ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
Sessione suppletiva
2001
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
PROBLEMA 1
Si consideri la funzione reale fm di variabile reale x tale che:
fm =
x2
,
x − 2m + m
dove m è un parametro reale non nullo.
a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione.
b) Indicata con C1 la curva rappresentativa della funzione f1(x) corrispondente ad m = 1,
studiarla e disegnarla in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali,
dopo aver determinato, in particolare, le equazioni dei suoi asintoti e il comportamento
nel punto A di ascussa 2.
c) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalla curva C1 e dalla retta
parallela all’asse delle ascisse condotta per il punto A.
PAROLE
CHIAVE
Informazioni
1 m è un parametro reale non nullo
2 C la curva rappresentativa della funzione f1(x) corrispondente ad m = 1
Obiettivi
1
2
3
4
5
6
7
8
ESAME DI MATEMATICA
Trovare gli insiemi di definizione
Trovare gli insiemi di continuità
Trovare gli insiemi di derivabilità della funzione
Studiarla
Disegnarla
Dopo aver determinato le equazioni dei suoi asintoti
Dopo aver determinato il comportamento nel punto A di ascissa 2
Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalla curva C1 e dalla retta
22
Poiché l’espressione in modulo x − 2m è positiva per x > 2m distinguiamo i due casi in
cui m è positivo oppure m è negativo.
1. m positivo
x2
x2
=
; (la condizione x ≠ m,
• x ≥ 2m, allora la funzione si può scrivere f m =
x
−
2m
+
m
x
−
m
poiché x > 2m, è sempre vera).
x2
x2
=
; (la
• x < 2m allora la funzione si può scrivere nella forma f m =
−x + 2m + m −x + 3m
condizione x ≠ 3m, poiché x < 2m, è sempre vera).
|
0
|
m
|
2m
|
3m
Per m > 0 l’insieme di definizione è l’insieme dei numeri reali.
2. m negativo
• x ≥ 2m, la funzione è f m =
x2
, con x ≠ m (m appartiene all’intervallo di studio)
x−m
• x < 2m la funzione è f m =
x2
; con x ≠ 3m (3m appartiene all’intervallo di studio)
−x + 3m
|
3m
|
2m
|
m
|
0
Quindi nel caso di m negativo l’insieme di definizione della funzione è − {m, 3m}
obiettivo 1
Dallo studio del punto precedente si desume che per m positivo la funzione è sempre definita per qualsiasi valore reale, mentre per m negativo si hanno due punti di discontinuità in
x = m e x = 3m; infatti per x = 3 si ha:
x2
x2
lim –
= +∞ e lim +
= − ∞;
x→3m −x + 3m
x→3m −x + 3m
per x = m si ha:
lim–
x→m
x2
= −∞ e
x−m
lim+
x→m
x2
= + ∞;
x−m
obiettivo 2
Per lo studio della derivabilità della funzione calcoliamo la derivata prima nei due casi:
x>2m
f ′(x) =
2x(x − m ) − x 2 2x 2 − 2mx − x 2 x(x − 2m )
=
=
(x − m )2
(x − m )2
(x − m )2
x<2m
f ′(x) =
2x(−x + 3m ) − x 2 (−1) −2x 2 + 6mx + x 2 x(−x + 6m )
=
=
(−x + 3m )2
(−x + 3m )2
(−x + 3m )2
23
SCIENTIFICO 2001
Sia per m > 0 che per m < 0 si ha:
x(−x + 6m )
lim –
=8 e
x→2m (−x + 3m )2
lim +
x→2m
x(x − 2m )
= 0.
(x − m )2
Quindi in entrambi i casi (m < 0 e m > 0) la funzione è continua e derivabile nel relativo insieme di definizione, ad esclusione di x = 2 m dove la funzione è continua ma non derivabile.
obiettivo 3
x2
, il cui insieme di defix − 2 +1
nizione è ; la funzione è continua per x = 2 ma non derivabile. La C1 passa per l’origine
degli assi cartesiani.
x2
Agli estremi del campo di esistenza la curva tende all’infinito, infatti lim
= +∞.
x→±∞ x − 2 + 1
Per determinare gli eventuali asintoti obliqui, distinguiamo due casi:
x2
f (x)
• x < 2; la funzione è f1 (x) =
; quindi m = lim 1
= −1 e q = lim [ f1 (x) + x ] = −3;
x→−∞
x→−∞ x
−x + 3
l’asintoto in questo caso ha equazione y = − x − 3.
Imponendo la condizione m = 1 si ha la funzione f1 (x) =
f (x)
x2
= 1 e q = lim [ f1 (x) − x ] = 1;
; quindi m = lim 1
x→+∞
x→+∞ x
x −1
l’asintoto in questo caso ha equazione y = x + 1.
• x ≥ 2; la funzione è f 1 (x ) =
Determiniamo gli eventuali punti estremanti con lo studio della derivata:
2x(−x + 3) − x 2 (−1) x(−x + 6)
• x < 2, f1′(x) =
=
; la derivata prima si annulla per x = 0
(−x + 3)2
(−x + 3)2
e x = 6 ed è positiva per 0 < x < 6;
0
2
6
x (– x + 6) ≥ 0
(– x + 3)2 > 0
–
+
Figura 1
si ha quindi un punto di minimo in O(0,0).
x 2 x(x − 2) la derivata (si annulla per x = 2) è sempre
• x ≥ 2, f1′(x) = 2x(x − 1) −
=
;
(x − 1)2
(x − 1)2
positiva in questo intervallo.
0
2
x (x – 2) ≥ 0
(x – 1)2 > 0
ESAME DI MATEMATICA
+
24
Figura 2
Nel punto A (2,4), già studiato in precedenza, la funzione è continua ma non derivabile; infatti
La tangente sinistra nel punto A alla curva C1 ha equazione y = 8x − 12, mentre quella
destra ha equazione y = 4; quindi il punto A è un punto angoloso della curva.
Il grafico della funzione è in figura 3.
Figura 3
Determiniamo le intersezioni fra la curva C1 e la retta y = 4, passante per A (2,4) e parallela all’asse x.
• x < 2,
che ammette la soluzione x = − 6; si ha
l’intersezione B (− 6,4).
x2
;
• x ≥ 2, y =
x −1
y = 4
x 2 − 4x + 4 = 0, la cui soluzione (doppia) è x = 2, cioè il
punto A( 2,4).
y
4
–6
O
2
x
Figura 4
25
SCIENTIFICO 2001
L’area richiesta si determina con l’integrale
2
4 − x 2 dx =
−x + 3
−6
∫
2
4 + x 2 dx =
x − 3
−6
∫
x 2 + 4x − 12 dx =
x −3
−6
∫
2
e dopo aver diviso il numeratore per il denominatore si può scrivere
2
x + 7 + 9 dx = x + 7x + 9ln x − 3
2
x − 3
−6
∫
2
2
= 40 − 9ln 9 ≈ 20.225.
−6
obiettivo 8
PROBLEMA 2
Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui
AB 3
=
e che il
area è 24a 2, dove a è una lunghezza assegnata. Si ha inoltre che
BC 5
piano della faccia VAB della piramide forma col piano della base ABC un angolo j tale che
12
sen j = .
13
a) Calcolare l’altezza della piramide.
b) Controllato che essa è
24
a, calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia
5
VAB.
c) Condotto, parallelamente alla base ABC, un piano a che sechi la piramide e considerato
il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la
distanza di a dalla base ABC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha
volume massimo.
d) Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale?
PAROLE
CHIAVE
Informazioni
1 Una piramide retta
2 Triangolo ABC, rettangolo in A
3 a è una lunghezza assegnata
24
4 Controllato che essa è
a
5
Obiettivi
1
2
3
4
ESAME DI MATEMATICA
Calcolare l’altezza della piramide
Calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB
Calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo
Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale?
26
Conoscendo il rapporto fra un cateto e l’ipotenusa
del triangolo ABC, base della piramide, si può
—–
—–
porre AB = 3x, BC = 5x, e per la terna pitagorica,
—–
AC = 4x. Dalla formula dell’area si ha:
Raggio
In un triangolo rettangolo circoscritto ad un
cerchio l’ipotenusa è
uguale alla
somma dei
due cateti
diminuita del
diametro.
R
B
C
O
T
AB ⋅ AC
3x ⋅ 4x
; quindi
= 24a2 , da cui si
S
2
2
A
ricava x = 2a; i lati sono AB = 6a, AC = 8a e BC =
Figura 5
10a.
La piramide è retta quindi il piede della sua altezza cade nel centro del cerchio inscritto in
ABC.
Il raggio r del cerchio inscritto si ricava con BC = AB + AC − 2r; 10a = 6a + 8a − 2r; r = 2a.
—– —–
—–
12 24
L’altezza VO della piramide si ricava con VO = OT ⋅ tg j, cioè VO = 2a⋅ =
a.
5
5
A=
obiettivo 1
Per determinare la distanza del punto C dal piano
della faccia VAB si può ricorrere alla formula
inversa del volume della piramide:
CK =
V
3V
.
Area(VAB )
V=
1
Area (ABC ) ⋅ VO ;
3
V=
1
24
192 3
⋅ 24a2 ⋅ a =
a.
3
5
5
R
B
C
O
T
S
Apotema
Nel caso di
una piramide
retta
l’apotema è
uguale per
le tre facce:
VT = VR = VS
Per determinare l’area della faccia VAB,
A
Figura 6
1
Area (VAB ) = AB ⋅ VT ,
2
dobbiamo calcolare l’apotema VT:
VO 24 13 26
1
1
26
78
VT =
=
a⋅ =
a; quindi Area (VBA ) = AB ⋅ VT = ⋅ 6a⋅ a = a2 .
sen j 5 12 5
2
2
5
5
192 3
a
96
=
a.
La distanza richiesta è CK = 785
2
13
a
5
Un metodo alternativo e più semplice è quello di considerare il triangolo rettangolo ACK,
12
di cui conosciamo AC = 8a e sen j =
(angolo formato dalla faccia VAB con il piano
13
della base ABC):
12 96
CK = AC ⋅sinj = 8a⋅ =
a.
13 13
3⋅
obiettivo 2
27
SCIENTIFICO 2001
V
Poiché il piano a è parallelo alla base ABC, la
sezione ottenuta è un triangolo A′B′C′, simile a
quello della base; quindi si può scrivere la seguente proporzione:
2p : 2p′ = VO : VO′ avendo indicato con 2p il perimetro del triangolo ABC, con 2p′ il perimetro di
A′B′C′ e con VO′ la distanza del piano a dal vertice V.
C′
B′
O′
A′
B
C
O
Figura 7
24
a:x; 2 p′ = 5x.
A
5
Per la similitudine tra i due triangoli, i lati del triangolo ABC sono proporzionali ai
numeri 3, 4, 5, cioè si può scrivere:
A′B′ : B′C ′ : A′C′ = 3 : 4 : 5 e componendo (A′B′ + B′C′ + A′C′) : A′B′ = (3 + 4 + 5) : 3;
Posto VO′ = x, si ha: 24a:2 p′ =
2p′ : A′B′ = 12 : 3, 5x : A′B′ = 12 : 3, da cui si ricava A ′B′ =
15
5
x = x.
12
4
25
5
x, A ′C′ = x.
12
3
1
25 2
x ;
L’area del triangolo è Area ( A ′B′ C′ ) = A ′B′ ⋅ A ′C′ =
2
24
24
a − x.
l’altezza del prisma è OO′ =
5
Il volume del prisma è quindi:
In modo analogo si ricava B′ C′ =
V(x) =
25 2 24
25
24
x ⋅
a − x = 5ax2 − x 3 . con 0 < x < a.
5
24
24
5
16
25 2
x ; si annulla per x = 0 e = a ed è posia
8
16
16
tiva per 0 < x < a. Il volume del prisma è massimo quando x = a, cioè quando l’al5
5
24
24
16
8
tezza del prisma è a, l’altezza è: a − x =
a − a .
5
5
5
5
Studiamo la derivata prima: V′(x) = 10ax −
obiettivo 3
L’area del prisma è data dalla somma dell’area di base e dell’area laterale:
25
24
Area (basi) = 2 ⋅ x 2 , Area (laterale) = 5x ⋅ a − x .
24
5
25 2 24
25
A (x) =
x ⋅
a − x = 5ax2 − x 3 .
5
24
24
35
144
144
x, si annulla per x <
a ed è positiva per x =
a;
6
35
35
144
a, valore diverso da quello trovato per il volume massimo.
l’area del prisma è massima per x =
35
La derivata prima, A′ (x) = 24a −
obiettivo 4
ESAME DI MATEMATICA
28
1. Considerata una funzione reale di variabile reale f (x), si prendano in esame le due
seguenti proposizioni:
A: condizione necessaria e sufficiente affinché f (x) sia definita in un punto a è che sia
continua in a.
B: condizione necessaria e sufficiente affinché f (x) sia continua in un punto a è che sia
derivabile in a.
Una sola delle seguenti combinazioni è corretta: individuarla e fornire un’esauriente
giustificazione della risposta:
a) A vera - B vera; b) A vera - B falsa; c) A falsa - B vera; d) A falsa - B falsa.
La risposta corretta è la d); entrambe le condizioni sono sufficient372 50.(ma none necessarea.)]TJ
29
SCIENTIFICO 2001
I relativi volumi si ottengono dal prodotto delle aree per l’altezza, uguale per tutte le parti.
1 1 1
11
Quindi le frazioni di cubo corrispondenti alle varie parti sono , , , e .
5 5 20 20
n
3. Calcolare se esiste un numero naturale n per il quale risulti:
∑ k = 1048576
n
k =0
n
Posto (1 + 1)n =
n
∑ k ⋅1
n−k
⋅1k ,si ha (1 + 1)n = 2 n = 1048576,
k =0
da cui n = log2 1048576 =
ln1048576
= 20.
ln 2
4. Sia f (x) una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in
x
tutto il campo reale, tale che f (0) = 1 ed f(0) = 2. Calcolare: lim
x→0
∫ f (t)dt − x
0
cos2x − 1
Per le condizioni poste si può applicare il teorema di De L’Hopital
x
lim
x→0
∫ f (t)dt − x = lim
0
cos2x − 1
f ′(x)
f (x) − 1
2
1
= lim
=
=−
x→0 −sin2x ⋅ 2
x→0 − 4 cos2x
−4
2
5. Dimostrare che la derivata, rispetto ad x, della funzione ax, dove a è un numero reale
positivo diverso da 1, è ax ln a.
ax +h − ax
ax ⋅ ah − ax
ax (ah − 1)
ah − 1
= lim
= lim
= ax lim
= ax ln a.
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
h
lim
1
ah − 1
1
1
= ln a; infatti posto ah − 1 = ,ah = 1 + , si ha:h = loga 1 + ;
h→0
h
y
y
y
N.B. lim
se h → 0 allora y → ∞ ;
ah − 1
1
= lim ⋅
h→0
y→∞ y
h
lim
1
1
1
lim
= ln a
y =
1 y→∞
loga e
1
loga 1 +
loga 1 +
y
y
6. Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima.
Indicate con x, y (x,y > 0) le due dimensioni del rettangolo e 2p il perimetro, si ha:2x +
2y = 2p; x + y = p; y = p − x.
L’area è A (x) = x ⋅ y = x (p − x) = px − x2; la derivata prima, A′(x) = p − 2x, si annulla
p
p
p
ed è positiva per x < ; quindi l’area è massima per x = , cioè quando il
2
2
2
rettangolo ha le due dimensioni uguali ovvero è un quadrato.
per x =
ESAME DI MATEMATICA
30
1
7. Una primitiva della funzione f (x) è x + 2x. Se è possibile calcolare
2
∫ 2 dx, deterx
0
minare il valore dell’integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è possibile.
1
Dalle condizioni si ha
posto
1
∫
0
∫ f (x)dx = x
2
+ 2x + c e si deve calcolare, se possibile,
∫ f 2 dx;
x
0
x
1
= t, e x = 2t, dx = 2dt, x = 0 → t = 0,x = 1 → t = si ottiene:
2
2
x
f dx =
2
∫
1
2
0
1
2
0
5
1
2f (t)dt = 2[ t + 2t ] = 2 + 1 = .
2
4
2
8. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sia T un trapezoide di base [a,b] relativo alla funzione f(x), continua in tale intervallo. Dimostrare la
formula che esprime il volume del solido generato dal trapezoide quando ruota di un
giro completo attorno all’asse x.
Se la funzione f(x) è costante si ha un rettangolo e il volume del solito generato dalla
rotazione (cilindro) è V = π K2 (b − a) con K = f(x).
Se invece f(x) non è costante si procede come nel caso dell’integrale definito per il calcolo dell’area di un trapezoide:
• si suddivide l’intervallo [a, b], in n parti uguali x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h ....xn
b−a
− b, essendo h =
;
n
• si calcola per ogni intervallo xi il valore minimo mi e il valore massimo Mi della funzione f(x);
• si determinano le somme
n
vn = π
∑
i=1
(m i )2
b−a
e Vn Vn = π
n
solido di rotazione per difetto e
per eccesso, e si ha che vn ≤ V
≤Vn, con V volume del solido;
n
∑ (M )
2
i
i=1
b−a
, che rappresentano il volume del
n
y
f (x)
O
a
x1
x2
b
Figura 9
31
SCIENTIFICO 2001
x
Le somme del tipo Vn sono le somme generalizzate riferite alla funzione f2(x) e al
b
suo integrale
∫ f (x)dx
2
a
∫
b
Sapendo che lim v n = lim Vn = Vsi ha V = π f 2 (x)dx.
n→∞
n→∞
a
9. Calcolare la derivata della funzione sen 2x rispetto alla variabile x, ricorrendo alla
definizione di derivata di una funzione.
sin2(x + h) − sin2x
lim
= lim
h→0
h→0
h
= lim 2 cos(2x + h) ⋅ lim
h→0
h→0
2x + 2h + 2x
2x + 2h − 2x
2 cos
⋅sin
2
2
=
h
sinh
= 2 cos2x ⋅1 = 2 cos2x
h
10. Considerata una funzione reale di variabile reale f(x), derivabile almeno due volte in
un dato punto a, affinché la funzione f(x) abbia in a un punto di flesso la condizione
f″(a) = 0 è:
a) necessaria e sufficiente;
b) necessaria ma non sufficiente;
c) sufficiente ma non necessaria.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione
della risposta.
La risposta corretta è la b)
Infatti basta considerare la funzione y = x4, che nel punto x = 0, pur avendo derivate
prima e seconda nulle, non ha un flesso.
ESAME DI MATEMATICA
32
