Programma di Analisi Matematica 2
Corso di Laurea in Matematica
A.A. 2015/16
1. Integrali impropri del primo tipo
2. Integrali impropri del secondo tipo
3. Teorema del confronto per gli integrali impropri
4. Equazioni differenziali lineari del I ordine
5. Teorema sulle soluzioni delle equazioni differenziali lineari del I ordine
6. Teorema di Cauchy per le equazioni lineari del I ordine
7. Interpretazione geometrica delle equazioni differenziali
8. Equazioni di Bernoulli
9. Equazioni differenziali a variabili separabili
10. Equazioni differenziali lineari del II ordine
11. Teorema sul legame fra le soluzioni del problema non-omogeneo e dell’omogeneo
associato
12. Teorema di unicità per le equazioni differenziali lineari del II ordine
13. Teorema sulle soluzioni delle equazioni differenziali lineari omogenee del II ordine
14. Teorema di caratterizzazione delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari omogenee del II ordine
15. Soluzioni di equazioni non omogenee particolari
16. Metodo di variazione delle costanti
17. Sistemi di equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti
18. Convergenza puntuale
19. Convergenza uniforme
20. Teorema sulla continuità della funzione limite
21. Teorema sullo scambio dei limiti
22. Teorema sul criterio di Cauchy uniforme
23. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale
24. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata
25. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata sotto ipotesi generali
26. Teorema del Dini sulla convergenza uniforme sotto ipotesi di monotonia
27. Convergenza uniforme sotto ipotesi di monotonia rispetto al punto
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28. Convergenza puntuale ed uniforme di una serie di funzioni
29. Convergenza totale di una serie di funzioni
30. Criteri di Cauchy puntuale ed uniforme per la convergenza di una serie di funzioni
31. Relazione fra la convergenza totale, uniforme e puntuale di una serie di funzioni
32. Teorema sulla continuità di una somma di una serie di funzioni
33. Teorema sull’integrazione di una serie di funzioni
34. Teorema di derivazione per le serie di funzioni.
35. Serie di potenze
36. Raggio di convergenza delle serie di potenze
37. Teoremi sul raggio di convergenza
38. Criterio di Cauchy-Hadamard
39. Criterio di D’Alambert
40. Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata
41. Teorema di derivazione ed integrazione delle serie di potenze
42. Serie di Taylor
43. Teoremi sulla convergenza della serie di Taylor
44. Funzioni periodiche
45. Introduzione alle serie di Fourier
46. Teorema sulla convergenza puntuale della serie di Fourier (senza dimostrazione)
47. Teorema sulla integrazione termine a termine della serie di Fourier (senza dimostrazione)
48. Diseguaglianza di Bessel (senza dimostrazione)
49. Teorema sulla convergenza uniforme della serie di Fourier (senza dimostrazione)
50. Introduzione agli spazi metrici
51. Esempi: distanza euclidea, metriche equivalenti su Rn , metriche sullo spazio delle funzioni continue (nel caso di Rn dimostrazione facoltativa della disuguaglianza
triangolare).
52. Prime proprietà degli spazi metrici
53. Intorni circolari
54. Cenni di topologia, definizione di topologia indotta da una metrica
55. Insiemi aperti in uno spazio metrico
56. Proprietà degli insiemi aperti (senza dimostrazione)
57. Insiemi chiusi in uno spazio metrico
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58. Proprietà degli insiemi chiusi
59. Definizioni di intorno di un punto, punti interni, interno di un insieme, punti di
accumulazione e chiusura di un insieme
60. Proprietà dell’interno e della chiusura di un insieme
61. Definizioni di punto di frontiera, frontiera di un insieme, dominio
62. Proprietà della frontiera di un insieme
63. Insiemi limitati
64. Diametro di un insieme limitato
65. Limiti di successioni in uno spazio metrico
66. Unicità del limite di una successione
67. Limiti di funzioni in spazi metrici
68. Definizione di funzione continua in spazi metrici
69. Definizione di funzione sequenzialmente continua in spazi metrici
70. Teorema di equivalenza tra continuità e continuità sequenziale (dimostrazione facoltativa)
71. Continuità delle funzioni Lipschitziane
72. Definizione di funzione distanza di un punto da un insieme
73. Lipschitzianità e continuità della funzione distanza di un punto da un insieme
74. Teorema di separazione di due insiemi chiusi e disgiunti mediante una funzione
continua
75. Definizione di spazio vettoriale
76. Lo spazio vettoriale delle funzioni continue
77. Definizioni di norma e di spazio normato
78. Esempi di spazi normati
79. Diseguaglianza di Young (dimostrazione facoltativa)
80. Diseguaglianza di Holder (dimostrazione facoltativa)
81. Diseguaglianza di Minkowski (dimostrazione facoltativa)
82. “p-norma” su Rn
83. Alcune norme sullo spazio delle funzioni continue
84. Metrica indotta da una norma
85. Invarianza per traslazione e omogeneità della metrica indotta da una norma
86. Successioni di Cauchy in spazi metrici
87. Spazi metrici completi e spazi di Banach
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88. Esempi di spazi di Banach
89. Esempi di spazi non completi
90. Teorema delle contrazioni
91. Insiemi compatti in uno spazio metrico
92. Caratterizzazione dei compatti in Rn
93. Teorema di Weierstrass generalizzato
94. Norme equivalenti
95. Teorema di equivalenza delle norme in Rn
96. Funzioni uniformemente continue
97. Teorema di Cantor generalizzato
98. Insiemi connessi, connessi per poligonali
99. Teorema di equivalenza tra aperti connessi e aperti connessi per poligonali in Rn
(senza dimostrazione)
100. Teorema del valor medio in Rn
101. Funzioni reali in più variabili
102. Definizione di derivata parziale, derivata direzionale e differenziale
103. Teorema del differenziale
104. Esempi e controesempi su derivabilità e continuità
105. Differenziabilità e continuità
106. Teorema sulla derivata direzionale di una funzione differenziabile
107. Definizione di curva in Rn
108. Teorema di derivazione della funzione composta
109. Derivate successive
110. Teorema di Schwarz
111. Grafico di funzioni in due variabili
112. Curve di livello
113. Forme quadratiche
114. Definizioni di matrice definita, semidefinita e indefinita
115. Teorema di caratterizzazione delle matrici definite (senza dimostrazione)
116. Teorema di caratterizzazione delle matrici 2x2 (senza dimostrazione)
117. Teorema delle funzioni a gradiente nullo
118. Estremi relativi
119. Teorema: massimi e minimi relativi: condizione necessaria del primo ordine
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120. Definizione di matrice Hessiana
121. Teorema: massimi e minimi relativi: una condizione necessaria del secondo ordine
122. Corollario: massimi e minimi relativi: una condizione necessaria sulle derivate pure
123. Teorema: massimi e minimi relativi: una condizione sufficiente
124. Definizione di Hessiano
125. Teorema: massimi e minimi relativi in R2 : una condizione sufficiente
126. Formula di Taylor in Rn
127. Teorema: formula di Taylor col resto di Lagrange (caso n = k senza dimostrazione)
128. Teorema: formula di Taylor del secondo ordine col resto di Peano (dimostrazione
facoltativa)
129. Definizioni di insieme convesso e funzione convessa
130. Teorema: criterio di convessità per le funzioni differenziabili (dimostrazione facoltativa)
131. Teorema: criterio di convessità per funzioni C 2
132. Definizione di cono e di funzione omogenea
133. Teorema di Eulero (dimostrazione facoltativa)
134. Teorema sul gradiente di una funzione omogenea
135. Funzioni definite mediante integrali
136. Continuità delle funzioni definite mediante integrali (dimostrazione facoltativa)
137. Derivabilità delle funzioni definite mediante integrali (senza dimostrazione)
138. Funzioni armoniche
139. Principio del massimo per funzioni armoniche (senza dimostrazione)
140. Teorema di unicità per il problema di Dirichlet
141. Funzioni a valori vettoriali
142. Continuità e derivabilità delle funzioni vettoriali
143. Teorema di differenziabilià per le funzioni vettoriali (senza dimostrazione)
144. Teorema di rappresentazione delle funzioni composte vettoriali (senza dimostrazione)
Testi consigliati: Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Analisi matematica vol. 1, Liguori, (1998); Jaures P. Cecconi e Guido Stampacchia, Analisi matematica Volume I:
Funzioni di una variabile, Liguori, (1974); Nicola Fusco, Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Analisi matematica vol. 2, Liguori, (1996); Paolo Marcellini e Carlo Sbordone,
Esercitazioni di matematica vol. 1/2, Liguori, (1995); Paolo Marcellini e Carlo Sbordone,
Esercitazioni di matematica vol. 2/1, Liguori, (1995); Paolo Marcellini e Carlo Sbordone,
Esercitazioni di matematica vol. 2/2, Liguori, (1995); Jaures P. Cecconi e Guido Stampacchia, Esercizi e problemi di analisi matematica vol. 1, Liguori, (1979); Carlo D. Pagani
e Sandro Salsa, Analisi matematica 2, Masson, (1998);
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