Esercizi Mirco Svolti

Economia Politica Spring 2015
L. Balletta, G. De Luca, S Modica, A. Tesoriere
1 Consumatore
Esercizio 1
(Vincoli Multipli). Cercare lavoro costa tempo e denaro. Supponi di poter dedicare allo scopo, in una
certa settimana, 30 ore e 75 Euro, e che ci sono due tipi di ricerca possibile: andare di persona o spedire una lettera.
Ogni visita costa
visite
v
e lettere
`
7.5
Euro e 5 ore di tempo, e ogni lettera costa
1.5
Euro e mezz'ora di tempo. Supponendo che
possano assumere valori reali qualunque descrivi l'insieme delle scelte
(v, `)
possibili.
Soluzione
Abbiamo un vincolo in ore e uno in Euro, entrambi devono essere soddisfatti. Quello in Euro è
5v + 0.5` ≤ 30.
(0, 50), (2, 40) e (10, 0).
quello in ore
per
Esercizio 2
attività
1
a
e
7.5v + 1.5` ≤ 75,
L'intersezione cercata è la parte del primo quadrante al di sotto della spezzata che passa
(Vincoli Multipli). Una persona deve decidere come impiegare il suo tempo e il suo denaro in due
b.
Ha
20
ore e
50
Euro. Una unità di
a
10
prende un'ora e costa
Euro. Descrivi l'insieme di scelte possibili nel piano
Euro, una di
b
prende mezz'ora e costa
(a, b).
Soluzione
I due vincoli da soddisfare sono: quello in Euro
10a + b = 50,
a + 0.5b = 20. Quindi l'insieme cercato
(0, 40), (1.25, 37.5) e (5, 0).
quello in ore
è la parte del primo quadrante al di sotto della spezzata passante per
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
√
u(x, y) = xy, p0 = (p0x , p0y ) = (3, 2), m = 50, ∆p = (∆px , ∆py ) = (0, 0.5). Calcola
0
∗
eetto reddito ed eetto sostituzione con ∆m = y(p , m)∆py . (b) Calcola il ∆ m eettivamente necessario a lasciare
Esercizio 3
(Slutsky). (a) Sia
il consumatore sulla curva di indierenza iniziale.
Soluzione
(a) Sappiamo che con utilità Cobb-Douglas
α = β = 1/2
x(p, m) =
Abbiamo
abbiamo
y(p0 , m) = y((3, 2), 50) =
∆m = y(p0 , m)∆py = 6.25
si ha
1m
1m
, y(p, m) =
2 px
2 py
1 50
2 2
= 12.5 ed y(p0 + ∆p, m) = y((3, 2.5), 50) =
0
quindi y(p + ∆p, m + ∆m) = y((3, 2.5), 56.25) =
1 50
2 5/2 = 10; poiché ∆py = 0.5
1 56.25
2 5/2 = 11.25. Quindi eetto
sostituzione ed eetto reddito, che si trovano dalla decomposizione
y(p0 + ∆p, m) − y(p0 , m) = [y(p0 + ∆p, m + ∆m) − y(p0 , m)] + [y(p0 + ∆p, m) − y(p0 + ∆p, m + ∆m)]
sono dati rispettivamente da
y(p0 + ∆p, m + ∆m) − y(p0 , m) = −1.25, y(p0 + ∆p, m) − y(p0 + ∆p, m + ∆m) = −1.25
p + ∆p, il paniere di beni (x∗ , y ∗ )
0
0
pendenza px /(py + ∆py ). La curva iniziale
(b) Dobbiamo mettere il consumatore in grado di acquistare, a prezzi nuovi
dato dal punto sulla curva di indierenza iniziale in cui questa curva ha
è
u(x, y) = u0
con
s
0
0
0
u = u(x(p , m), y(p , m)) =
Quindi il punto
(x∗ , y ∗ )
1m 1m
·
=
2 p0x 2 p0y
r
è soluzione del sistema
(
ux
uy
=
p0x
p0y +∆py
u(x, y) = u0
(
cioè
y
x
3
5/2
2
= 256
=
xy
1 50 1 50
25
·
=√
2 3 2 2
6
√ ∗
√
x∗ = 25
5, y = 5 5.
6
prezzi p + ∆p quindi è dato
che dà
Il
a
da
∆∗ m
cercata è denito dal fatto che il consumatore può acquistare questo paniere
x∗ p0x + y ∗ (p0y + ∆py ) = m + ∆∗ m
che nel nostro caso è
25
6
√
avevamo dato.
Esercizio 4
√
5·3+5 5·
(Slutsky). (a) Sia
5
2
= 50 + ∆∗ m,
∆∗ m = 5.9.
Nota che è minore del
6.25
che gli
√
y, p0 = (p0x , p0y ) = (18, 1), m0 = 99, ∆p = (∆px , ∆py ) = (−2, 0).
0
0
con ∆m = x(p , m )∆px . (b) Si vede in (a) che l'eetto sostituzione è
u(x, y) = x +
Calcola eetto reddito ed eetto sostituzione
risolta da
preponderante. Pensi che la situazione iniziale del consumatore sia quella del pannello sinistro o quello destro della
gura di sotto? A sinistra consuma poco
è giusta calcolando
x,
a destra vicino al massimo che si può premettere. Verica se l'intuizione
p0x x/m0 , p0y y/m0 .
y
y
x
x
Soluzione
(a) Ignorando soluzioni di angolo calcoliamo
m.
Questo dà
( √
2 y = p1x
px x + y = m
x(p, m)
con il sistema tangenza più vincolo, in funzione di
(
⇐⇒
px
ed
y(p, m) = p2x /4
x(p, m) =
m−(px /2)2
px
Quindi:
x(p0 , m0 ) =
97 − 64
33
1
99 − 81
= 1, ∆m = −2, x(p0 + ∆p, m0 + ∆m) =
=
=2+ ,
18
16
16
16
x(p0 + ∆p, m0 ) =
99 − 64
35
3
=
=2+
16
16
16
Da cui ricaviamo eetto totale, reddito e sostituzione rispettivamente uguali a
x(p0 + ∆p, m0 ) − x(p0 , m0 ) = 1 +
2
3
, x(p0 + ∆p, m0 ) − x(p0 + ∆p, m0 + ∆m) =
16
16
x(p0 + ∆p, m0 + ∆m) − x(p0 , m0 ) = 1 +
Eettivamente la variazione totale
1 + 3/16
è dovuta quasi interamente all'eetto sostituzione che è
(b) La situazione più plausibile è quella del pannello di sinistra perché in quel caso il
∆m
1
16
1 + 1/16.
necessario è più piccolo
quindi la traslazione parallela del vincolo che determina l'eetto reddito è più piccola. Confermiamo:
p0y y(p0 , m0 )
81
=
m0
99
18
p0x x(p0 , m0 )
=
,
m0
99
dunque il consumatore spendeva originariamente meno del
Esercizio 5
(Beni inferiori). Un bene si dice
ci siano soltanto due beni
px , py
x, y
20%
del proprio reddito su
x.
inferiore se il suo consumo si riduce al crescere del reddito
e che l'utilità sia monotona (se
x0 > x, y 0 > y
allora
siano dati. Dimostra che i due beni non possono essere entrambi inferiori.
u(x0 , y 0 ) > u(x, y)).
m.
Supponi
Anche i prezzi
Sugg. Fallo per contraddizione
Soluzione
Se entrambi i beni fossero inferiori ci sarebbero m1 < m2 tali che ad m2 il consumo di entrambi i beni - diciamo
(x2 , y2 ) - è inferiore che ad m1 - dove si consuma diciamo (x1 , y1 ). Ma questo contraddice px x2 + py y2 = m2 > m1 =
px x1 + py y1 (le uguaglianze sono vere perché u è monotona).
Esercizio 6
(Lavoro e tempo libero). Considera la funzione di utilità
u(c, L) = L(48 + c − L) dove c è il consumo
H = T − L, con T = 24 (H indica ore di lavoro). Il prezzo del consumo
è 1, il salario orario w . Il vincolo di bilancio è c ≤ wH . Esprimi la scelta ottima di H in funzione di w e verica che
H cresce da 0 a 12 quando w cresce da 0 ad innito.
giornaliero ed
L
le ore di tempo libero. Sia
2
Soluzione
Poiché la
u
u
è monotona in
H;
diventa funzione di
c
c = wH
u0 (H) = 0, che dà
il vincolo sarà soddisfatto con uguaglianza. Sostituendo
si trova
u00 (H) < 0
dunque la scelta ottima è data da
H(w) =
ed
L = T − H,
la
T (w + 2) − 48
2(w + 1)
dalla quale le proprietà enunciate si deducono facilmente.
Esercizio 7.
Scelta intertemporale con tassi
Esercizio 8. u(x, y) = a log x + by ,
ha
y? = 0
x),
(compri solo
per
r1 < r2
px , py , m.
prezzi e reddito
m > m0
per debiti e prestiti.
Mostra che esiste
m0
tale che per
m ≤ m0
ue
la soluzione è interna al vincolo. (Sugg. Disegna la mappa di
la soluzione
capisci cosa
succede)
Soluzione
La mappa di
u
è riportata nella gura qui sotto con due rette di bilancio parallele, una con reddito basso e una
con reddito più alto.
y
Mappa indifferenza u(x,y)=a*log x +b*y
x
Che quanto asserito debba essere vero si indovina osservando che
e
limx→∞ ux /uy = 0.
minima di una curva di indierenza (per
curva sarà maggiore di
perciò essere
y ? = 0.
ux /uy = a/bx;
limx↓0 ux /uy = ∞,
quindi per
Dal graco si vede che man mano che andiamo verso livelli di utilità più bassi la pendenza
px /py
y = 0)
cresce. Quindi per reddito sucientemente basso la pendenza della
per tutti i punti che rispettano il vincolo; per tali valori di reddito la scelta ottima deve
Quando al contrario andiamo su livelli di utilità sucientemente alti, per
della curva di livello diventa più bassa di un dato
px /py
dunque
y=0
y≈0
la pendenza
non può essere ottimo. Una volta capito il
problema possiamo passare alla soluzione formale.
Il sistema tangenza più vincolo
(
ux
uy
=
(
px
py
px x + py y = m
⇐⇒
a
bx
=
px
py
⇐⇒
px x + py y = m
(
px x = ab py
py ( ab + y) = m
y ? > 0 se e solo se m/py = a/b + y > a/b cioè se m > apy /b ≡ m0 (nel qual caso x? = apy /bpx > 0).
Ha soluzione y = 0 se m = m0 . Se m < m0 non ha soluzione per y ≥ 0. Resta da vericare che per tali valori di m
?
?
si ha ux /uy > px /py su tutto il vincolo (quindi la scelta ottima è x = m/px , y = 0). Abbiamo
ha soluzione con
?
ux
px
>
uy
py
Ma se
m < m0 ,
su tutto il vincolo è
⇐⇒
px x <
px x ≤ px x + py y = m < m0
a
py = m0
b
che come appena visto implica
2/3 1/3
Esercizio 9. u(x,
√ y) = x y , px = 20, py = 1, m = 300.
(Approssima:
Soluzione
ux /uy > px /py .
Quanto pagheresti per vedere
px
dimezzato?
1/ 3 4 ≈ 0.63)
2/3 di m su x e il resto su y . Con m = 300
u? (20, 1; 300) = 102/3 · 1001/3 = 1002/3 . Il ∆m cercato risolve dunque
L'utilità è Cobb-Douglas, il consumatore spende
raggiungendo utilità
2 300 − ∆m 2/3 1 300 − ∆m 1/3
) (
)
3
10
3
1
2 300 − ∆m 2 1 300 − ∆m
4 1
1002 = (
) (
)= 3
(300 − ∆m)3
3
10
3
1
3 100
1
3003 = (300 − ∆m)3
4
1
∆m = 300(1 − √
) ≈ 300 · 0.37 = 111
3
4
1002/3 = u? (10, 1; 300 − ∆m) = (
3
consuma
(10, 100)
-
2 Tasse e Gettito
Esercizio 10
(Tasse e Gettito). Considera un mercato con quantità domandate e oerte date da
(
D
q (p) = 10 − 0.5p
S
q (p) =
Supponi che il governo conceda un sussidio al consumo pari al
−2 + p p ≥ 2
0
p<2
5%
del prezzo di equilibrio. Calcola la perdita secca
in percentuale su (a) costo per l'erario; (b) incremento surplus totale. (R. (a)
1
92
≈ 1.1%;
(b)
1
91
≈ 1.1%)
Soluzione
Il prezzo di equilibrio è dato da
s = 0.05 · 8 = 0.4 =
10 − 0.5p = −2 + p cioè 32 p = 12 che dà p? = 8; e q ? = 6. Il sussidio è
q T scambiata dopo il sussidio invertiamo domanda e oerta ottenendo
2
5 . Per trovare la quantità
pD (q) = 20 − 2q
qT
pS (q) = 2 + q
92
T
pS −pD = s dunque 2+q −20+2q = 52 da cui 3q T = 92
5 cioè q = 15 . La perdita secca è l'area del triangolo
2
2
2
2
T
?
q − q = 15 e altezza 5 quindi Perdita secca = 5·15 . Il costo per l'erario è Costo Erario = q T · s = 92
15 · 5
risolve
con base
da cui
Perdita secca
=
Costo Erario
L'incremento di surplus totale è
2
5·15
92 2
15 · 5
1
≈ 1.1%
92
=
92
15
∆ST = Costo Erario − Perdita secca =
Perdita secca
=
∆ST
2
5·15
182
5·15
=
·
2
5
−
2
5·15
=
182
5·15 quindi
1
≈ 1.1%
91
Esercizio 11
(Tasse e Gettito). Considera un mercato competitivo con domanda e oerta date rispettivamente da
pD (q) = 10 − q
e
pS (q) = 3q .
A causa di una tassa sul consumo la quantità scambiata è
equilibrio. Il governo intende ridurre tale dierenza portandola al
10%.
13% in meno della quantità di
Di quanto, in termini percentuali, si ridurrà
il gettito scale in conseguenza di questa misura? (Suggerimento: Disegna.
R.
≈ 20.4%)
Soluzione
q ? = 2.5, e la quantità scambiata q0 = (1 − 0.13)q ? = 2.175. Per tale valore la dierenza fra
domanda e oerta è t0 = (10 − q0 ) − q0 = 1.3 con gettito G0 = t0 q0 = 2.8275.
?
Se la quantità scambiata diventa q1 = (1 − 0.10)q = 2.25 la tassa passa a t1 = (10 − q1 ) − q1 = 1 e il gettito a
G1 = t1 q1 = 2.25. Dunque la variazione relativa del gettito è
L'equilibrio è
G1 − G0
= −0.20424 ≈ −20.4%
G0
3 Curva di Oerta ed Equilibrio Competitivo
Esercizio 12.
c(q) = F + aq 2 . (a) Calcola le curve di oerta q S (p) nel breve e lungo
S
S
periodo, chiamale qSR (p), qLR (p) (nel breve periodo è accettabile perdita inferiore ai costi ssi). Illustra gracamente
il problema. (b) Per il lungo periodo, nel graco colora l'area corrispondente al protto dell'impresa nel punto
p
Considera un'impresa con costi
√
(q, p) = (2 F/a, 4 F a).
Soluzione
pS (q) = c0 (q) ≡ M C(q) con la condizione M C crescente, più: nel breve periodo
p ≥ c(q)/q ≡ AC , nel lungo p ≥ (c(q) − F )/q ≡ AV C (che corrispondono a π ≥ 0, π ≥ −F , senza le quali l'impresa
non produce nulla). Nota che p = M C ed M C ≥ AC equivalgono a p ≥ min AC ; analoga la condizione p ≥ AV C .
La quantità oerta è inversa del prezzo di oerta, o zero se p < min AC (lungo periodo) o p < min AV C (breve
p
√
F/a dove vale 2 F a (è
periodo). Nel nostro caso: M C = 2aq sempre crescente; AC = F/q + aq è minimo per q =
convesso, a forma di U ); AV C = aq che è minimo in zero dove vale zero. E' sempre M C ≥ AV C , mentre M C ≥ AC
p
S
vale per q ≥
F/a. Quindi nel breve periodo p = M C dà p = 2aq da cui qSR
(p) = p/2a per ogni p; nel lungo
(a) Il prezzo di oerta è
periodo abbiamo
S
qSR
(p)
(b) L'impresa produce
√
Fa
(
√
0
p < 2 Fa
√
=
p/2a p ≥ 2 F a
a costo medio minimo, e il costo delle unità addizionali è l'area sotto la curva di oerta
che è il costo marginale. Il ricavo è prezzo per quantità, quindi il surplus è quello disegnato in verde in gura.
4
p/2a
4*sqrt(Fa)
2*sqrt(Fa)
sqrt(F/a)
Esercizio 13.
2*sqrt(F/a)
q
c(q) = 1 + aq − q 2 + q 3 , con a > 1/3, calcola le curve di oerta q S (p) nel breve
S
S
e lungo periodo, chiamale qSR (p), qLR (p) (nel breve periodo è accettabile perdita inferiore ai costi ssi). Illustra
gracamente il problema.
Per l'impresa con costi
Soluzione
pS (q) = c0 (q) ≡ M C(q) con la condizione M C crescente, più: nel breve periodo p ≥ c(q)/q ≡
AC , nel lungo p ≥ (c(q) − F )/q ≡ AV C (che corrispondono a π ≥ 0, π ≥ −F , dove F = 1 nel nostro caso, senza
le quali l'impresa non produce nulla). Nota che p = M C ed M C ≥ AC equivalgono a p ≥ min AC ; analoga la
condizione p ≥ AV C . La quantità oerta è inversa del prezzo di oerta, o zero se p < min AC (lungo periodo)
2
2
o p < min AV C (breve periodo). Nel nostro caso M C = 3q − 2q + a M C = 3q − 2q + a, una parabola tutta
2
0
2
positiva (da a > 1/3). AC = 1/q + a − q + q con derivata AC = −1/q − 1 + 2q il cui unico zero q = 1 è il
00
minimo di AC (AC > 0 per ogni q , AC è convessa a forma di U ), con minimo AC(1) = a + 1. Per il breve periodo,
2
2
AV C = ap− q + q ha minimo
per q = 1/2, e AV C(1/2) = a − 1/4. La M C = p è p = 3q − 2q + a che ha inversa
q = 1 + 1 + 3(p − a) /3 (l'altra radice è negativa). In conclusione. Per il breve periodo abbiamo
(
0
p < a − 1/4
S
qSR (p) = 1+√1+3(p−a)
p ≥ a − 1/4
3
Il prezzo di oerta è
La
S
(p)
qLR
Esercizio 14
j = 1, 2
p < a + 1.
ha la stessa forma solo che è zero per
(Equilibrio Competitivo). Domanda di mercato
pD (q) = 3 − q .
con costi
(
cj (q) =
10(2 − j) q = 0
10 + 1j q j q > 0
(a) (Facile) Scrivi la funzione di oerta della seconda impresa.
(b) (Dicile) Esamina anche la situazione della
prima impresa e calcola prezzo e quantità di equilibrio sul mercato.
pD (q) = a − q , e determina
eq
(R. a > 1, q
= a − 1)
i valori di
a
Sul mercato ci sono due imprese
(c) Considera più in generale la domanda
per i quali l'equilibrio esiste e la quantità scambiata in equilibrio è positiva
Soluzione
√ (a) Per la seconda
2 5; poiché c02 (q) = q
impresa è tutto standard
π2 (0) = 0, AC2
è convesso con minimo in
√
q=2 5
ed
√
AC2 (2 5) =
la quantità oerta dall'impresa è
(
√
0 p<2 5
√
q2 (p) =
p p≥2 5
(b,c) Lo facciamo direttamente per
q = 0;
per
p=1
a
oerta è innita perché
π1
π1 (q) = −10 + (p − 1)q , quindi: per p < 1 ore
π1 (q) = π1 (0) = −10; per p > 1 la sua
generico. Per la prima impresa
è disposta a orire qualunque
è crescente per
q≥0
p > 1.
perché in questo caso
Conclusione, l'oerta di mercato è


p<1
0
S
q (p) = [0, ∞) p = 1


∞
p>1
p = 1;
a > 1.
(la seconda impresa non fa gioco). Dunque in equilibrio deve essere
quella domandata,
Esercizio 15
q eq = q D (p) = a − p = a − 1
che è positiva per
per tale valore la quantità scambiata è
(adattato da un esercizio di A. Tesoriere). Considera un'impresa
(
cj (q) =
F + 12 q 2
0
n
imprese uguali sul mercato, chiamala
5
con costo
q>0
q=0
(nota che se non produce non paga costi ssi). (a) Scrivi la funzione di oerta
oerta aggregata con
j
qnS (p).
qjS (p)
dell'impresa
j
e la funzione di
Disegna quest'ultima. Sia adesso
q D (p) = 1 − p
n dato, determina i valori di F per i quali esiste un equilibrio,
eq
peq
n , qn (Sugg. Devi guardare tutto dall'asse verticale). (c)
eq
Calcola il numero di imprese n
in equilibrio nel lungo periodo, indicando con bnc il massimo intero ≤ n (per es.
√
b3.2c = 3). (Sugg. Il prezzo di equilibrio con
n imprese è 1/(1 + n)
, che deve essere ≥
2F che è il costo medio
√
√
eq
eq
2F , 1/[1 + (neq + 1)] < 2F ). Disegna. (d) Prendi F = 1/[2 · (1.2 · 36)2 ]
minimo. Quindi n
soddisfa 1/(1 + n ) ≥
e calcola il surplus netto totale (consumatori più produttori). (R. ≈ 0.477)
la domanda di mercato del bene in questione. (b) Con
e per tali valori calcola prezzo e quantità di equilibrio
Soluzione
0
2
00
è AC(q) = F/q + q/2. Abbiamo AC = −F/q + 1/2 ed AC > 0 ∀q
√
√
√q > 0 il costo medio
q = 2F , con AC( 2F ) = 2F . Ed M C(q) = q , dunque
(
(
√
√
0
p < 2F
0 p < 2F
S
S
√
√
qn (p) =
qj (p) =
p p ≥ 2F
np p ≥ 2F
(a) Per
è per
quindi il minimo
Disegno:
p
1
0
n*p
sqrt(2F)
q
n*sqrt(2F)
1−p
(b) La funzione di domanda
essere1
−
√
√
2F ≥ n 2F ,
l'equazione domanda uguale oerta,
√
cioè
√
1 − p = np,
√
dà
2F ≤ 1/(1 + n) cioè F ≤ 1/[2(1 + n)2 ]. Per tali valori di F
eq
peq
n = 1/(1 + n), con relativa quantità qn = n/(1 + n).
2FÏ il costo medio minimo la condizione
di
√
n ≤ (1/ 2F ) − 1. Dunque neq = b(1/ 2F ) − 1c.
(c) Poiché
2F
non deve passare per il buco nella funzione di oerta, cioè deve
dunque l'equilibrio esiste per
D=1−p
p
protti non-negativi
Disegno:
n*p
n=n
1/(1+n)
p ≥ AC
è in equilibrio
1/(1 + n) ≥
eq
(n+1)*p
1
0
sqrt(2F)
1/[1+(n+1)]
n*sqrt(2F)
√
peq = 1/43, 2F = 1/43.2. Il surplus
dei consumatori è l'area del triangolo sotto la domanda e sopra la retta 1/(1 + n); quello dei produttori è il trapezio
dove sta camminando l'omino, e se non ho fatto male i conti la somma delle due aree è circa 0.477.
(d) Con l'F dato
√
1/ 2F = 43.2
q
(n+1)*sqrt(2F)
quindi
√
neq = b1/ 2F − 1c = 42.
Quindi
Micro per esami (D = S )
Oerta con discontinuità, trova parametri tali che l'equilibrio esiste
4 Domanda Oerta e Surplus
Esercizio 16.
che
q
D
>0
q D (p) = max{60 − 0.05p, 0}
ηD > 1.
Considera la curva di oerta
trova i valori per cui l'elasticità
con
p > 0.
Nell'intervallo di valori di
p
tali
Soluzione
Intanto abbiamo
600 < p < 1200.
Esercizio 17.
q D > 0 ⇔ 60 > 0.05p ⇐⇒ 0 < p < 1200.
Considera un mercato in cui l'oerta è
Poi:
q S = 20
ηD = 0.05p/q > 1 ⇐⇒ 0.05p > 60 − 0.05p ⇐⇒
e la domanda è denita dall'equazione
pq 2 = 200.
Disegna e calcola il prezzo di equilibrio.
Soluzione
Quantità oerta e domandata devono essere uguali quindi sostituendo
troviamo
p · 400 = 200 ⇐⇒ p? = 0.5.
Figura (la domanda è disegnata come
6
q S = 20 nella equazione
pD = 200/q 2 ):
della domanda
p
qS
p⋆ = 0.5
20
Esercizio 18.
Domanda
q D (p) = 120 − 3p
oerta
pS = 15.
q
Disegna e calcola l'equilibrio.
Soluzione
Sostituendo
p = 15
nella domanda troviamo
p
q ? = 120 − 3 · 15 = 75, p? = 15.
Figura:
40
p⋆ = 15
75
Esercizio 19.
Oerta
q S (p) = 3p,
domanda denita da
120
pq 2 = 243.
q
Disegna e calcola l'equilibrio.
Soluzione
Sostituendo l'oerta nell'equazione della domanda si trova
pD (q) = 243/q 2 e uguagliare
243/q 2 = q/3 ⇐⇒ q 3 = 729 ⇐⇒ q ? = 9 e poi p? = q ? /3 = 3.
alternativamente scrivere la domanda come
ottenendo
Figura:
p(3p)2 = 243 ⇐⇒ p? =
√
3
27 = 3
e
q ? = 9. Potevamo
pS (q) = q/3
questa al prezzo di oerta
p
S
3
D
9
Esercizio 20.
q
Considera la curva di oerta verticale in Figura:
p
Figura 4.1: Oerta Verticale
S
q
q̄
Si può scrivere in funzione di
scrivere in funzione di
q
p
come
q S (p) = q̄
- vista dall'asse verticale è una retta orizzontale. Ma
Come interpreti il prezzo di oerta in questo caso, per
a>0
q = q̄ corrisponde
q < q̄, q = q̄, q > q̄ ? Suggerimento.
perché una retta verticale non è una funzione - a
non si può
più di un valore di
p.
Considera prima, con
grande, la funzione
(
S
p (q) =
0
q ≤ q̄
a(q − q̄) q ≥ q̄
e immaginala approssimata (a scaletta) come l'abbiamo costruita in aula con i vari oerenti (imprese) che vanno via
via entrando in gioco.
Soluzione
La curva che suggerisco di considerare per chiarire le idee è come quella in Figura 4.2 solo più ripida (con
q̄ = 10).
La parte crescente a scaletta è come l'abbiamo costruita in aula: man mano che
(imprese) disposti a fornire il bene hanno costi - costi opportunità - crescenti, e questo è
pS
q
cresce gli individui
che sale. Inserisco qui
un'osservazione che servirà dopo: anche la stessa impresa, o lo stesso individuo, in generale avrà costo opportunità
crescente di fornire quantità crescenti del bene. E la parte in cui
pS = 0?
Vuol dire che per quantità
q ≤ q̄
individui/imprese disposti ad orire il bene gratuitamente - hanno costo opportunità zero di produrlo.
7
ci sono
Figura 4.2: Surplus in punto interno
p
2
6
10
q
q < q̄ . Andiamo a q = q̄ .
p = 0? La risposta è q S (0) = q̄ .
S
che p (q̄) = 0. La verticale su
q̄ gratis, saranno comunque ben
Passando alla curva verticale, dovrebbe adesso essere chiara la parte orizzontale per
Per capire
pS (q̄)
guardiamo la quantità oerta
E questo dà la risposta voluta:
q̄
p = 0
che a
q S (p):
quant'è la quantità oerta a
q̄
l'oerta è
signica esattamente
dice semplicemente - e ovviamente - che le imprese, che accettano di produrre
contente di accettare un prezzo positivo!
E questo è un fatto generale che possiamo registrare: abbiamo sempre
pS (q),
ma in verità qualunque prezzo al di
sopra di questa funzione va altrettanto bene. Cioè, possiamo pensare al prezzo di oerta come una porzione di piano
visto (e continueremo) a pensare al prezzo di oerta come la funzione
delimitata inferiormente dalla funzione
delimitata inferiormente dalla funzione
pS (q). Nel caso
pS (q) = 0, q ≤ q̄ .
della
q S = q̄
appena vista abbiamo la porzione di piano
q > q̄ . Che succede in quella regione? Torniamo a guardare la q S (p). Questa dice che
p alti quanto si vuole non ci sono imprese disposte ad orire più di q̄ . E' dunque naturale denire pS (q) = ∞
q > q̄ . In conclusione possiamo scrivere:
(
0 q ≤ q̄
S
p (q) =
∞ q > q̄
E questo ci porta ai valori
anche a
per
Osserva per concludere che poiché la quantità totale esistente sul pianeta di qualunque bene è limitato, per
sucientemente grande
Esercizio 21.
q
qualunque curva di oerta dovrebbe diventare verticale.
Considera adesso l'oerta
(
pS (q) =
0
q ≤ 10
0.5(q − 10) q ≥ 10
rappresentata nella Figura 4.2: Supponi che si scambi
q=6
al prezzo
p = 2.
Qual è il surplus dell'oerta? Calcola
(e colora)
Soluzione
Adesso che abbiamo imparato ad interpretare il prezzo di oerta la risposta è ovvia: 12, colorata qui sotto:
p
2
6
Esercizio 22.
(q ? , p? );
Considera la domanda
(b) Considera l'introduzione
10
q
√
pD (q) = 10 − q e l'oerta verticale q S = 9, come nella Figura 4.3. (a) Calcola
T
T
di una tassa t > 0. Determina l'equilibrio (q , p ) con la tassa. (c) Disegna
surplus produttori e consumatori prima della tassa, e surplus consumatori produttori e gettito dopo la tassa; (d)
Quant'è la perdita secca?
Soluzione
(a)
q ? = 9,
domanda:
e da
pD (q) = pD (q ? )
p? = 7. Nota che questa è
(
(10 − p)2 p ≤ 10
D
q (p) =
0
p > 10
otteniamo
8
la soluzione che troviamo se invertiamo la
Figura 4.3: Tassa
p
t,
oerta verticale
qS = 9
10
7
pD (q) = 10 −
t
√
q
5
9
q
Figura 4.4: Domanda verticale
p
p
S
D
q̄
q
q
q̄
Parte (a)
e la poniamo uguale a
q S (p) = 9,
Parte (b)
ottenendo
(
p? = 7.
q = 9 e la
(10 − p)2 = 9 p ≤ 10
0=9
p > 10
che ha la soluzione appunto
(b) Con la tassa resta
dato che
t=2
T
concorrenza fra i consumatori determina
pT = 5
- il prezzo di domanda a
q=9
deve essere versato allo Stato.
(c) Il surplus è disegnato nella gura sotto:
p
qS = 9
7
pD (q) = 10 −
2
√
q
5
9
q
SC = Viola, SP = Arancio + Blu .
SC = Viola, SP = Blu, Gettito = Arancio .
Prima della tassa
Dopo la tassa
(d) La perdita secca è dunque zero. Non avendo modicato gli scambi realizzati, l'introduzione della tassa ha
determinato soltanto un trasferimento di valore, in questo caso dalle imprese allo Stato.
Esercizio 23.
Torna a considerare la curva di oerta verticale dell'esercizio 20.
E' una situazione estrema ma
possibile, e nella discussione della soluzione argomenteremo che quella disegnata nella Figura 4.4(a) non è non solo
possibile ma tipica. Pensa ora alla domanda. E' ragionevole ipotizzare una domanda come quella in Figura 4.4(b)?
Rispondi separatamente per la parte verticale e per la parte orizzontale.
Soluzione
Ricorda che il prezzo di domanda è il prezzo
massimo che i consumatori sono disposti a pagare per la data
quantità, quindi analogamente a quanto detto per l'oerta si deve pensare al prezzo di domanda come la parte di
piano (quadrante positivo) delimitata
superiormente dalla funzione
pD (q).
La parte orizzontale dice dunque che a
prezzo zero il mercato assorbe qualunque quantità. La cosa è giusticabile se si può gettar via il bene a costo zero.
La parte verticale invece non è ragionevole, perché dice che ci sarebbero compratori disposti a pagare
prezzo per ottenere
q ≤ q̄ .
qualunque
E per quanto il bene sia vitale, in termini di quale altro bene si può pagare un prezzo
innito? Come abbiamo osservato discutendo l'oerta, non esistono sulla terra beni in quantità innita. E' dunque
ragionevole assumere che la domanda abbia
pD (0) < ∞,
cioè abbia un'intercetta nita sull'asse del prezzo.
9
Esercizio 24.
Siano date le seguenti funzioni di domanda e oerta:
governo impone una tassa unitaria di
t=3
q D (p) = 11000 − 1000 · p, q S (p) = 500(p − 2), e il
sulla produzione. Devi intanto disegnare... Calcola: (a) La perdita secca
come frazione del surplus totale che produttori e consumatori avevano prima della tassa
quantità scambiata in come frazione della quantità di equilibrio iniziale
q
?
ST ? ;
(b) La riduzione della
; (c) La riduzione di surplus, come frazione
del surplus iniziale, di produttori e consumatori; (d) Incidenza della tassa in termini di prezzo: calcola la variazione,
p? , del prezzo pagato dai consumatori e di quello incassato dai produttori |(p (q ) − p? )/p? |; (f ) La relazione fra queste variazioni di prezzo e il rapporto fra
come frazione del prezzo di equilibrio
calcola cioè
le elasticità
D
T
?
?
(p (q ) − p )/p e
η D , η S in equilibrio.
S
(f ) Come vedrai facendo i conti
T
q T = 2000.
Supponi adesso che invece di imporre la tassa il governo decida
di imporre un tetto sulla quantità scambiata, imponendo
qualcos'altro?
q ≤ qT .
(f1) Cambia la perdita secca?
(f2) Cambia
Sugg. Tieni conto che il prezzo in questo caso dipende dal potere contrattuale di imprese e consumatori.
(g1) Vedrai che
pD (q T ) = 6.
Che quantità sarà scambiata?
essere superiore?
Supponi che il governo, invece della tassa, imponga un prezzo massimo
p = pD (q T ).
La perdita di ecienza in questo caso è uguale a quella causata dalla tassa o può
Sugg. In questo caso non è certo che il bene è consumato dai compratori che lo valutano di più.
(g2) Trova la perdita massima, che si ottiene nel caso limite in cui il bene è consumato dai compratori che lo valutano
di meno. Di quanto è più alta, in percentuale, rispetto alla perdita trovata in (a)?
Soluzione
q D = q S che dà p? = 8, quindi q ? = 3000. Elasticità in equilibrio: η D = 1000 · 8/3000 =
8/3, η = 500 · 8/3000 = 8/6 = η D /2. Surplus: SC ? = (11 − 8) · 3000/2 = 4500, SP ? = 9000, ST ? = 13500. La
D
S
D S
T
T
T
tassa fa sì che p − p = 3 quindi dopo l'inversione di q , q si ottiene q = 2000, con surplus SC = 2000, SP
=
?
T
T
4000, ST = 6000 e Gettito = 6000 quindi Perdita Secca = ST − ST − Gettito = 1500.
?
T
?
Dunque: (a) Perdita Secca/ST = 1500/13500 ≈ 0.11 = 11%; (b) Abbiamo q /q = 2/3 quindi la riduzione è
T
?
?
T
?
1 − 2/3 = 1/3 ≈ 33%. Più formalmente: |(q − q )/q | = 1 − q /q = 1/3. (c) Riduzione surplus. Consumatori:
1 − SC T /SC ? = 1 − 2000/4500 = 25/45 = 5/9; Produttori: 1 − SP T /SP ? = 1 − 4000/9000 = 5/9. Dunque entrambi
D T
D
?
?
hanno riduzioni di più del 50%; (d) Consumatori: prezzo pagato p (q ) = 9, quindi variazione (p − p )/p = 1/8;
S T
S
?
?
D
?
?
produttori, prezzo incassato p (q ) = 6, quindi variazione |(p − p )/p | = 2/8 = 2 · (p − p )/p ; (e) Il rapporto
Prezzo di equilibrio da
S
fra le variazioni di prezzo è uguale all'inverso del rapporto fra le elasticità:
ηD
|(pS − p? )/p? |
= S
D
?
?
(p − p )/p
η
pD (q T ) = 6 e pS (q T ) = 9. Se
9 che a 6 - questo è il caso se
(f1) No, la perdita secca resta uguale; (f2) Il prezzo di mercato può oscillare fra
imprese hanno più potere contrattuale dei consumatori il prezzo sarà vicino più a
le
ci
sono molti più consumatori che imprese, perché in questo caso i compratori si fanno concorrenza e spingono il prezzo
verso l'alto - verso il prezzo di domanda, che è il massimo che sono disposti a pagare. Se viceversa ci sono molte più
imprese che consumatori il prezzo sarà più vicino al prezzo di oerta
SC T + SP T fra imprese e consumatori.
S
(g1) A prezzo p = 6 la quantità scambiata sarà q (6) = 2000,
surplus
ma
6.
Con
6≤p≤9
q D (6) > q S (6)
cambia la distribuzione del
cosicché non tutti i consumatori
che comprerebbero il bene a quel prezzo potranno averlo. Non possiamo essere sicuri che lo otterranno coloro che lo
valutano di più, nel qual caso il surplus dei consumatori si riduce ulteriormente e la perdita di ecienza è superiore
a quella vista nella parte (a).
2000 ma la ottengono i
2000, contro il surplus di quelli che
valutano il bene di più, trapezio azzurro di area [(11 − 6) + (9 − 6)] · 2000/2 = 8000. Il surplus produttori è uguale a
quello con la tassa. Dunque in questo caso la perdita secca è 13500 − (4000 + 2000) = 7500, cinque volte la perdita
di 1500 causata dalla tassa. In percentuale abbiamo un aumento del 400%: (7500 − 1500)/1500 = 4 = 400%
(g2) Il caso in esame è visualizzato nella gura di sotto.
consumatori che entrano a
p = 8.
La quantità scambiata è
Il loro surplus è l'area in marrone, uguale a
p
11
9
8
6
2
2
Esercizio 25.
3
5
q × 1000
Prezzo massimo, di nuovo. Assumi che tutto vada per il meglio, che cioè il bene nisca nelle mani di
quelli che ne traggono maggiore utilità. Le funzioni di domanda e oerta siano le seguenti:
Considera l'imposizione di un prezzo massimo
∆SC
in funzione di
a
p̄ = 5 − a, 0 < a < 5. Scrivi la variazione
a per il quale ∆SC > 0. (R.10/3)
e trova il valore massimo di
10
pS (q) = q, pD (q) = 10 −q .
del surplus dei consumatori
Soluzione
Dalla gura è chiaro che
∆SC(a) = Area B − Area C = a(5 − a) −
a = 5/3
che è una parabola con massimo
e positiva no ad
a2
3
= a(5 − a)
2
2
a = 10/3.
p
S
C
5+a A
5
5−a B
D
q
5 Costi
Esercizio 26.
w/r < 1.
Considera la seguente funzione di produzione:
(a) Trova la funzione costo
disegnale come è naturale che siano).
c(q);
f (L, K) = KL + K + L = L + K(L + 1). Assumi
AC e costi marginali M C (concavità e convessità
(b) Disegna costi medi
La risposta del punto (b) è questa:
w
AC
MC
r
w
q
−1
Soluzione
(a) Dobbiamo studiare il problema della minimizzazione del costo
l'isoquanto
f =q
tocca gli assi nei punti
è
(L, K) = (0, q), (q, 0).
wL + rK
sul vincolo
f = q.
Osserva intanto che
La pendenza dell'isoquanto (sempre valore assoluto)
fL
K +1
=
fK
L+1
che è decrescente, con
fL =1+q
fK L=0
fL 1
=
fK K=0
1+q
w/r < 1 abbiamo w/r < 1 + q dunque l'isocosto wL + rK = cost. è sempre più piatto dell'isoquanto
L sucientemente piccolo. Per w/r ≤ 1/(1 + q), cioè q ≤ r/w − 1, l'isocosto è più piatto dell'isoquanto per ogni
(L, K) sull'isoquanto, quindi la combinazione ottima è L = q, K = 0 e il costo c(q) = wq . Per q > r/w − 1 il minimo
è interno, dato dal sistema fL /fK = w/r ed f = q :
(
(
K+1
w
=
K + 1 = wr (L + 1)
L+1
r
KL + K + L = q
K + L(K + 1) = q
w
w
(L + 1) − 1 + L(L + 1) = q
r
r
r
2
L + 2L + 1 − (1 + q) = 0
w
s
r
1
r
1+q
∴ L(q) = [−2 ± 4 − 4(1 − (1 + q))] =
−1>0
2
w
w/r
s
s
w
w 1+q
1+q
K(q) = (L + 1) − 1 =
−1=
−1>0
r
r
w/r
r/w
Assumendo
per
quindi per tali valori
s
c(q) = w[
s
p
√
1+q
1+q
− 1] + r[
− 1] = 2 wr · (1 + q) − (w + r)
w/r
r/w
11
Ricapitolando
(
wq
q≤
p
c(q) =
√
2 wr · (1 + q) − (w + r) q >
Nota che
lim
q→r/w−1
quindi
c(q)
è continua in
p
√
√
2 wr · (1 + q) − (w + r) = 2 wr ·
r
r
w
r
w
−1
−1
r
r
− (w + r) = r − w = w( − 1)
w
w
q = r/w − 1.
c(q) troviamo
(b) Dalla espressione per
AC(q) =
Derivata per
perché per
√
√
2 wr· (1+q)−(w+r)
q
q≤
q>
r
w
r
w
−1
−1
q 2 · AC 0 (q) =
√
p
√
q wr
p
− 2 wr · 1 + q + (w + r)
(1 + q)
√
wr
(q + 2)
(w + r) − √
1+q
√
w+r
1
(q + 2)]
wr[ √
−√
wr
1+q
r
p
√
r
1
1 <0
wr
+ pr −
1+q+ √
w
1+q
w
1 + q > r/w:
x>1
(
w
abbiamo
la funzione
x + 1/x
è crescente come si verica derivandola. E' chiaro anche che
limq→∞ AC = 0.
Quindi, gura (sapendo che dove i costi medi sono decrescenti i costi marginali sono sempre minori dei costi medi):
w
MC
r
w
AC
q
−1
6 Monopolio
Esercizio 27
(adattato da Tirole). Scrivi il problema del monopolista in funzione di
p, cioè π(p) = pq(p) − c(q(p)).
πt (p) = pq(p + t) − c(q(p + t)) (se t < 0 parliamo di sussidio).
Assumendo che le condizioni del secondo ordine siano soddisfatte, vogliamo t tale che il monopolista produca la
0
c
0 c
c
quantità che massimizza il surplus netto sociale, denita da p + t = c . Verica che t = q(p )/q (p ) < 0 dove p è il
0
prezzo competitivo, in corrispondenza dell'intersezione fra c e curva di domanda.
Con una tassa
t
sul consumo il protto diventa
Soluzione
Assumendo che le condizioni del secondo ordine siano soddisfatte la condizione per
0
0
0
0
0
0 = q + q [p − c ] = [q − tq ] + q [p + t − c ].
c
che p + t = p .
Esercizio 28
Con la
t
denita nel testo la condizione di ottimo è
(due impianti). Un monopolista ha domanda
c1 (q1 ) = 10q1 (1 + q1 ), c2 (q2 ) = 2.5q2 (24 + q2 ).
(a) Calcola
πt0 = 0 cioè
vericata per p tale
maxp πt (p)
è
p(q1 + q2 ) = 120 − 3(q1 + q2 ). Ha due impianti con costi
q1 , q2 , p, π . Calcola anche indice di Lerner (p − M C)/p
ed elasticità della domanda in equilibrio. (b) Calcola la perdita secca, assumendo che ogni quantità è prodotta con
c01 (q1 ) = c02 (q2 ) (questo è possibile con q ≥ 2.5, che assumiamo) (Risposta 31.5).
totale c(q) = c1 (q1 ) + c2 (q2 ), con q = q1 + q2 per q ≥ 2.5.
(c) Calcola la funzione di costo
Suggerimento per (b). Per calcolare la perdita secca ci serve la funzione di costo marginale
MC . Poiché qualunque
2.5) è prodotta con costi marginali uguali nei due impianti abbiamo MC = MC 1 = MC 2 . Quindi: quanto
produco a costo marginale MC = 10? Risposta: quanto produco nel primo impianto a costo marginale MC 1 = 10,
più quanto produco nel secondo con MC 2 = 10. Ripetendo il discorso per ogni valore di MC , se ci pensi questo dice
quantità (≥
che
−1
MC −1 = MC −1
1 + MC 2
12
dove
f −1
somma
indica come sempre l'inversa di
f.
Nel graco con
MC 1
ed
MC 2
questo dice che l'inversa di
MC
è la
orizzontale delle due funzioni che vedi disegnate.
Nota su (c). Per studiare il problema della suddivisione della produzione nei due impianti in generale (cioè per
qualunque
q ≥ 0)
ci vogliono strumenti che noi non facciamo.
Ma la condizione che si trova è molto naturale, e
dice che in un punto di minimo costo: se puoi produci in entrambi gli impianti con
un solo impianto, e a seconda del valore di
MC 1 > MC 2
q
produci con
MC 1 < MC 2
MC 1 = MC 2 ;
usando solo il secondo impianto. Nel nostro caso queste condizioni dicono che per
entrambi gli impianti e produrre con
MC 1 = MC 2 ;
se
q ≤ 2.5
se non puoi usa
usando solo il primo impianto, oppure con
q > 2.5
devi usare
conviene usare solo il secondo impianto). Dunque la funzione di costo è quella che trovi nel punto (c) per
mentre per
q < 2.5
sarà
q
q ≥ 2.5,
devi usare solo il primo impianto (qui per nessuna
c(q) = c1 (q) = 10q(1 + q).
Soluzione
maxq1 ,q2 π = maxq1 ,q2 [q1 + q2 ]p(q1 + q2 ) − [c1 (q1 ) + c2 (q2 )]. Uguagliando a zero le derivate
(
(
(
p + (q1 + q2 )p0 = c01
p + (q1 + q2 )p0 = c01
q1 = 3.4
⇐⇒
⇐⇒
0
0
0
0
q2 = 3.6
p + (q1 + q2 )p = c2
c1 = c2
Da queste direttamente
q1 + q2 = 7, p = 120 − 3 · 7 = 99, c1 + c2 = 398, π = 99 · 7 − 398 = 295.
parziali otteniamo
Poiché i costi marginali
c01 (q1 ) = 78 da cui
l'indice di Lerner è (p − M C)/p = 0.212; sappiamo inne che l'elasticità è il reciproco dell'indice: ηD = 1/0.212 =
4.714. (b) Calcoliamo Inv(MC ) come suggerito sopra e poi invertiamo. Da MC 1 = 10 + 20q1 , MC 2 = 60 + 5q2
otteniamo le inverse q1 = (MC − 10)/20, q2 = (MC − 60)/5 dove MC è il valore comune dei costi marginali;
sommando otteniamo q = (MC − 10)/20 + (MC − 60)/5 = 0.25MC − 12.5 e re-invertendo otteniamo la funzione
MC (q) = 50 + 4q (tanto per controllare: MC (7) = 78 come avevamo già calcolato). Da questo e dalla domanda
p(q) = 120 − 3q calcoliamo la produzione eciente da p = MC che dà q = 10. La produzione in regime di monopolio
è q = 7 con p − MC = 99 − 78 quindi la perdita secca è il triangolo di base 10 − 7 = 3 e altezza 99 − 78 = 21 che ha
area 31.5.
0
0
(c) Per q ≥ 2.5 la condizione c1 (q1 ) = c2 (q2 ) dà q2 = 4q1 − 10, e da q = q1 + q2 = 5q1 − 10 otteniamo
q1 = (10 + q)/5, q2 = (4q − 10)/5. Da qui con qualche passaggio si ottiene c(q) = c1 (q1 ) + c2 (q2 ) = 2q 2 + 50q − 50.
Nota per me, Khun-Tucker. Il problema è min c1 (q1 ) + c2 (q2 ) sui vincoli q − q1 − q2 ≤ 0, −q1 ≤ 0, −q2 ≤ 0. Il
dei due impianti in equilibrio sono uguali il costo marginale lo calcoliamo per esempio dal primo:
Lagrangiano è
L = −c1 (q1 ) − c2 (q2 ) − λ(q − q1 − q2 ) + µq1 + νq2
e le condizioni di primo ordine sono
−c01 + λ + µ = 0,
−c02 + λ + ν = 0
più non-negatività dei moltiplicatori e complementary slackness. Questa implica che
q1 + q2 = 0 < q . Quindi λ > 0 altrimenti min{c01 , c02 } = 0.
q ≥ 2.5, q2 = 4q1 − 10; (B) µ = 0, ν > 0 che dà q = q1 < 2.5;
10 + q2 < 0).
min{µ, ν} = 0 perché altrimenti
(A) µ = ν = 0 che dà
Quindi ci sono tre casi.
(C)
µ > 0, ν = 0
che non è mai vericato (viene
7 Esercizi Americani (Frank-Bernanke)
1.
Un'amica ti propone di andare con lei a Roma (no sex) e a te hanno appena regalato un biglietto.
Sei quasi
indierente se andare o no - non si prospetta grande divertimento, diciamo un epsilon a favore del viaggio - ma pensi
il biglietto è gratis quindi non perdo niente: benecio epsilon costo zero, posso accettare. Stai sbagliando i conti o è
giusto così?
R. Stai sbagliando, il biglietto vale l'utilità che puoi ottenere dal suo miglior utilizzo alternativo (il suo costo
opportunità)
2.
(Common Property) In una certa famiglia con 3 gli la madre compra spesso una confezione di 6 succhi di
frutta, dice ne avete 2 l'uno, e ognuno si conserva un succo per il giorno dopo. Un giorno la confezione la porta il
padre che non dice niente - tutti i succhi sono di tutti - e la confezione la sera è nita. Il peggioramento è evidente
perché ognuno preferisce un succo per il giorno dopo. Cosa è successo? (La risposta non è se non me la bevo col
cavolo che domani la ritrovo).
R. Con proprietà comune il costo privato è 1/3 del costo sociale perché sei proprietario di 1/3 di ogni lattina.
3.
(Costi e beneci marginali). Nella università A la mensa costa 200Euro/mese e si mangia quanto si vuole. Gli
studenti consumano 6kg di cibo a testa. A un certo punto si dice le deviazioni da 6Kg valgono 2Euro l'etto (in più
o in meno). Che succede?
R. Si consuma di meno perché prima il benecio marginale (in unità etti) era 0 adesso deve essere 2.
4.
(Prezzi massimi).
[Gone 4 luglio 2014] In un mercato competitivo si mette un tetto massimo al prezzo di
vendita, inferiore al prezzo di equilibrio, per aiutare i più poveri. (a) Il surplus dei consumatori aumenta o diminuisce?
(b) E quello delle imprese? (c) E il surplus totale? Disegna in tre graci separati.
13
R. (a) Può aumentare o diminuire. (b) Il surplus delle imprese diminuisce (c) Anche il surplus totale si riduce.
In un graco unico:
p
S
A
B
D
C
p0
E
D
q0
q
Surplus Iniziale=A+B+C+D+E, Finale=A+C+E
Variazione surplus. Consumatori: C−B; Imprese: −C−D
5.
(Sussidi prezzi).
L'oerta è orizzontale (corrispondente al prezzo globale).
Il governo impone una tassa
sussidiando l'acquisto del bene a prezzo inferiore. Disegna costo della misura e incremento di surplus dei consumatori.
E' maggiore il primo o il secondo?
R. Il costo è maggiore del benecio, vedi gura. Può essere una scelta politica opportuna trasferire reddito da
chi paga le tasse a chi consuma quel bene - ma dobbiamo sapere che non è gratis.
p
S
p
A
B
C
p−s
D
q
Costo Sussidio=A+B+C
Incremento Surplus Consumatori: A+B
6.
(Incidenza Imposta in equilibrio di lungo periodo). Fatto: Tutto sulle spalle dei consumatori.
7.
(Prezzo dei Servizi Pubblici al Costo Marginale)In un paesino l'acqua è gestita dal comune. Si ottiene
milione) di litri d'acqua al giorno da una sorgente al costo di
1.2cent/l.
La domanda ad
1.2cent/l
è
2.8m
0.2cent/l
1m
(un
e il resto va depurata da un lago al costo di
di litri, come in gura.
MC
1.2
D
0.2
1
2.8
q
1.2cent/l è
q = 2.8m (1m da sorgente più 1.8m dal lago). Il prezzo
Per massimizzare il surplus totale (beneci sociali meno costi) si depura acqua nché il costo marginale
uguale al benecio marginale dell'acqua, quindi si producono
dell'acqua viene ssato al costo marginale,
1.2cent/l. Però le famiglie che abitano vicino alla sorgente protestano che
0.2cent/l. C'è un economista in consiglio comunale e lui propone che
la loro acqua costa meno e vorrebbero pagare
queste famiglie paghino come gli altri, ma gli venga riconosciuto un contributo pari all'area gialla in gura, per la
precisione
10Ke.
Perché? (Sugg. Se pagassero
0.2cent/l
quelle famiglie continuerebbero a consumare la quantità di
prima? Dai un'occhiata all'esercizio 3)
R. Se quelle famiglie pagassero
a
0.2cent/l,
0.2cent/l consumerebbero una quantità tale che il loro benecio marginale è uguale
che è minore del benecio marginale degli altri consumatori. Il surplus totale sarebbe quindi inferiore
al massimo, infatti se si trasferisse un litro da loro al consumatore marginale si avrebbe una perdita di
guadagno di
1.2cent
0.2cent
e un
(uguale al risparmio di costo). Quindi tutti devono consumare allo stesso benecio marginale.
Le famiglie che abitano alla sorgente sono d'altra parte soddisfatte della soluzione proposta, perché quella sarebbe
la rendita che otterrebbero se fossero proprietarie della sorgente in un mercato privato.
14
8.
20K
(Concorrenza e rendita) Gli chef normali guadagnano
l'anno e i ristoranti dove lavorano incassano
In alcuni ristoranti ci sono chef con un quid in più e lì si incassano
120K .
R. 40K, a causa delle pressioni competitive: se uno di loro guadagnasse
a orire
20K
40K − /2.
in più sono
9.
20K
Se il costo opportunità di questi chef è
100K .
Quanto guadagneranno gli chef di talento?
40K − ci sarebbe un ristorante pronto
(potrebbero andare a lavorare come chef normali) i
rendita.
Long Run, Equilibrio competitivo. Nel LR tutto il surplus va ai consumatori - esempio: cost saving innovation.
Questo lo sappiamo, è giusto per ricordarlo.
10.
Tasse sui beni di lusso. Si tassano ferocemente i beni di lusso. Il peso della tassa grava sui ricconi che li
consumano?
R. Non necessariamente! Se la domanda è elastica e l'oerta rigida pagano le imprese - e i loro lavoratori, che
quei beni fuori dalle fabbriche non li vedono manco da lontano.
11.
Il governo stabilisce un sussidio
s
sui gelati. Disegna le variazioni di surplus.
R. Vedi gura.
S
s
s
Eq
B
A
C
E
D
s
Eq
D
D
Incremento Surplus. Consumatori: C+D; Imprese: A+B
Perdita Secca: E
q
8 Esternalità
Esercizio 29
(Pindyck-Rubinfeld). Funzioni di domanda e oerta date da
quantità prodotta genera un costo esterno
ext
c
(q) = .3q
2
q D (p) = 160 − 2p, q S (p) = 40 + 2p.
La
. Determina quantità ecienti e di equilibrio.
Soluzione
In equilibrio
D
p (q) = 80−.5q
Esercizio 30
qD = qS
dà
q = 100.
La quantità eciente è data dall'uguaglianza fra benecio marginale sociale
e costo marginale sociale
pS +dcext /dq = .5q −20+.6q = 1.1q −20.
Il risultato è
q = 1000/16 = 62.5.
e dati da pD (q) = 100 − q, pS (q) = 10 + q
tassa Pigouviana t che ristabilisce l'equilibrio,
(Pindyck-Rubinfeld). Prezzi unitari di domanda e oerta in
e costo esterno della quantità prodotta
ext
c
2
(q) = q /2.
Determina la
e calcola la perdita di surplus dovuta all'esternalità in valore assoluto e come percentuale del surplus ottenuto con
la quantità eciente.
Soluzione
S
ext
Il costo marginale sociale è p + dc
/dq = 10 + q + q = 10 + 2q ce uguagliato a pD dà la quantità eciente
ef f
eq
q
= 30. D'altra parte q = 45. La tassa t è tale che pS + t = pD per q = 30, cioè 10 + 30 + t = 100 − 30; è dunque
t = 30.
La perdita di surplus è data dall'area del triangolo di altezza
ed è quindi
337.5e.
perdita è dunque di
Esercizio 31
spettivamente
all'esternalità.
45 − 30 = 15 e base (10 + 2 · 45) − (100 − 45) = 45
Il surplus con quantità eciente è l'area del triangolo di altezza 30 e base 90 che è 1350. La
337.5/1350 = .25 = 25%.
D
(Pindyck-Rubinfeld). Prezzo di domanda p (q) = .5 − .0064q , costi marginali privati e sociali riM C priv (q) = −.357 + .0573q, M C soc (q) = −5.645 + .6509q . Calcola la perdita di surplus dovuta
Soluzione
q eff = 9.35, q eq = 13.45,
Esercizio 32.
con
q
area uguale a
(13.45 − 9.35)(3.11 − .41)/2 = 5.535
Come sopra (senza MC negativi) quando il prezzo di domanda è
misurata in
e/quintale
e costi marginali sono
Kg .
Esercizio 33
(Bernheim-Whinston). Quantità misurata in 1000ton/anno. Ci sono 200 imprese uguali con costo
cj (q) = 500qj + qj2 . Il costo esterno della quantità prodotta da un'impresa è cext (q) = 100qj + qj2 . La quantità
D
domandata è q (p) = 150000 − 100p, prezzo in Euro. Calcola la perdita di surplus in e/anno e in percentuale
rispetto al surplus ottenuto con quantità eciente. (R. La perdita è 6M e/anno, e il surplus massimo 13.5M e/anno;
soc
in percentuale siamo al 44.4%. Sugg. Consdera che dato che ogni impresa produce qj = q/200 si ha CM
(q) =
CMjsoc (q/200))
15
Soluzione
p = CMjpriv otteniamo qjS (p) = .5p − 250 per p ≥ 500, qjS (p) = 0 per p < 500;
S
sommando, l'oerta di mercato è q (p) = 100p − 50000 da cui p (q) = 500 + 0.01q (uguale al costo marginale privato
priv
D
CM
(q)). Uguagliando questo al prezzo di domanda p (q) = 1500 − 0.01q si ricava l'equilibrio competitivo q eq =
50000, peq = 1000, dove ogni impresa produce qjeq = 250 (nota che CM priv (q) = 500 + 0.01q = 500 + 0.01(200qj ) =
500 + 2qj = CMjpriv (qj ) per ogni j , che conferma ciò che sappiamo). Per determinare la quantità eciente partiamo
soc
dal costo marginale sociale della produzione dell'impresa j , CMj (qj ) = (500 + 2qj ) + (100 + 2qj ) = 600 + 4qj ;
soc
soc
dato che ogni impresa produce qj = q/200, CM
(q) = CMj (q/200) = 600 + 0.02q ; uguagliando questo al prezzo
eff
di domanda (benecio marginale sociale) otteniamo q
= 30000, peff = 1200. A questo punto il calcolo delle
aree, illustrato in gura, dà perdita uguale a 6M e/anno e surplus massimo 13.5M e/anno. In termini percentuali
6/13.5 = 44.4%.
CMjpriv (qj ) = 500 + 2qj
quindi da
S
Euro/anno
CM
soc
1600
1500
CM
priv
1000
600
500
D
30
50
q (migliaia)
Surplus: Giallo = 900*30/2
Perdita: Rossa = 600*20/2
Esercizio 34
(Esternalità & Perdita Surplus, Modica-Tesoriere). Due imprese producono lo stesso bene.
produzione della prima inuenza negativamente il costo della seconda linearmente, con intensità
c1 (q1 ) =
q12
2
c2 (q2 ) =
q22
+ αq1
2
Nota che la produzione della prima impresa rappresenta un costo sso per la seconda.
La domanda del bene è
pD (q) = 1 − q , dove q = q´1 + q2 . Il surplus totale W (q1 , q2 ) è l'area sotto la domanda meno i costi. L'area
q
2
domanda è q − q /2 (è =
(1 − x)dx ma disegna, la puoi calcolare come triangolo più quadrato) quindi
0
W (q1 , q2 )
La
0 ≤ α ≤ 1/6:
sotto la
q2
q2
(q1 + q2 )2
− 1 − ( 2 + αq1 )
2
2
2
= q1 (1 − q1 ) + q2 (1 − q2 ) − q1 (q2 + α)
= q1 + q2 −
q1eq (α), q2eq (α) e il relativo surplus W eq (α) (devi
calcolare l'oerta totale, le quantità prodotte in equilibrio e sostituire in W ; devi anche controllare che per α ≤ 1/6
eff
eff
entrambe le imprese producono in equilibrio); le quantità q1 (α), q2 (α) che massimizzano W e il surplus massimo
eff
eff
eq
W (α); la dierenza fra le quantità totali q (α) − q (α) (R. −α/3 negativa, in equilibrio si produce troppo);
eff
la perdita relativa di surplus L(α) = [W
(α) − W eq (α)]/W eff (α) causata dall'esternalità. Verica inne che L è
crescente per 0 ≤ α ≤ 1/6 e calcolane il massimo (R. ≈ 3.2%).
Calcola, in funzione di
α:
le quantità in equilibrio competitivo
Soluzione
Le condizioni
M Cj = p
per
j = 1, 2
danno entrambe
qjS (p) = p.
Per la prima impresa il protto massimo è
2
p /2); per la seconda impresa la condizione di protti non negativi pq2 − c2 (q2 ) ≥ 0 (con qj = p, j = 1, 2)
a ≤ p/2. Vediamo se c'è un equilibrio con entrambe le imprese attive. Con entrambe attive q S (p) = 2p; la
D
D
quantità domandata è q (p) = 1 − p quindi la relazione di equilibrio q
= q S dà p = 1/3. Poiché α ≤ 1/6 l'equilibrio
eq
eq
eq
ha entrambe le imprese attive, da cui q
= 2/3, q1 = q2 = 1/3. L'equilibrio non dipende da α (in questo caso
eq
semplice!), e sostituendo in W troviamo W (α) = (1 − α)/3.
Passando alla massimizzazione di W , le derivate rispetto a q1 , q2 sono
positivo (=
dà
∂W
= 1 − 2q1 − q2 − α
∂q1
∂W
= 1 − q1 − 2q2
∂q2
q1eff (α) = (1 − 2α)/3, q2eff (α) = (1 + α)/3, da cui q eff (α) = (2 − α)/3. Dalle
q (α) − q eq (α) = −α/3. Sostituendo poi in W si trova (con qualche passaggio)
uguagliando a zero le quali si ottiene
espressioni trovate è immediato che
W eff (α) = (1 − α + α2 )/3.
Dunque
eff
L(α) =
Inne, la derivata
1/31 ≈ 3.2%.
L0 (α) = α(2 − α)/(α2 − α + 1)2
α2
α2
−α+1
è positiva per
16
0 ≤ α ≤ 1/6
quindi il suo massimo è
L(1/6) =