiuse.
Domini connessi, stellati e semplicemente connessi. Relazione tra forme diﬀerenziali esatte
e forme chiuse.
3. Misura e integrazione [2]
Misura esterna di Lebesgue. Insiemi di misura nulla. Insiemi misurabili e loro proprietà.
Funzioni misurabili e loro prorietà. Funzioni semplici. Approssimazione di funzioni misurabili tramite funzioni semplici. Integrale di Lebesgue e sue proprietà. Teorema di
Beppo-Levi o della convergenza monotona. Lemma di Fatou. Teorema di Lebesgue sulla
convergenza dominata. Relazione tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue.
4. Integrali iterati [1, 4]
Misurabilità delle sezioni di insiemi misurabili e delle restrizioni di funzioni misurabili.
Teorema di Fubini. Teorema di Tonelli. Cambiamento di variabili. Coordinate polari,
cilindriche e sferiche.
5. Teorema di Gauss-Green e sue conseguenze [1]
Domini regolari. Formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza nel piano.
Formula di Stokes nel piano.
6. Superﬁci e integrali di superﬁcie [1]
Superﬁci regolari parametrizzate in R3 . Spazio tangente e versore normale. Cambiamento di parametro ammissibile. Integrale di superﬁcie. Teorema della divergenza in R3 .
Superﬁci orientabili e superﬁci con bordo. Teorema di Stokes in R3 .
Bibliograﬁa
[1] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2, Liguori Editore.
[2] E. Lanconelli, Lezioni di Analisi Matematica 2, prima parte, Pitagora Edizioni.
[3] C. Maderna, P.M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica II, Città Studi Edizioni.
[4] G. Molteni, M. Vignati, Analisi Matematica 3, Città Studi Edizioni.