Economia Politica Spring 2015 L. Balletta, G. De Luca, S Modica, A. Tesoriere 1 Consumatore Esercizio 1 (Vincoli Multipli). Cercare lavoro costa tempo e denaro. Supponi di poter dedicare allo scopo, in una certa settimana, 30 ore e 75 Euro, e che ci sono due tipi di ricerca possibile: andare di persona o spedire una lettera. Ogni visita costa visite v e lettere ` 7.5 Euro e 5 ore di tempo, e ogni lettera costa 1.5 Euro e mezz'ora di tempo. Supponendo che possano assumere valori reali qualunque descrivi l'insieme delle scelte (v, `) possibili. Soluzione Abbiamo un vincolo in ore e uno in Euro, entrambi devono essere soddisfatti. Quello in Euro è 5v + 0.5` ≤ 30. (0, 50), (2, 40) e (10, 0). quello in ore per Esercizio 2 attività 1 a e 7.5v + 1.5` ≤ 75, L'intersezione cercata è la parte del primo quadrante al di sotto della spezzata che passa (Vincoli Multipli). Una persona deve decidere come impiegare il suo tempo e il suo denaro in due b. Ha 20 ore e 50 Euro. Una unità di a 10 prende un'ora e costa Euro. Descrivi l'insieme di scelte possibili nel piano Euro, una di b prende mezz'ora e costa (a, b). Soluzione I due vincoli da soddisfare sono: quello in Euro 10a + b = 50, a + 0.5b = 20. Quindi l'insieme cercato (0, 40), (1.25, 37.5) e (5, 0). quello in ore è la parte del primo quadrante al di sotto della spezzata passante per 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 √ u(x, y) = xy, p0 = (p0x , p0y ) = (3, 2), m = 50, ∆p = (∆px , ∆py ) = (0, 0.5). Calcola 0 ∗ eetto reddito ed eetto sostituzione con ∆m = y(p , m)∆py . (b) Calcola il ∆ m eettivamente necessario a lasciare Esercizio 3 (Slutsky). (a) Sia il consumatore sulla curva di indierenza iniziale. Soluzione (a) Sappiamo che con utilità Cobb-Douglas α = β = 1/2 x(p, m) = Abbiamo abbiamo y(p0 , m) = y((3, 2), 50) = ∆m = y(p0 , m)∆py = 6.25 si ha 1m 1m , y(p, m) = 2 px 2 py 1 50 2 2 = 12.5 ed y(p0 + ∆p, m) = y((3, 2.5), 50) = 0 quindi y(p + ∆p, m + ∆m) = y((3, 2.5), 56.25) = 1 50 2 5/2 = 10; poiché ∆py = 0.5 1 56.25 2 5/2 = 11.25. Quindi eetto sostituzione ed eetto reddito, che si trovano dalla decomposizione y(p0 + ∆p, m) − y(p0 , m) = [y(p0 + ∆p, m + ∆m) − y(p0 , m)] + [y(p0 + ∆p, m) − y(p0 + ∆p, m + ∆m)] sono dati rispettivamente da y(p0 + ∆p, m + ∆m) − y(p0 , m) = −1.25, y(p0 + ∆p, m) − y(p0 + ∆p, m + ∆m) = −1.25 p + ∆p, il paniere di beni (x∗ , y ∗ ) 0 0 pendenza px /(py + ∆py ). La curva iniziale (b) Dobbiamo mettere il consumatore in grado di acquistare, a prezzi nuovi dato dal punto sulla curva di indierenza iniziale in cui questa curva ha è u(x, y) = u0 con s 0 0 0 u = u(x(p , m), y(p , m)) = Quindi il punto (x∗ , y ∗ ) 1m 1m · = 2 p0x 2 p0y r è soluzione del sistema ( ux uy = p0x p0y +∆py u(x, y) = u0 ( cioè y x 3 5/2 2 = 256 = xy 1 50 1 50 25 · =√ 2 3 2 2 6 √ ∗ √ x∗ = 25 5, y = 5 5. 6 prezzi p + ∆p quindi è dato che dà Il a da ∆∗ m cercata è denito dal fatto che il consumatore può acquistare questo paniere x∗ p0x + y ∗ (p0y + ∆py ) = m + ∆∗ m che nel nostro caso è 25 6 √ avevamo dato. Esercizio 4 √ 5·3+5 5· (Slutsky). (a) Sia 5 2 = 50 + ∆∗ m, ∆∗ m = 5.9. Nota che è minore del 6.25 che gli √ y, p0 = (p0x , p0y ) = (18, 1), m0 = 99, ∆p = (∆px , ∆py ) = (−2, 0). 0 0 con ∆m = x(p , m )∆px . (b) Si vede in (a) che l'eetto sostituzione è u(x, y) = x + Calcola eetto reddito ed eetto sostituzione risolta da preponderante. Pensi che la situazione iniziale del consumatore sia quella del pannello sinistro o quello destro della gura di sotto? A sinistra consuma poco è giusta calcolando x, a destra vicino al massimo che si può premettere. Verica se l'intuizione p0x x/m0 , p0y y/m0 . y y x x Soluzione (a) Ignorando soluzioni di angolo calcoliamo m. Questo dà ( √ 2 y = p1x px x + y = m x(p, m) con il sistema tangenza più vincolo, in funzione di ( ⇐⇒ px ed y(p, m) = p2x /4 x(p, m) = m−(px /2)2 px Quindi: x(p0 , m0 ) = 97 − 64 33 1 99 − 81 = 1, ∆m = −2, x(p0 + ∆p, m0 + ∆m) = = =2+ , 18 16 16 16 x(p0 + ∆p, m0 ) = 99 − 64 35 3 = =2+ 16 16 16 Da cui ricaviamo eetto totale, reddito e sostituzione rispettivamente uguali a x(p0 + ∆p, m0 ) − x(p0 , m0 ) = 1 + 2 3 , x(p0 + ∆p, m0 ) − x(p0 + ∆p, m0 + ∆m) = 16 16 x(p0 + ∆p, m0 + ∆m) − x(p0 , m0 ) = 1 + Eettivamente la variazione totale 1 + 3/16 è dovuta quasi interamente all'eetto sostituzione che è (b) La situazione più plausibile è quella del pannello di sinistra perché in quel caso il ∆m 1 16 1 + 1/16. necessario è più piccolo quindi la traslazione parallela del vincolo che determina l'eetto reddito è più piccola. Confermiamo: p0y y(p0 , m0 ) 81 = m0 99 18 p0x x(p0 , m0 ) = , m0 99 dunque il consumatore spendeva originariamente meno del Esercizio 5 (Beni inferiori). Un bene si dice ci siano soltanto due beni px , py x, y 20% del proprio reddito su x. inferiore se il suo consumo si riduce al crescere del reddito e che l'utilità sia monotona (se x0 > x, y 0 > y allora siano dati. Dimostra che i due beni non possono essere entrambi inferiori. u(x0 , y 0 ) > u(x, y)). m. Supponi Anche i prezzi Sugg. Fallo per contraddizione Soluzione Se entrambi i beni fossero inferiori ci sarebbero m1 < m2 tali che ad m2 il consumo di entrambi i beni - diciamo (x2 , y2 ) - è inferiore che ad m1 - dove si consuma diciamo (x1 , y1 ). Ma questo contraddice px x2 + py y2 = m2 > m1 = px x1 + py y1 (le uguaglianze sono vere perché u è monotona). Esercizio 6 (Lavoro e tempo libero). Considera la funzione di utilità u(c, L) = L(48 + c − L) dove c è il consumo H = T − L, con T = 24 (H indica ore di lavoro). Il prezzo del consumo è 1, il salario orario w . Il vincolo di bilancio è c ≤ wH . Esprimi la scelta ottima di H in funzione di w e verica che H cresce da 0 a 12 quando w cresce da 0 ad innito. giornaliero ed L le ore di tempo libero. Sia 2 Soluzione Poiché la u u è monotona in H; diventa funzione di c c = wH u0 (H) = 0, che dà il vincolo sarà soddisfatto con uguaglianza. Sostituendo si trova u00 (H) < 0 dunque la scelta ottima è data da H(w) = ed L = T − H, la T (w + 2) − 48 2(w + 1) dalla quale le proprietà enunciate si deducono facilmente. Esercizio 7. Scelta intertemporale con tassi Esercizio 8. u(x, y) = a log x + by , ha y? = 0 x), (compri solo per r1 < r2 px , py , m. prezzi e reddito m > m0 per debiti e prestiti. Mostra che esiste m0 tale che per m ≤ m0 ue la soluzione è interna al vincolo. (Sugg. Disegna la mappa di la soluzione capisci cosa succede) Soluzione La mappa di u è riportata nella gura qui sotto con due rette di bilancio parallele, una con reddito basso e una con reddito più alto. y Mappa indifferenza u(x,y)=a*log x +b*y x Che quanto asserito debba essere vero si indovina osservando che e limx→∞ ux /uy = 0. minima di una curva di indierenza (per curva sarà maggiore di perciò essere y ? = 0. ux /uy = a/bx; limx↓0 ux /uy = ∞, quindi per Dal graco si vede che man mano che andiamo verso livelli di utilità più bassi la pendenza px /py y = 0) cresce. Quindi per reddito sucientemente basso la pendenza della per tutti i punti che rispettano il vincolo; per tali valori di reddito la scelta ottima deve Quando al contrario andiamo su livelli di utilità sucientemente alti, per della curva di livello diventa più bassa di un dato px /py dunque y=0 y≈0 la pendenza non può essere ottimo. Una volta capito il problema possiamo passare alla soluzione formale. Il sistema tangenza più vincolo ( ux uy = ( px py px x + py y = m ⇐⇒ a bx = px py ⇐⇒ px x + py y = m ( px x = ab py py ( ab + y) = m y ? > 0 se e solo se m/py = a/b + y > a/b cioè se m > apy /b ≡ m0 (nel qual caso x? = apy /bpx > 0). Ha soluzione y = 0 se m = m0 . Se m < m0 non ha soluzione per y ≥ 0. Resta da vericare che per tali valori di m ? ? si ha ux /uy > px /py su tutto il vincolo (quindi la scelta ottima è x = m/px , y = 0). Abbiamo ha soluzione con ? ux px > uy py Ma se m < m0 , su tutto il vincolo è ⇐⇒ px x < px x ≤ px x + py y = m < m0 a py = m0 b che come appena visto implica 2/3 1/3 Esercizio 9. u(x, √ y) = x y , px = 20, py = 1, m = 300. (Approssima: Soluzione ux /uy > px /py . Quanto pagheresti per vedere px dimezzato? 1/ 3 4 ≈ 0.63) 2/3 di m su x e il resto su y . Con m = 300 u? (20, 1; 300) = 102/3 · 1001/3 = 1002/3 . Il ∆m cercato risolve dunque L'utilità è Cobb-Douglas, il consumatore spende raggiungendo utilità 2 300 − ∆m 2/3 1 300 − ∆m 1/3 ) ( ) 3 10 3 1 2 300 − ∆m 2 1 300 − ∆m 4 1 1002 = ( ) ( )= 3 (300 − ∆m)3 3 10 3 1 3 100 1 3003 = (300 − ∆m)3 4 1 ∆m = 300(1 − √ ) ≈ 300 · 0.37 = 111 3 4 1002/3 = u? (10, 1; 300 − ∆m) = ( 3 consuma (10, 100) - 2 Tasse e Gettito Esercizio 10 (Tasse e Gettito). Considera un mercato con quantità domandate e oerte date da ( D q (p) = 10 − 0.5p S q (p) = Supponi che il governo conceda un sussidio al consumo pari al −2 + p p ≥ 2 0 p<2 5% del prezzo di equilibrio. Calcola la perdita secca in percentuale su (a) costo per l'erario; (b) incremento surplus totale. (R. (a) 1 92 ≈ 1.1%; (b) 1 91 ≈ 1.1%) Soluzione Il prezzo di equilibrio è dato da s = 0.05 · 8 = 0.4 = 10 − 0.5p = −2 + p cioè 32 p = 12 che dà p? = 8; e q ? = 6. Il sussidio è q T scambiata dopo il sussidio invertiamo domanda e oerta ottenendo 2 5 . Per trovare la quantità pD (q) = 20 − 2q qT pS (q) = 2 + q 92 T pS −pD = s dunque 2+q −20+2q = 52 da cui 3q T = 92 5 cioè q = 15 . La perdita secca è l'area del triangolo 2 2 2 2 T ? q − q = 15 e altezza 5 quindi Perdita secca = 5·15 . Il costo per l'erario è Costo Erario = q T · s = 92 15 · 5 risolve con base da cui Perdita secca = Costo Erario L'incremento di surplus totale è 2 5·15 92 2 15 · 5 1 ≈ 1.1% 92 = 92 15 ∆ST = Costo Erario − Perdita secca = Perdita secca = ∆ST 2 5·15 182 5·15 = · 2 5 − 2 5·15 = 182 5·15 quindi 1 ≈ 1.1% 91 Esercizio 11 (Tasse e Gettito). Considera un mercato competitivo con domanda e oerta date rispettivamente da pD (q) = 10 − q e pS (q) = 3q . A causa di una tassa sul consumo la quantità scambiata è equilibrio. Il governo intende ridurre tale dierenza portandola al 10%. 13% in meno della quantità di Di quanto, in termini percentuali, si ridurrà il gettito scale in conseguenza di questa misura? (Suggerimento: Disegna. R. ≈ 20.4%) Soluzione q ? = 2.5, e la quantità scambiata q0 = (1 − 0.13)q ? = 2.175. Per tale valore la dierenza fra domanda e oerta è t0 = (10 − q0 ) − q0 = 1.3 con gettito G0 = t0 q0 = 2.8275. ? Se la quantità scambiata diventa q1 = (1 − 0.10)q = 2.25 la tassa passa a t1 = (10 − q1 ) − q1 = 1 e il gettito a G1 = t1 q1 = 2.25. Dunque la variazione relativa del gettito è L'equilibrio è G1 − G0 = −0.20424 ≈ −20.4% G0 3 Curva di Oerta ed Equilibrio Competitivo Esercizio 12. c(q) = F + aq 2 . (a) Calcola le curve di oerta q S (p) nel breve e lungo S S periodo, chiamale qSR (p), qLR (p) (nel breve periodo è accettabile perdita inferiore ai costi ssi). Illustra gracamente il problema. (b) Per il lungo periodo, nel graco colora l'area corrispondente al protto dell'impresa nel punto p Considera un'impresa con costi √ (q, p) = (2 F/a, 4 F a). Soluzione pS (q) = c0 (q) ≡ M C(q) con la condizione M C crescente, più: nel breve periodo p ≥ c(q)/q ≡ AC , nel lungo p ≥ (c(q) − F )/q ≡ AV C (che corrispondono a π ≥ 0, π ≥ −F , senza le quali l'impresa non produce nulla). Nota che p = M C ed M C ≥ AC equivalgono a p ≥ min AC ; analoga la condizione p ≥ AV C . La quantità oerta è inversa del prezzo di oerta, o zero se p < min AC (lungo periodo) o p < min AV C (breve p √ F/a dove vale 2 F a (è periodo). Nel nostro caso: M C = 2aq sempre crescente; AC = F/q + aq è minimo per q = convesso, a forma di U ); AV C = aq che è minimo in zero dove vale zero. E' sempre M C ≥ AV C , mentre M C ≥ AC p S vale per q ≥ F/a. Quindi nel breve periodo p = M C dà p = 2aq da cui qSR (p) = p/2a per ogni p; nel lungo (a) Il prezzo di oerta è periodo abbiamo S qSR (p) (b) L'impresa produce √ Fa ( √ 0 p < 2 Fa √ = p/2a p ≥ 2 F a a costo medio minimo, e il costo delle unità addizionali è l'area sotto la curva di oerta che è il costo marginale. Il ricavo è prezzo per quantità, quindi il surplus è quello disegnato in verde in gura. 4 p/2a 4*sqrt(Fa) 2*sqrt(Fa) sqrt(F/a) Esercizio 13. 2*sqrt(F/a) q c(q) = 1 + aq − q 2 + q 3 , con a > 1/3, calcola le curve di oerta q S (p) nel breve S S e lungo periodo, chiamale qSR (p), qLR (p) (nel breve periodo è accettabile perdita inferiore ai costi ssi). Illustra gracamente il problema. Per l'impresa con costi Soluzione pS (q) = c0 (q) ≡ M C(q) con la condizione M C crescente, più: nel breve periodo p ≥ c(q)/q ≡ AC , nel lungo p ≥ (c(q) − F )/q ≡ AV C (che corrispondono a π ≥ 0, π ≥ −F , dove F = 1 nel nostro caso, senza le quali l'impresa non produce nulla). Nota che p = M C ed M C ≥ AC equivalgono a p ≥ min AC ; analoga la condizione p ≥ AV C . La quantità oerta è inversa del prezzo di oerta, o zero se p < min AC (lungo periodo) 2 2 o p < min AV C (breve periodo). Nel nostro caso M C = 3q − 2q + a M C = 3q − 2q + a, una parabola tutta 2 0 2 positiva (da a > 1/3). AC = 1/q + a − q + q con derivata AC = −1/q − 1 + 2q il cui unico zero q = 1 è il 00 minimo di AC (AC > 0 per ogni q , AC è convessa a forma di U ), con minimo AC(1) = a + 1. Per il breve periodo, 2 2 AV C = ap− q + q ha minimo per q = 1/2, e AV C(1/2) = a − 1/4. La M C = p è p = 3q − 2q + a che ha inversa q = 1 + 1 + 3(p − a) /3 (l'altra radice è negativa). In conclusione. Per il breve periodo abbiamo ( 0 p < a − 1/4 S qSR (p) = 1+√1+3(p−a) p ≥ a − 1/4 3 Il prezzo di oerta è La S (p) qLR Esercizio 14 j = 1, 2 p < a + 1. ha la stessa forma solo che è zero per (Equilibrio Competitivo). Domanda di mercato pD (q) = 3 − q . con costi ( cj (q) = 10(2 − j) q = 0 10 + 1j q j q > 0 (a) (Facile) Scrivi la funzione di oerta della seconda impresa. (b) (Dicile) Esamina anche la situazione della prima impresa e calcola prezzo e quantità di equilibrio sul mercato. pD (q) = a − q , e determina eq (R. a > 1, q = a − 1) i valori di a Sul mercato ci sono due imprese (c) Considera più in generale la domanda per i quali l'equilibrio esiste e la quantità scambiata in equilibrio è positiva Soluzione √ (a) Per la seconda 2 5; poiché c02 (q) = q impresa è tutto standard π2 (0) = 0, AC2 è convesso con minimo in √ q=2 5 ed √ AC2 (2 5) = la quantità oerta dall'impresa è ( √ 0 p<2 5 √ q2 (p) = p p≥2 5 (b,c) Lo facciamo direttamente per q = 0; per p=1 a oerta è innita perché π1 π1 (q) = −10 + (p − 1)q , quindi: per p < 1 ore π1 (q) = π1 (0) = −10; per p > 1 la sua generico. Per la prima impresa è disposta a orire qualunque è crescente per q≥0 p > 1. perché in questo caso Conclusione, l'oerta di mercato è p<1 0 S q (p) = [0, ∞) p = 1 ∞ p>1 p = 1; a > 1. (la seconda impresa non fa gioco). Dunque in equilibrio deve essere quella domandata, Esercizio 15 q eq = q D (p) = a − p = a − 1 che è positiva per per tale valore la quantità scambiata è (adattato da un esercizio di A. Tesoriere). Considera un'impresa ( cj (q) = F + 12 q 2 0 n imprese uguali sul mercato, chiamala 5 con costo q>0 q=0 (nota che se non produce non paga costi ssi). (a) Scrivi la funzione di oerta oerta aggregata con j qnS (p). qjS (p) dell'impresa j e la funzione di Disegna quest'ultima. Sia adesso q D (p) = 1 − p n dato, determina i valori di F per i quali esiste un equilibrio, eq peq n , qn (Sugg. Devi guardare tutto dall'asse verticale). (c) eq Calcola il numero di imprese n in equilibrio nel lungo periodo, indicando con bnc il massimo intero ≤ n (per es. √ b3.2c = 3). (Sugg. Il prezzo di equilibrio con n imprese è 1/(1 + n) , che deve essere ≥ 2F che è il costo medio √ √ eq eq 2F , 1/[1 + (neq + 1)] < 2F ). Disegna. (d) Prendi F = 1/[2 · (1.2 · 36)2 ] minimo. Quindi n soddisfa 1/(1 + n ) ≥ e calcola il surplus netto totale (consumatori più produttori). (R. ≈ 0.477) la domanda di mercato del bene in questione. (b) Con e per tali valori calcola prezzo e quantità di equilibrio Soluzione 0 2 00 è AC(q) = F/q + q/2. Abbiamo AC = −F/q + 1/2 ed AC > 0 ∀q √ √ √q > 0 il costo medio q = 2F , con AC( 2F ) = 2F . Ed M C(q) = q , dunque ( ( √ √ 0 p < 2F 0 p < 2F S S √ √ qn (p) = qj (p) = p p ≥ 2F np p ≥ 2F (a) Per è per quindi il minimo Disegno: p 1 0 n*p sqrt(2F) q n*sqrt(2F) 1−p (b) La funzione di domanda essere1 − √ √ 2F ≥ n 2F , l'equazione domanda uguale oerta, √ cioè √ 1 − p = np, √ dà 2F ≤ 1/(1 + n) cioè F ≤ 1/[2(1 + n)2 ]. Per tali valori di F eq peq n = 1/(1 + n), con relativa quantità qn = n/(1 + n). 2F√è il costo medio minimo la condizione di √ n ≤ (1/ 2F ) − 1. Dunque neq = b(1/ 2F ) − 1c. (c) Poiché 2F non deve passare per il buco nella funzione di oerta, cioè deve dunque l'equilibrio esiste per D=1−p p protti non-negativi Disegno: n*p n=n 1/(1+n) p ≥ AC è in equilibrio 1/(1 + n) ≥ eq (n+1)*p 1 0 sqrt(2F) 1/[1+(n+1)] n*sqrt(2F) √ peq = 1/43, 2F = 1/43.2. Il surplus dei consumatori è l'area del triangolo sotto la domanda e sopra la retta 1/(1 + n); quello dei produttori è il trapezio dove sta camminando l'omino, e se non ho fatto male i conti la somma delle due aree è circa 0.477. (d) Con l'F dato √ 1/ 2F = 43.2 q (n+1)*sqrt(2F) quindi √ neq = b1/ 2F − 1c = 42. Quindi Micro per esami (D = S ) Oerta con discontinuità, trova parametri tali che l'equilibrio esiste 4 Domanda Oerta e Surplus Esercizio 16. che q D >0 q D (p) = max{60 − 0.05p, 0} ηD > 1. Considera la curva di oerta trova i valori per cui l'elasticità con p > 0. Nell'intervallo di valori di p tali Soluzione Intanto abbiamo 600 < p < 1200. Esercizio 17. q D > 0 ⇔ 60 > 0.05p ⇐⇒ 0 < p < 1200. Considera un mercato in cui l'oerta è Poi: q S = 20 ηD = 0.05p/q > 1 ⇐⇒ 0.05p > 60 − 0.05p ⇐⇒ e la domanda è denita dall'equazione pq 2 = 200. Disegna e calcola il prezzo di equilibrio. Soluzione Quantità oerta e domandata devono essere uguali quindi sostituendo troviamo p · 400 = 200 ⇐⇒ p? = 0.5. Figura (la domanda è disegnata come 6 q S = 20 nella equazione pD = 200/q 2 ): della domanda p qS p⋆ = 0.5 20 Esercizio 18. Domanda q D (p) = 120 − 3p oerta pS = 15. q Disegna e calcola l'equilibrio. Soluzione Sostituendo p = 15 nella domanda troviamo p q ? = 120 − 3 · 15 = 75, p? = 15. Figura: 40 p⋆ = 15 75 Esercizio 19. Oerta q S (p) = 3p, domanda denita da 120 pq 2 = 243. q Disegna e calcola l'equilibrio. Soluzione Sostituendo l'oerta nell'equazione della domanda si trova pD (q) = 243/q 2 e uguagliare 243/q 2 = q/3 ⇐⇒ q 3 = 729 ⇐⇒ q ? = 9 e poi p? = q ? /3 = 3. alternativamente scrivere la domanda come ottenendo Figura: p(3p)2 = 243 ⇐⇒ p? = √ 3 27 = 3 e q ? = 9. Potevamo pS (q) = q/3 questa al prezzo di oerta p S 3 D 9 Esercizio 20. q Considera la curva di oerta verticale in Figura: p Figura 4.1: Oerta Verticale S q q̄ Si può scrivere in funzione di scrivere in funzione di q p come q S (p) = q̄ - vista dall'asse verticale è una retta orizzontale. Ma Come interpreti il prezzo di oerta in questo caso, per a>0 q = q̄ corrisponde q < q̄, q = q̄, q > q̄ ? Suggerimento. perché una retta verticale non è una funzione - a non si può più di un valore di p. Considera prima, con grande, la funzione ( S p (q) = 0 q ≤ q̄ a(q − q̄) q ≥ q̄ e immaginala approssimata (a scaletta) come l'abbiamo costruita in aula con i vari oerenti (imprese) che vanno via via entrando in gioco. Soluzione La curva che suggerisco di considerare per chiarire le idee è come quella in Figura 4.2 solo più ripida (con q̄ = 10). La parte crescente a scaletta è come l'abbiamo costruita in aula: man mano che (imprese) disposti a fornire il bene hanno costi - costi opportunità - crescenti, e questo è pS q cresce gli individui che sale. Inserisco qui un'osservazione che servirà dopo: anche la stessa impresa, o lo stesso individuo, in generale avrà costo opportunità crescente di fornire quantità crescenti del bene. E la parte in cui pS = 0? Vuol dire che per quantità q ≤ q̄ individui/imprese disposti ad orire il bene gratuitamente - hanno costo opportunità zero di produrlo. 7 ci sono Figura 4.2: Surplus in punto interno p 2 6 10 q q < q̄ . Andiamo a q = q̄ . p = 0? La risposta è q S (0) = q̄ . S che p (q̄) = 0. La verticale su q̄ gratis, saranno comunque ben Passando alla curva verticale, dovrebbe adesso essere chiara la parte orizzontale per Per capire pS (q̄) guardiamo la quantità oerta E questo dà la risposta voluta: q̄ p = 0 che a q S (p): quant'è la quantità oerta a q̄ l'oerta è signica esattamente dice semplicemente - e ovviamente - che le imprese, che accettano di produrre contente di accettare un prezzo positivo! E questo è un fatto generale che possiamo registrare: abbiamo sempre pS (q), ma in verità qualunque prezzo al di sopra di questa funzione va altrettanto bene. Cioè, possiamo pensare al prezzo di oerta come una porzione di piano visto (e continueremo) a pensare al prezzo di oerta come la funzione delimitata inferiormente dalla funzione delimitata inferiormente dalla funzione pS (q). Nel caso pS (q) = 0, q ≤ q̄ . della q S = q̄ appena vista abbiamo la porzione di piano q > q̄ . Che succede in quella regione? Torniamo a guardare la q S (p). Questa dice che p alti quanto si vuole non ci sono imprese disposte ad orire più di q̄ . E' dunque naturale denire pS (q) = ∞ q > q̄ . In conclusione possiamo scrivere: ( 0 q ≤ q̄ S p (q) = ∞ q > q̄ E questo ci porta ai valori anche a per Osserva per concludere che poiché la quantità totale esistente sul pianeta di qualunque bene è limitato, per sucientemente grande Esercizio 21. q qualunque curva di oerta dovrebbe diventare verticale. Considera adesso l'oerta ( pS (q) = 0 q ≤ 10 0.5(q − 10) q ≥ 10 rappresentata nella Figura 4.2: Supponi che si scambi q=6 al prezzo p = 2. Qual è il surplus dell'oerta? Calcola (e colora) Soluzione Adesso che abbiamo imparato ad interpretare il prezzo di oerta la risposta è ovvia: 12, colorata qui sotto: p 2 6 Esercizio 22. (q ? , p? ); Considera la domanda (b) Considera l'introduzione 10 q √ pD (q) = 10 − q e l'oerta verticale q S = 9, come nella Figura 4.3. (a) Calcola T T di una tassa t > 0. Determina l'equilibrio (q , p ) con la tassa. (c) Disegna surplus produttori e consumatori prima della tassa, e surplus consumatori produttori e gettito dopo la tassa; (d) Quant'è la perdita secca? Soluzione (a) q ? = 9, domanda: e da pD (q) = pD (q ? ) p? = 7. Nota che questa è ( (10 − p)2 p ≤ 10 D q (p) = 0 p > 10 otteniamo 8 la soluzione che troviamo se invertiamo la Figura 4.3: Tassa p t, oerta verticale qS = 9 10 7 pD (q) = 10 − t √ q 5 9 q Figura 4.4: Domanda verticale p p S D q̄ q q q̄ Parte (a) e la poniamo uguale a q S (p) = 9, Parte (b) ottenendo ( p? = 7. q = 9 e la (10 − p)2 = 9 p ≤ 10 0=9 p > 10 che ha la soluzione appunto (b) Con la tassa resta dato che t=2 T concorrenza fra i consumatori determina pT = 5 - il prezzo di domanda a q=9 deve essere versato allo Stato. (c) Il surplus è disegnato nella gura sotto: p qS = 9 7 pD (q) = 10 − 2 √ q 5 9 q SC = Viola, SP = Arancio + Blu . SC = Viola, SP = Blu, Gettito = Arancio . Prima della tassa Dopo la tassa (d) La perdita secca è dunque zero. Non avendo modicato gli scambi realizzati, l'introduzione della tassa ha determinato soltanto un trasferimento di valore, in questo caso dalle imprese allo Stato. Esercizio 23. Torna a considerare la curva di oerta verticale dell'esercizio 20. E' una situazione estrema ma possibile, e nella discussione della soluzione argomenteremo che quella disegnata nella Figura 4.4(a) non è non solo possibile ma tipica. Pensa ora alla domanda. E' ragionevole ipotizzare una domanda come quella in Figura 4.4(b)? Rispondi separatamente per la parte verticale e per la parte orizzontale. Soluzione Ricorda che il prezzo di domanda è il prezzo massimo che i consumatori sono disposti a pagare per la data quantità, quindi analogamente a quanto detto per l'oerta si deve pensare al prezzo di domanda come la parte di piano (quadrante positivo) delimitata superiormente dalla funzione pD (q). La parte orizzontale dice dunque che a prezzo zero il mercato assorbe qualunque quantità. La cosa è giusticabile se si può gettar via il bene a costo zero. La parte verticale invece non è ragionevole, perché dice che ci sarebbero compratori disposti a pagare prezzo per ottenere q ≤ q̄ . qualunque E per quanto il bene sia vitale, in termini di quale altro bene si può pagare un prezzo innito? Come abbiamo osservato discutendo l'oerta, non esistono sulla terra beni in quantità innita. E' dunque ragionevole assumere che la domanda abbia pD (0) < ∞, cioè abbia un'intercetta nita sull'asse del prezzo. 9 Esercizio 24. Siano date le seguenti funzioni di domanda e oerta: governo impone una tassa unitaria di t=3 q D (p) = 11000 − 1000 · p, q S (p) = 500(p − 2), e il sulla produzione. Devi intanto disegnare... Calcola: (a) La perdita secca come frazione del surplus totale che produttori e consumatori avevano prima della tassa quantità scambiata in come frazione della quantità di equilibrio iniziale q ? ST ? ; (b) La riduzione della ; (c) La riduzione di surplus, come frazione del surplus iniziale, di produttori e consumatori; (d) Incidenza della tassa in termini di prezzo: calcola la variazione, p? , del prezzo pagato dai consumatori e di quello incassato dai produttori |(p (q ) − p? )/p? |; (f ) La relazione fra queste variazioni di prezzo e il rapporto fra come frazione del prezzo di equilibrio calcola cioè le elasticità D T ? ? (p (q ) − p )/p e η D , η S in equilibrio. S (f ) Come vedrai facendo i conti T q T = 2000. Supponi adesso che invece di imporre la tassa il governo decida di imporre un tetto sulla quantità scambiata, imponendo qualcos'altro? q ≤ qT . (f1) Cambia la perdita secca? (f2) Cambia Sugg. Tieni conto che il prezzo in questo caso dipende dal potere contrattuale di imprese e consumatori. (g1) Vedrai che pD (q T ) = 6. Che quantità sarà scambiata? essere superiore? Supponi che il governo, invece della tassa, imponga un prezzo massimo p = pD (q T ). La perdita di ecienza in questo caso è uguale a quella causata dalla tassa o può Sugg. In questo caso non è certo che il bene è consumato dai compratori che lo valutano di più. (g2) Trova la perdita massima, che si ottiene nel caso limite in cui il bene è consumato dai compratori che lo valutano di meno. Di quanto è più alta, in percentuale, rispetto alla perdita trovata in (a)? Soluzione q D = q S che dà p? = 8, quindi q ? = 3000. Elasticità in equilibrio: η D = 1000 · 8/3000 = 8/3, η = 500 · 8/3000 = 8/6 = η D /2. Surplus: SC ? = (11 − 8) · 3000/2 = 4500, SP ? = 9000, ST ? = 13500. La D S D S T T T tassa fa sì che p − p = 3 quindi dopo l'inversione di q , q si ottiene q = 2000, con surplus SC = 2000, SP = ? T T 4000, ST = 6000 e Gettito = 6000 quindi Perdita Secca = ST − ST − Gettito = 1500. ? T ? Dunque: (a) Perdita Secca/ST = 1500/13500 ≈ 0.11 = 11%; (b) Abbiamo q /q = 2/3 quindi la riduzione è T ? ? T ? 1 − 2/3 = 1/3 ≈ 33%. Più formalmente: |(q − q )/q | = 1 − q /q = 1/3. (c) Riduzione surplus. Consumatori: 1 − SC T /SC ? = 1 − 2000/4500 = 25/45 = 5/9; Produttori: 1 − SP T /SP ? = 1 − 4000/9000 = 5/9. Dunque entrambi D T D ? ? hanno riduzioni di più del 50%; (d) Consumatori: prezzo pagato p (q ) = 9, quindi variazione (p − p )/p = 1/8; S T S ? ? D ? ? produttori, prezzo incassato p (q ) = 6, quindi variazione |(p − p )/p | = 2/8 = 2 · (p − p )/p ; (e) Il rapporto Prezzo di equilibrio da S fra le variazioni di prezzo è uguale all'inverso del rapporto fra le elasticità: ηD |(pS − p? )/p? | = S D ? ? (p − p )/p η pD (q T ) = 6 e pS (q T ) = 9. Se 9 che a 6 - questo è il caso se (f1) No, la perdita secca resta uguale; (f2) Il prezzo di mercato può oscillare fra imprese hanno più potere contrattuale dei consumatori il prezzo sarà vicino più a le ci sono molti più consumatori che imprese, perché in questo caso i compratori si fanno concorrenza e spingono il prezzo verso l'alto - verso il prezzo di domanda, che è il massimo che sono disposti a pagare. Se viceversa ci sono molte più imprese che consumatori il prezzo sarà più vicino al prezzo di oerta SC T + SP T fra imprese e consumatori. S (g1) A prezzo p = 6 la quantità scambiata sarà q (6) = 2000, surplus ma 6. Con 6≤p≤9 q D (6) > q S (6) cambia la distribuzione del cosicché non tutti i consumatori che comprerebbero il bene a quel prezzo potranno averlo. Non possiamo essere sicuri che lo otterranno coloro che lo valutano di più, nel qual caso il surplus dei consumatori si riduce ulteriormente e la perdita di ecienza è superiore a quella vista nella parte (a). 2000 ma la ottengono i 2000, contro il surplus di quelli che valutano il bene di più, trapezio azzurro di area [(11 − 6) + (9 − 6)] · 2000/2 = 8000. Il surplus produttori è uguale a quello con la tassa. Dunque in questo caso la perdita secca è 13500 − (4000 + 2000) = 7500, cinque volte la perdita di 1500 causata dalla tassa. In percentuale abbiamo un aumento del 400%: (7500 − 1500)/1500 = 4 = 400% (g2) Il caso in esame è visualizzato nella gura di sotto. consumatori che entrano a p = 8. La quantità scambiata è Il loro surplus è l'area in marrone, uguale a p 11 9 8 6 2 2 Esercizio 25. 3 5 q × 1000 Prezzo massimo, di nuovo. Assumi che tutto vada per il meglio, che cioè il bene nisca nelle mani di quelli che ne traggono maggiore utilità. Le funzioni di domanda e oerta siano le seguenti: Considera l'imposizione di un prezzo massimo ∆SC in funzione di a p̄ = 5 − a, 0 < a < 5. Scrivi la variazione a per il quale ∆SC > 0. (R.10/3) e trova il valore massimo di 10 pS (q) = q, pD (q) = 10 −q . del surplus dei consumatori Soluzione Dalla gura è chiaro che ∆SC(a) = Area B − Area C = a(5 − a) − a = 5/3 che è una parabola con massimo e positiva no ad a2 3 = a(5 − a) 2 2 a = 10/3. p S C 5+a A 5 5−a B D q 5 Costi Esercizio 26. w/r < 1. Considera la seguente funzione di produzione: (a) Trova la funzione costo disegnale come è naturale che siano). c(q); f (L, K) = KL + K + L = L + K(L + 1). Assumi AC e costi marginali M C (concavità e convessità (b) Disegna costi medi La risposta del punto (b) è questa: w AC MC r w q −1 Soluzione (a) Dobbiamo studiare il problema della minimizzazione del costo l'isoquanto f =q tocca gli assi nei punti è (L, K) = (0, q), (q, 0). wL + rK sul vincolo f = q. Osserva intanto che La pendenza dell'isoquanto (sempre valore assoluto) fL K +1 = fK L+1 che è decrescente, con fL =1+q fK L=0 fL 1 = fK K=0 1+q w/r < 1 abbiamo w/r < 1 + q dunque l'isocosto wL + rK = cost. è sempre più piatto dell'isoquanto L sucientemente piccolo. Per w/r ≤ 1/(1 + q), cioè q ≤ r/w − 1, l'isocosto è più piatto dell'isoquanto per ogni (L, K) sull'isoquanto, quindi la combinazione ottima è L = q, K = 0 e il costo c(q) = wq . Per q > r/w − 1 il minimo è interno, dato dal sistema fL /fK = w/r ed f = q : ( ( K+1 w = K + 1 = wr (L + 1) L+1 r KL + K + L = q K + L(K + 1) = q w w (L + 1) − 1 + L(L + 1) = q r r r 2 L + 2L + 1 − (1 + q) = 0 w s r 1 r 1+q ∴ L(q) = [−2 ± 4 − 4(1 − (1 + q))] = −1>0 2 w w/r s s w w 1+q 1+q K(q) = (L + 1) − 1 = −1= −1>0 r r w/r r/w Assumendo per quindi per tali valori s c(q) = w[ s p √ 1+q 1+q − 1] + r[ − 1] = 2 wr · (1 + q) − (w + r) w/r r/w 11 Ricapitolando ( wq q≤ p c(q) = √ 2 wr · (1 + q) − (w + r) q > Nota che lim q→r/w−1 quindi c(q) è continua in p √ √ 2 wr · (1 + q) − (w + r) = 2 wr · r r w r w −1 −1 r r − (w + r) = r − w = w( − 1) w w q = r/w − 1. c(q) troviamo (b) Dalla espressione per AC(q) = Derivata per perché per √ √ 2 wr· (1+q)−(w+r) q q≤ q> r w r w −1 −1 q 2 · AC 0 (q) = √ p √ q wr p − 2 wr · 1 + q + (w + r) (1 + q) √ wr (q + 2) (w + r) − √ 1+q √ w+r 1 (q + 2)] wr[ √ −√ wr 1+q r p √ r 1 1 <0 wr + pr − 1+q+ √ w 1+q w 1 + q > r/w: x>1 ( w abbiamo la funzione x + 1/x è crescente come si verica derivandola. E' chiaro anche che limq→∞ AC = 0. Quindi, gura (sapendo che dove i costi medi sono decrescenti i costi marginali sono sempre minori dei costi medi): w MC r w AC q −1 6 Monopolio Esercizio 27 (adattato da Tirole). Scrivi il problema del monopolista in funzione di p, cioè π(p) = pq(p) − c(q(p)). πt (p) = pq(p + t) − c(q(p + t)) (se t < 0 parliamo di sussidio). Assumendo che le condizioni del secondo ordine siano soddisfatte, vogliamo t tale che il monopolista produca la 0 c 0 c c quantità che massimizza il surplus netto sociale, denita da p + t = c . Verica che t = q(p )/q (p ) < 0 dove p è il 0 prezzo competitivo, in corrispondenza dell'intersezione fra c e curva di domanda. Con una tassa t sul consumo il protto diventa Soluzione Assumendo che le condizioni del secondo ordine siano soddisfatte la condizione per 0 0 0 0 0 0 = q + q [p − c ] = [q − tq ] + q [p + t − c ]. c che p + t = p . Esercizio 28 Con la t denita nel testo la condizione di ottimo è (due impianti). Un monopolista ha domanda c1 (q1 ) = 10q1 (1 + q1 ), c2 (q2 ) = 2.5q2 (24 + q2 ). (a) Calcola πt0 = 0 cioè vericata per p tale maxp πt (p) è p(q1 + q2 ) = 120 − 3(q1 + q2 ). Ha due impianti con costi q1 , q2 , p, π . Calcola anche indice di Lerner (p − M C)/p ed elasticità della domanda in equilibrio. (b) Calcola la perdita secca, assumendo che ogni quantità è prodotta con c01 (q1 ) = c02 (q2 ) (questo è possibile con q ≥ 2.5, che assumiamo) (Risposta 31.5). totale c(q) = c1 (q1 ) + c2 (q2 ), con q = q1 + q2 per q ≥ 2.5. (c) Calcola la funzione di costo Suggerimento per (b). Per calcolare la perdita secca ci serve la funzione di costo marginale MC . Poiché qualunque 2.5) è prodotta con costi marginali uguali nei due impianti abbiamo MC = MC 1 = MC 2 . Quindi: quanto produco a costo marginale MC = 10? Risposta: quanto produco nel primo impianto a costo marginale MC 1 = 10, più quanto produco nel secondo con MC 2 = 10. Ripetendo il discorso per ogni valore di MC , se ci pensi questo dice quantità (≥ che −1 MC −1 = MC −1 1 + MC 2 12 dove f −1 somma indica come sempre l'inversa di f. Nel graco con MC 1 ed MC 2 questo dice che l'inversa di MC è la orizzontale delle due funzioni che vedi disegnate. Nota su (c). Per studiare il problema della suddivisione della produzione nei due impianti in generale (cioè per qualunque q ≥ 0) ci vogliono strumenti che noi non facciamo. Ma la condizione che si trova è molto naturale, e dice che in un punto di minimo costo: se puoi produci in entrambi gli impianti con un solo impianto, e a seconda del valore di MC 1 > MC 2 q produci con MC 1 < MC 2 MC 1 = MC 2 ; usando solo il secondo impianto. Nel nostro caso queste condizioni dicono che per entrambi gli impianti e produrre con MC 1 = MC 2 ; se q ≤ 2.5 se non puoi usa usando solo il primo impianto, oppure con q > 2.5 devi usare conviene usare solo il secondo impianto). Dunque la funzione di costo è quella che trovi nel punto (c) per mentre per q < 2.5 sarà q q ≥ 2.5, devi usare solo il primo impianto (qui per nessuna c(q) = c1 (q) = 10q(1 + q). Soluzione maxq1 ,q2 π = maxq1 ,q2 [q1 + q2 ]p(q1 + q2 ) − [c1 (q1 ) + c2 (q2 )]. Uguagliando a zero le derivate ( ( ( p + (q1 + q2 )p0 = c01 p + (q1 + q2 )p0 = c01 q1 = 3.4 ⇐⇒ ⇐⇒ 0 0 0 0 q2 = 3.6 p + (q1 + q2 )p = c2 c1 = c2 Da queste direttamente q1 + q2 = 7, p = 120 − 3 · 7 = 99, c1 + c2 = 398, π = 99 · 7 − 398 = 295. parziali otteniamo Poiché i costi marginali c01 (q1 ) = 78 da cui l'indice di Lerner è (p − M C)/p = 0.212; sappiamo inne che l'elasticità è il reciproco dell'indice: ηD = 1/0.212 = 4.714. (b) Calcoliamo Inv(MC ) come suggerito sopra e poi invertiamo. Da MC 1 = 10 + 20q1 , MC 2 = 60 + 5q2 otteniamo le inverse q1 = (MC − 10)/20, q2 = (MC − 60)/5 dove MC è il valore comune dei costi marginali; sommando otteniamo q = (MC − 10)/20 + (MC − 60)/5 = 0.25MC − 12.5 e re-invertendo otteniamo la funzione MC (q) = 50 + 4q (tanto per controllare: MC (7) = 78 come avevamo già calcolato). Da questo e dalla domanda p(q) = 120 − 3q calcoliamo la produzione eciente da p = MC che dà q = 10. La produzione in regime di monopolio è q = 7 con p − MC = 99 − 78 quindi la perdita secca è il triangolo di base 10 − 7 = 3 e altezza 99 − 78 = 21 che ha area 31.5. 0 0 (c) Per q ≥ 2.5 la condizione c1 (q1 ) = c2 (q2 ) dà q2 = 4q1 − 10, e da q = q1 + q2 = 5q1 − 10 otteniamo q1 = (10 + q)/5, q2 = (4q − 10)/5. Da qui con qualche passaggio si ottiene c(q) = c1 (q1 ) + c2 (q2 ) = 2q 2 + 50q − 50. Nota per me, Khun-Tucker. Il problema è min c1 (q1 ) + c2 (q2 ) sui vincoli q − q1 − q2 ≤ 0, −q1 ≤ 0, −q2 ≤ 0. Il dei due impianti in equilibrio sono uguali il costo marginale lo calcoliamo per esempio dal primo: Lagrangiano è L = −c1 (q1 ) − c2 (q2 ) − λ(q − q1 − q2 ) + µq1 + νq2 e le condizioni di primo ordine sono −c01 + λ + µ = 0, −c02 + λ + ν = 0 più non-negatività dei moltiplicatori e complementary slackness. Questa implica che q1 + q2 = 0 < q . Quindi λ > 0 altrimenti min{c01 , c02 } = 0. q ≥ 2.5, q2 = 4q1 − 10; (B) µ = 0, ν > 0 che dà q = q1 < 2.5; 10 + q2 < 0). min{µ, ν} = 0 perché altrimenti (A) µ = ν = 0 che dà Quindi ci sono tre casi. (C) µ > 0, ν = 0 che non è mai vericato (viene 7 Esercizi Americani (Frank-Bernanke) 1. Un'amica ti propone di andare con lei a Roma (no sex) e a te hanno appena regalato un biglietto. Sei quasi indierente se andare o no - non si prospetta grande divertimento, diciamo un epsilon a favore del viaggio - ma pensi il biglietto è gratis quindi non perdo niente: benecio epsilon costo zero, posso accettare. Stai sbagliando i conti o è giusto così? R. Stai sbagliando, il biglietto vale l'utilità che puoi ottenere dal suo miglior utilizzo alternativo (il suo costo opportunità) 2. (Common Property) In una certa famiglia con 3 gli la madre compra spesso una confezione di 6 succhi di frutta, dice ne avete 2 l'uno, e ognuno si conserva un succo per il giorno dopo. Un giorno la confezione la porta il padre che non dice niente - tutti i succhi sono di tutti - e la confezione la sera è nita. Il peggioramento è evidente perché ognuno preferisce un succo per il giorno dopo. Cosa è successo? (La risposta non è se non me la bevo col cavolo che domani la ritrovo). R. Con proprietà comune il costo privato è 1/3 del costo sociale perché sei proprietario di 1/3 di ogni lattina. 3. (Costi e beneci marginali). Nella università A la mensa costa 200Euro/mese e si mangia quanto si vuole. Gli studenti consumano 6kg di cibo a testa. A un certo punto si dice le deviazioni da 6Kg valgono 2Euro l'etto (in più o in meno). Che succede? R. Si consuma di meno perché prima il benecio marginale (in unità etti) era 0 adesso deve essere 2. 4. (Prezzi massimi). [Gone 4 luglio 2014] In un mercato competitivo si mette un tetto massimo al prezzo di vendita, inferiore al prezzo di equilibrio, per aiutare i più poveri. (a) Il surplus dei consumatori aumenta o diminuisce? (b) E quello delle imprese? (c) E il surplus totale? Disegna in tre graci separati. 13 R. (a) Può aumentare o diminuire. (b) Il surplus delle imprese diminuisce (c) Anche il surplus totale si riduce. In un graco unico: p S A B D C p0 E D q0 q Surplus Iniziale=A+B+C+D+E, Finale=A+C+E Variazione surplus. Consumatori: C−B; Imprese: −C−D 5. (Sussidi prezzi). L'oerta è orizzontale (corrispondente al prezzo globale). Il governo impone una tassa sussidiando l'acquisto del bene a prezzo inferiore. Disegna costo della misura e incremento di surplus dei consumatori. E' maggiore il primo o il secondo? R. Il costo è maggiore del benecio, vedi gura. Può essere una scelta politica opportuna trasferire reddito da chi paga le tasse a chi consuma quel bene - ma dobbiamo sapere che non è gratis. p S p A B C p−s D q Costo Sussidio=A+B+C Incremento Surplus Consumatori: A+B 6. (Incidenza Imposta in equilibrio di lungo periodo). Fatto: Tutto sulle spalle dei consumatori. 7. (Prezzo dei Servizi Pubblici al Costo Marginale)In un paesino l'acqua è gestita dal comune. Si ottiene milione) di litri d'acqua al giorno da una sorgente al costo di 1.2cent/l. La domanda ad 1.2cent/l è 2.8m 0.2cent/l 1m (un e il resto va depurata da un lago al costo di di litri, come in gura. MC 1.2 D 0.2 1 2.8 q 1.2cent/l è q = 2.8m (1m da sorgente più 1.8m dal lago). Il prezzo Per massimizzare il surplus totale (beneci sociali meno costi) si depura acqua nché il costo marginale uguale al benecio marginale dell'acqua, quindi si producono dell'acqua viene ssato al costo marginale, 1.2cent/l. Però le famiglie che abitano vicino alla sorgente protestano che 0.2cent/l. C'è un economista in consiglio comunale e lui propone che la loro acqua costa meno e vorrebbero pagare queste famiglie paghino come gli altri, ma gli venga riconosciuto un contributo pari all'area gialla in gura, per la precisione 10Ke. Perché? (Sugg. Se pagassero 0.2cent/l quelle famiglie continuerebbero a consumare la quantità di prima? Dai un'occhiata all'esercizio 3) R. Se quelle famiglie pagassero a 0.2cent/l, 0.2cent/l consumerebbero una quantità tale che il loro benecio marginale è uguale che è minore del benecio marginale degli altri consumatori. Il surplus totale sarebbe quindi inferiore al massimo, infatti se si trasferisse un litro da loro al consumatore marginale si avrebbe una perdita di guadagno di 1.2cent 0.2cent e un (uguale al risparmio di costo). Quindi tutti devono consumare allo stesso benecio marginale. Le famiglie che abitano alla sorgente sono d'altra parte soddisfatte della soluzione proposta, perché quella sarebbe la rendita che otterrebbero se fossero proprietarie della sorgente in un mercato privato. 14 8. 20K (Concorrenza e rendita) Gli chef normali guadagnano l'anno e i ristoranti dove lavorano incassano In alcuni ristoranti ci sono chef con un quid in più e lì si incassano 120K . R. 40K, a causa delle pressioni competitive: se uno di loro guadagnasse a orire 20K 40K − /2. in più sono 9. 20K Se il costo opportunità di questi chef è 100K . Quanto guadagneranno gli chef di talento? 40K − ci sarebbe un ristorante pronto (potrebbero andare a lavorare come chef normali) i rendita. Long Run, Equilibrio competitivo. Nel LR tutto il surplus va ai consumatori - esempio: cost saving innovation. Questo lo sappiamo, è giusto per ricordarlo. 10. Tasse sui beni di lusso. Si tassano ferocemente i beni di lusso. Il peso della tassa grava sui ricconi che li consumano? R. Non necessariamente! Se la domanda è elastica e l'oerta rigida pagano le imprese - e i loro lavoratori, che quei beni fuori dalle fabbriche non li vedono manco da lontano. 11. Il governo stabilisce un sussidio s sui gelati. Disegna le variazioni di surplus. R. Vedi gura. S s s Eq B A C E D s Eq D D Incremento Surplus. Consumatori: C+D; Imprese: A+B Perdita Secca: E q 8 Esternalità Esercizio 29 (Pindyck-Rubinfeld). Funzioni di domanda e oerta date da quantità prodotta genera un costo esterno ext c (q) = .3q 2 q D (p) = 160 − 2p, q S (p) = 40 + 2p. La . Determina quantità ecienti e di equilibrio. Soluzione In equilibrio D p (q) = 80−.5q Esercizio 30 qD = qS dà q = 100. La quantità eciente è data dall'uguaglianza fra benecio marginale sociale e costo marginale sociale pS +dcext /dq = .5q −20+.6q = 1.1q −20. Il risultato è q = 1000/16 = 62.5. e dati da pD (q) = 100 − q, pS (q) = 10 + q tassa Pigouviana t che ristabilisce l'equilibrio, (Pindyck-Rubinfeld). Prezzi unitari di domanda e oerta in e costo esterno della quantità prodotta ext c 2 (q) = q /2. Determina la e calcola la perdita di surplus dovuta all'esternalità in valore assoluto e come percentuale del surplus ottenuto con la quantità eciente. Soluzione S ext Il costo marginale sociale è p + dc /dq = 10 + q + q = 10 + 2q ce uguagliato a pD dà la quantità eciente ef f eq q = 30. D'altra parte q = 45. La tassa t è tale che pS + t = pD per q = 30, cioè 10 + 30 + t = 100 − 30; è dunque t = 30. La perdita di surplus è data dall'area del triangolo di altezza ed è quindi 337.5e. perdita è dunque di Esercizio 31 spettivamente all'esternalità. 45 − 30 = 15 e base (10 + 2 · 45) − (100 − 45) = 45 Il surplus con quantità eciente è l'area del triangolo di altezza 30 e base 90 che è 1350. La 337.5/1350 = .25 = 25%. D (Pindyck-Rubinfeld). Prezzo di domanda p (q) = .5 − .0064q , costi marginali privati e sociali riM C priv (q) = −.357 + .0573q, M C soc (q) = −5.645 + .6509q . Calcola la perdita di surplus dovuta Soluzione q eff = 9.35, q eq = 13.45, Esercizio 32. con q area uguale a (13.45 − 9.35)(3.11 − .41)/2 = 5.535 Come sopra (senza MC negativi) quando il prezzo di domanda è misurata in e/quintale e costi marginali sono Kg . Esercizio 33 (Bernheim-Whinston). Quantità misurata in 1000ton/anno. Ci sono 200 imprese uguali con costo cj (q) = 500qj + qj2 . Il costo esterno della quantità prodotta da un'impresa è cext (q) = 100qj + qj2 . La quantità D domandata è q (p) = 150000 − 100p, prezzo in Euro. Calcola la perdita di surplus in e/anno e in percentuale rispetto al surplus ottenuto con quantità eciente. (R. La perdita è 6M e/anno, e il surplus massimo 13.5M e/anno; soc in percentuale siamo al 44.4%. Sugg. Consdera che dato che ogni impresa produce qj = q/200 si ha CM (q) = CMjsoc (q/200)) 15 Soluzione p = CMjpriv otteniamo qjS (p) = .5p − 250 per p ≥ 500, qjS (p) = 0 per p < 500; S sommando, l'oerta di mercato è q (p) = 100p − 50000 da cui p (q) = 500 + 0.01q (uguale al costo marginale privato priv D CM (q)). Uguagliando questo al prezzo di domanda p (q) = 1500 − 0.01q si ricava l'equilibrio competitivo q eq = 50000, peq = 1000, dove ogni impresa produce qjeq = 250 (nota che CM priv (q) = 500 + 0.01q = 500 + 0.01(200qj ) = 500 + 2qj = CMjpriv (qj ) per ogni j , che conferma ciò che sappiamo). Per determinare la quantità eciente partiamo soc dal costo marginale sociale della produzione dell'impresa j , CMj (qj ) = (500 + 2qj ) + (100 + 2qj ) = 600 + 4qj ; soc soc dato che ogni impresa produce qj = q/200, CM (q) = CMj (q/200) = 600 + 0.02q ; uguagliando questo al prezzo eff di domanda (benecio marginale sociale) otteniamo q = 30000, peff = 1200. A questo punto il calcolo delle aree, illustrato in gura, dà perdita uguale a 6M e/anno e surplus massimo 13.5M e/anno. In termini percentuali 6/13.5 = 44.4%. CMjpriv (qj ) = 500 + 2qj quindi da S Euro/anno CM soc 1600 1500 CM priv 1000 600 500 D 30 50 q (migliaia) Surplus: Giallo = 900*30/2 Perdita: Rossa = 600*20/2 Esercizio 34 (Esternalità & Perdita Surplus, Modica-Tesoriere). Due imprese producono lo stesso bene. produzione della prima inuenza negativamente il costo della seconda linearmente, con intensità c1 (q1 ) = q12 2 c2 (q2 ) = q22 + αq1 2 Nota che la produzione della prima impresa rappresenta un costo sso per la seconda. La domanda del bene è pD (q) = 1 − q , dove q = q´1 + q2 . Il surplus totale W (q1 , q2 ) è l'area sotto la domanda meno i costi. L'area q 2 domanda è q − q /2 (è = (1 − x)dx ma disegna, la puoi calcolare come triangolo più quadrato) quindi 0 W (q1 , q2 ) La 0 ≤ α ≤ 1/6: sotto la q2 q2 (q1 + q2 )2 − 1 − ( 2 + αq1 ) 2 2 2 = q1 (1 − q1 ) + q2 (1 − q2 ) − q1 (q2 + α) = q1 + q2 − q1eq (α), q2eq (α) e il relativo surplus W eq (α) (devi calcolare l'oerta totale, le quantità prodotte in equilibrio e sostituire in W ; devi anche controllare che per α ≤ 1/6 eff eff entrambe le imprese producono in equilibrio); le quantità q1 (α), q2 (α) che massimizzano W e il surplus massimo eff eff eq W (α); la dierenza fra le quantità totali q (α) − q (α) (R. −α/3 negativa, in equilibrio si produce troppo); eff la perdita relativa di surplus L(α) = [W (α) − W eq (α)]/W eff (α) causata dall'esternalità. Verica inne che L è crescente per 0 ≤ α ≤ 1/6 e calcolane il massimo (R. ≈ 3.2%). Calcola, in funzione di α: le quantità in equilibrio competitivo Soluzione Le condizioni M Cj = p per j = 1, 2 danno entrambe qjS (p) = p. Per la prima impresa il protto massimo è 2 p /2); per la seconda impresa la condizione di protti non negativi pq2 − c2 (q2 ) ≥ 0 (con qj = p, j = 1, 2) a ≤ p/2. Vediamo se c'è un equilibrio con entrambe le imprese attive. Con entrambe attive q S (p) = 2p; la D D quantità domandata è q (p) = 1 − p quindi la relazione di equilibrio q = q S dà p = 1/3. Poiché α ≤ 1/6 l'equilibrio eq eq eq ha entrambe le imprese attive, da cui q = 2/3, q1 = q2 = 1/3. L'equilibrio non dipende da α (in questo caso eq semplice!), e sostituendo in W troviamo W (α) = (1 − α)/3. Passando alla massimizzazione di W , le derivate rispetto a q1 , q2 sono positivo (= dà ∂W = 1 − 2q1 − q2 − α ∂q1 ∂W = 1 − q1 − 2q2 ∂q2 q1eff (α) = (1 − 2α)/3, q2eff (α) = (1 + α)/3, da cui q eff (α) = (2 − α)/3. Dalle q (α) − q eq (α) = −α/3. Sostituendo poi in W si trova (con qualche passaggio) uguagliando a zero le quali si ottiene espressioni trovate è immediato che W eff (α) = (1 − α + α2 )/3. Dunque eff L(α) = Inne, la derivata 1/31 ≈ 3.2%. L0 (α) = α(2 − α)/(α2 − α + 1)2 α2 α2 −α+1 è positiva per 16 0 ≤ α ≤ 1/6 quindi il suo massimo è L(1/6) =