Doppi bipoli

10. Doppi Bipoli (O RETE A DUE PORTE).
Si consideri una rete accessibile da quattro morsetti distinti (1), (2), (1’) e (2’)
Fig.1
e si supponga siano presenti due porte, ad esempio (1)-(1’) e (2)-(2’), ovvero che
valgano per ogni istante le relazioni
i1 (t )  i1' (t )
i2 (t )  i2' (t )
Fig.2
In questo caso si parlerà di doppio bipolo o rete a 2 porte. In generale ha interesse il
comportamento di un doppio bipolo alle porte, che è caratterizzato da una coppia di
relazioni tra le due tensioni e le due correnti di porta; queste impongono due vincoli
alle quattro grandezze elettriche e lasciano loro due gradi di libertà. Per meglio
chiarire questi concetti consideriamo le caratteristiche generali di porta di un bipolo.
Questa caratteristica può esprimersi nel caso generale tramite una funzione implicita
del tipo
F(v, Dv, i, Di, t ) = 0
dove con il simbolo Dv e Di stiamo indicando la dipendenza dalle derivate (di ordine
arbitrario) della tensione e della corrente (questa sta ad indicare che il legame tra la
tensione e la corrente che il bipolo impone può essere dinamico). La dipendenza
esplicita dal tempo t nell'espressione precedente sta ad indicare invece la tempo
varianza della caratteristica. Qualora sia possibile esplicitare la tensione o la corrente
in funzione dell'altra grandezza elettrica alla porta, cioè ricavare espressioni del tipo
v = r( i, Di, t )
i = g(v,Dv, t )
avremo a che fare con un bipolo che può essere comandato o in corrente o in
tensione. Se inoltre il bipolo non è dinamico (non c'è la dipendenza dalle derivate
delle grandezze) avremo a che fare con un bipolo resistivo, nel caso più generale non
lineare e tempo variante. La situazione più interessante ai fini pratici è quello in cui il
legame è espresso da un'equazione algebrica o integro-differenziale lineare tempo
invariante, in quanto in questo caso è possibile scrivere il legame in maniera
semplice, ad esempio in termini di impedenza o ammettenza in un dominio
trasformato o in regime sinusoidale.
10.1 Doppi bipoli Lineari tempo invarianti.
Un doppio bipolo si dirà lineare tempo invariante se e solo se esso contiene elementi
lineari tempo invarianti e generatori indipendenti. Senza perdere di generalità
considereremo doppi bipoli LTI che non contengono alcun generatore e che non
abbiano energia immagazzinata negli elementi a memoria, cioè doppi bipoli a stato
zero. Gli effetti di eventuali generatori indipendenti e di energia immagazzinata negli
elementi a memoria possono essere tenuti in conto separatamente applicando il
teorema di sovrapposizione degli effetti o ricorrendo alle rappresentazioni equivalenti
alla Norton o Thevenin alle porte che sono a tutti gli effetti una generalizzazione dei
teoremi di Thevenin e Norton per reti a n porte. In questo caso lo schema equivalente
alla Thevenin è presentato nella seguente figura, dove con V01 e V02 sono le tensioni
equivalenti a vuoto alla porta 1 e alla porta 2 rispettivamente.
V01
V02
Fig.3
La rappresentazione più generale possibile per un doppio bipolo inerte che descrive il
suo comportamento esclusivamente in termini delle grandezze alle due porte è la
seguente
[A][v] + [B][i] = 0
dove [V] = [V1 V2]T e [I] = [I1 I2]T sono i vettori di ordine due corrispondenti alle
tensioni e alle correnti di porta. La due matrici [A] e [B] rappresentano i legami
presenti fra le varie grandezze di porta. I termini di tali matrici sono o numeri
complessi se stiamo usando fasori o funzioni razionali fratte nella variabile s se
stiamo usando la trasformata di Laplace, in questo caso gli elementi di tali matrici
sono funzioni di rete.
La rappresentazione di un doppio bipolo mediante le matrici [A] e [B] è sempre
possibile, ma richiede più parametri (esattamente 8, cioè 4 per ogni matrice) di quelli
effettivamente necessari per la caratterizzazione della rete a due porte. Per queste
ragioni si preferisce utilizzare altre descrizioni che richiedono complessivamente solo
4 parametri per la caratterizzazione del doppio bipolo. Queste rappresentazioni si
ottengono (almeno le più comuni) esplicitando due delle quattro grandezze elettriche
alle porte. Osserviamo a questo punto che:
1. da ogni scelta delle due grandezze corrisponde una rappresentazione diversa, ma
in totale le scelte possibili sono 6, tante quante sono le coppie estraibili da un
gruppo di quattro grandezze;
2. non è detto che per un doppio bipolo esistano tutte e sei le suddette
rappresentazioni. Comunque ne esiste necessariamente una. Questo è facile da
dimostrare in quanto le due equazioni sono linearmente indipendenti e quindi
possiamo sicuramente esplicitare due grandezze in funzione delle altre due.
I vari tipi di rappresentazioni risultano utili in situazioni diverse, ma comunque sono
equivalenti e qualora esistano è possibile passare agevolmente da una
rappresentazione ad un’altra. Passiamo ora ad una descrizione più dettagliata delle
varie rappresentazioni.
Matrici Z e Y
La matrice Z, detta matrice di impedenza di circuito aperto, e la matrice Y, detta
matrice di ammettenza di cortocircuito, mettono in relazione il vettore delle tensioni
di porta V con il vettore delle correnti di porta I. Consideriamo la rappresentazione
mediante la matrice delle impedenze [Z(s)] (2x2) o parametri z, questa si ottiene, se
possibile, considerando come variabili indipendenti le correnti nelle porte. Secondo
questa rappresentazione si ha:
[V(s)]=[Z(s)][I(s)]
(*)
Il termine Z11(s) prende il nome di impedenza di ingresso a vuoto, essendo
l'impedenza che si vede alla porta 1 quando la porta 2 è aperta (I 2=0), mentre Z22(s),
per ragioni analoghe si chiama impedenza d'uscita a vuoto. I termini ingresso e uscita
si riferiscono alla porta 1 e 2 rispettivamente. I termini Z12(s) e Z21(s) prendono il
nome di impedenze mutue o di trasferimento, in quanto esprimono l'influenza delle
grandezze elettriche di una porta su quelle dell’altra porta.
La definizione operativa delle Zij(s) per gli elementi non diagonali è
Z12 (s)  ( V1 / I 2 ) |I1  0
Z21 (s)  ( V2 / I1 ) |I 2  0
Cioè per determinare Z12 si collega un generatore di corrente alla porta 2 e si misura
(o si valuta) la tensione alla porta 1, calcolando il rapporto tra queste due grandezze.
Analogo discorso può ripetersi per la Z21.
In generale il doppio bipolo può ammettere anche la rappresentazione duale a quella
mediante parametri z, introducendo la matrice delle ammettenze [Y]. Secondo questa
rappresentazione si ha:
[I(s)]=[Y(s)][V(s)]
(**)
Il termine Y11(s) prende il nome di ammettenza di ingresso di corto circuito, essendo
l'ammettenza che si vede alla porta 1 se la porta 2 è chiusa in corto circuito (quindi
Y11 non è l'inversa di Z11). Analogamente Y22(s) si chiama ammettenza di uscita di
corto circuito. I termini Y12(s) e Y21(s) sono chiamati ammettenze mutue o di
trasferimento. La definizione operativa dei parametri y è per i termini mutui
Y12 (s)  ( I1 / V2 ) |V1  0
Y21 (s)  ( I 2 / V1 ) |V2  0
Nel caso in cui un doppio bipolo ammetta sia la descrizione in termini di matrice [Z]
sia in termini di matrice [Y] allora si ottiene subito considerando la (*) e la (**) che
[Z]=[Y]-1 e viceversa.
Matrici ibride H e G
Le matrici ibride mettono in relazione un vettore le cui componenti sono una tensione
ad una porta e una corrente all'altra porta, con il vettore le cui componenti sono le
rimanenti variabili di porta e vengono indicate con i simboli matrici H e G:
V1 (s)  h11I1 (s)  h12 V2 (s)

I 2 (s)  h 21I1 (s)  h 22 V2 (s)
e
I1 (s)  g11V1 (s)  g12 I 2 (s)

V2 (s)  g 21V1 (s)  g 22 I 2 (s)
Individuiamo in modo analogo a quanto fatto in precedenza il significato dei singoli
parametri:
- h11 esprime l'impedenza che si vede alla porta 1 quando la porta 2 è cortocircuitata (l'inverso di Y11);
- h12 è il rapporto tra la tensione alla porta 1 e la tensione alla porta 2 quando la
porta 1 è aperta (cioè è il guadagno di tensione tra la porta 2 e la porta 1 aperta);
- h21 è il rapporto tra la corrente nella porta 2 cortocircuitata e la corrente nella porta
1 (cioè il guadagno di corrente tra la porta 1 e la porta 2 in corto circuito);
- h22 è l'ammettenza vista alla porta 2 quando la porta 1 è aperta (l'inverso di Z22);
- g11 è l'ammettenza vista alla porta 1 quando la porta 2 è aperta (l'inverso di Z11);
- g12 è il rapporto tra la corrente nella porta 1 cortocircuitata e la corrente nella porta
2 (cioè è il guadagno di corrente tra la porta 2 e la porta 1 in corto circuito);
- g21 è il rapporto tra la tensione alla porta 2 e la tensione alla porta 1 quando la
porta 2 è aperta (cioè è il guadagno di tensione tra la porta 1 e la porta 2 aperta);
- g22 esprime l'impedenza che si vede alla porta 2 quando la porta 1 è cortocircuitata (l'inverso di Y22).
Si noti che i parametri h e g contrariamente a quelli z e y non sono tra di loro
dimensionalmente omogenei, ad esempio h11 e g22 hanno le dimensioni di
un'impedenza, tutti i termini non diagonali sono adimensionali, essendo rapporti di
tensioni o correnti, mentre h22 e g11 hanno le dimensioni di un'ammettenza.
Matrici di trasmissione
Un altra rappresentazione descrittiva dei doppi bipoli di particolare interesse è quella
detta di trasmissione. La matrice di trasmissione [T] esprime per un doppio bipolo
lineare tempo invariante le grandezze di ingresso in funzione di quelle d'uscita, cioè:
V1 (s)  AV2 (s)  BI 2 (s)

I1 (s)  CV2 (s)  DI 2 (s)
Dove i segni meno presenti a secondo membro sono dovuti alla consuetudine di
scegliere il verso della corrente nella seconda porta uscente . Questa convenzione ha
una precisa giustificazione. Se si considerano infatti una serie di doppi bipoli
connessi in cascata, di cui è nota per ciascuno la descrizione mediante matrice di
trasmissione, allora si può considerare la cascata come un unico doppio bipolo avente
come matrice di trasmissione il prodotto delle matrici di trasmissione di ciascun
doppio bipolo. Infatti adottando questa diversa convenzione le grandezze d'uscita di
ciascun doppio bipolo coincidono con quelle di ingresso del doppio bipolo successivo
in valore e segno e quindi la matrice di trasmissione globale è semplicemente il
prodotto delle matrici di trasmissione dei doppi bipoli componenti. Per individuare il
significato dei termini A, B, C e D si fa ricorso alle seguenti definizioni operative,
anche se queste dal punto di vista circuitale presentano qualche complicazione:
- A è il rapporto tra la tensione alla porta 1 e la tensione alla porta 2 quando nella
porta 2 non circola corrente. Questo significa che la porta 2 è lasciata aperta, cioè
non è possibile imporre un generatore di tensione V2. Si può invece imporre V1 e
determinare V2 con la porta 2 aperta. Allora A non è una funzione di
trasferimento, ma l'inversa;
- B è pari al rapporto cambiato di segno tra la tensione alla porta 1 e la corrente alla
porta 2 con la porta due corto circuitata. Anche B è quindi l'inversa di unq
funzione di trasferimento, dato che è possibile calcolarla solo collegando un
generatore di tensione alla porta 1 e determinando la corrente alla porta 2
cortocircuitata;
- Analoghi discorsi si possono ripetere in termini delle altre due grandezze le cui
definizioni operative sono
C  ( I1 / V2 ) |I 2  0
D  (  I1 / I 2 ) |V2  0
La matrice di trasmissione inversa è l'inversa della matrice T precedentemente
definita.
10.2 Reciprocità e simmetria nelle reti a due porte.
Consideriamo le proprietà di reciprocità e di simmetria particolarizzate al caso di un
doppio bipolo lineare tempo invariante.
Per quanto riguarda la proprietà di reciprocità considereremo un doppio bipolo
reciproco se, considerate due situazioni elettriche diverse qualsiasi, a e b, le
grandezze elettriche alle due porte soddisfano la seguente espressione:
V1(a) I1(b) + V2(a) I2(b) = V1(b) I1(a) + V2(b) I2(a)
Per la simmetria ci limitiamo alla caratterizzazione esterna di tale proprietà,un doppio
bipolo si dirà simmetrico quando il comportamento della rete nella quale è inserito
non muta se si inverte il collegamento delle porte, cioè se si collega la porta 1 dov'era
collegata la porta 2 e viceversa. Si può facilmente vedere che questa proprietà
equivale alla condizione:
V1(a) I1(b) + V2(a) I2(b) = V1(b) I1(a) + V2(b) I2(a)
V2(a) I1(b) + V1(a) I2(b) = V2(b) I1(a) + V1(b) I2(a)
A questo punto risulta importante notare che la simmetria comporta sempre la
reciprocità di un doppio bipolo. Caratterizziamo ora le varie matrici descrittive in
termini di reciprocità e di simmetria.
Matrice Z
Per individuare la reciprocità consideriamo le seguenti due situazioni
(a) I1 assegnato I2 = 0
(b) I2 assegnato I1= 0
(questa scelta non è affatto arbitraria come si può facilmente vedere se si scelgono
tutte e due le correnti generiche)
Ne segue che la relazione di reciprocità diviene
V2(a) I2(b) = V1(b) I1( a)
da cui:
Z21 I1(a)I2(b) = Z12 I1(a)I2(b)
e quindi la reciprocità vale se:
Z21 = Z12.
Per la simmetria poiché lo scambio delle due porte non deve alterare il
funzionamento della rete esterna a cui il doppio bipolo è collegato deve essere
necessariamente:
Z12=Z21 e Z11=Z22
Matrice Y
Ripetendo analoghe operazioni (duali nella scelta questa volta delle tensioni) si trova
Y12 = Y21
per la reciprocità
Y12=Y21 e Y11=Y22
per la simmetria
Matrice H
Questa volta si individuano le seguenti due situazioni
(a) I1 assegnato V2 = 0
(b) V2 assegnato I1= 0
Che comportano che la reciprocità imponga
0 = V1(b) I1(a) + V2(b) I2(a)
utilizzando i parametri h otteniamo
0 = h12 V2(b) I1(a) + h21V2(b)I1(a)
perciò la reciprocità comporta che la matrice H sia tale che
h21 = - h12
Per la simmetria si ha che la prima condizione (quella di reciprocità) e quindi
h12 = - h21
usando la seconda considerando ancora la situazione in cui V2(a) e I1(b) sono nulli si
trova
h11 h22 - h12 h21 = 1
Matrice G
Ripetendo analoghe operazioni (duali nella scelta delle situazioni elettriche alle porte)
si trova
g21 = - g12 per la reciprocità
g12 = - g21 ; g11 g22 - g12 g21 = 1 per la simmetria
Matrice T
In questo caso le situazioni elettriche non si possono esprimere mediante semplici
relazioni. Esprimiamo la situazione per via analitica
(a) I2 = 0, ma V2  0;
(b) V2 = 0, ma I2  0
Che comportano che la reciprocità imponga
V1(a) I1(b) + V2(a) I2(b) = V1(b) I1(a)
Sostituendo la matrice di trasmissione, dopo semplici calcoli si trova AD-CD=1
Anche in questo caso si può procedere usando le espressioni scritte in precedenza
come condizione di simmetria e sostituendo la matrice di trasmissione. Si trovano le
due condizioni
AD-CB=1
A=D
10.3 Interconnessione di doppi bipoli.
Le connessioni seguenti si comportano ancora da doppi bipoli se i due bipoli che le
costituiscono sono doppi bipoli intrinseci.
Doppi bipoli in serie.
N(1)
N(2)
Fig. 4
Doppi bipoli in parallelo.
V1
N(1)
V2
V3
N(2)
V4
Fig.5
Doppi bipoli in cascata.
I1
V1
-I2
N(1)
-I3
N(2)
V2
I4
N(3)
V3
V4
Fig.6
Le matrici di trasmissione dei singoli doppi bipoli sono T(1), T(2) e T(3). Il doppio
bipolo risultante dalla connessione in cascata dei tre doppi bipoli ha una matrice di
trasmissione T uguale al prodotto di T(1), T(2) e T(3).
10.4 Altre grandezze e rappresentazioni.
L’obiettivo di questa descrizione è quello di individuare le condizioni per cui in una
cascata di doppi bipoli ciascuno di essi si comporti in modo noto indipendentemente
dalle reti confinanti.
Per definire le impedenze immagini è opportuno osservare che l’impedenza, che una
rete a due porte presenta ad una sua porta quando l’altra è chiusa su un bipolo di
impedenza zu, è funzione sia dei parametri che caratterizzano la rete a due porte sia
dell’impedenza zu.
I1
+
Zi1
I2
1
2
V2
-
Fig.7
Facendo riferimento alla Fig.7
z i1  z11 
è evidente che al variare di zu varia zi1.
z12 z 21
z 22  z u
+
-
zu
Lo stesso discorso vale per l’impedenza zi2 alla porta 2, quando la porta 1 è chiusa su
zu :
z i 2  z 22 
z12 z 21
z11  z u
Dopo ciò, le impedenze immagini vengono definite come quelle particolari
impedenze Zi1 e Zi2, per cui si verifica che, quando la porta 2 è chiusa su un bipolo di
impedenza Zi2 allora l’impedenza vista alla porta 1 è Zi1, e inoltre quando la porta 1 è
chiusa su Zi1 allora l’impedenza vista alla porta 2 è Zi2, cioè
Zi1  z11 
z12 z 21
z 22  Zi 2
Zi1
Zi 2  z 22 
1
2
Zi1
Zi2
Zi2
Fig.8
Impedenza caratteristica
Impedenza iterativa
z12 z 21
z11  Zi1