Economia Politica Esercizi #2 Soluzioni L. Balletta, G. De

Economia Politica Esercizi #2 Soluzioni
L. Balletta, G. De Luca, S Modica, A. Tesoriere
Esercizio 1. Capitolo 7 di Mankiw, problemi n.4,5,6,9; Capitolo 8: n.8; Capitolo 9: n.9.
Esercizio 2. Considera la curva di oerta verticale in Figura:
Figura 0.1: Oerta Verticale
p
S
q̄
Si può scrivere in funzione di
p
come
q S (p) = q̄
zontale. Ma non si può scrivere in funzione di
a
q = q̄
per
corrisponde più di un valore di
q < q̄, q = q̄, q > q̄ ?
q
p.
q
- vista dall'asse verticale è una retta oriz-
perché una retta verticale non è una funzione -
Come interpreti il prezzo di oerta in questo caso,
Risposta:

0 q ≤ q̄
S(q) =
∞ q > q̄
Soluzione esercizio 2.
pS = 0
Per la parte in cui
dice che per quantità
q ≤ q̄
ci sono
individui/imprese disposti ad orire il bene gratuitamente - hanno costo opportunità zero di
produrlo.
Andiamo a
la quantità oerta a
esattamente che
di produrre
q̄
q = q̄ .
p =
Per capire
pS (q̄)
guardiamo la quantità oerta
0? La risposta è q S (0)
S(q̄) = 0.
La verticale su
q̄
= q̄ .
Ma che a
p = 0
q S (p):
quant'è
q̄
signica
l'oerta è
dice semplicemente che le imprese, che accettano
gratis, saranno comunque ben contente di accettare un prezzo positivo! E questo
è un fatto generale che possiamo registrare: abbiamo sempre visto (e continueremo) a pensare
al prezzo di oerta come la funzione
S(q),
ma in verità qualunque prezzo al di sopra di questa
funzione va altrettanto bene. Cioè, possiamo pensare al prezzo di oerta come una porzione di
piano delimitata inferiormente dalla funzione
S(q).
Nel caso della
la porzione di piano delimitata inferiormente dalla funzione
Che succede per valori
q > q̄ ?
Torniamo a guardare la
per
q > q̄ .
appena vista abbiamo
S(q) = 0, q ≤ q̄ .
q S (p).
alti quanto si vuole non ci sono imprese disposte ad orire più di
S(q) = ∞
q S = q̄
q̄ .
Questa dice che anche a
p
E' dunque naturale denire
In conclusione possiamo scrivere:

0 q ≤ q̄
S(q) =
∞ q > q̄
Osserva per concludere che poiché la quantità totale esistente sul pianeta di qualunque bene è
limitato, per
q
sucientemente grande qualunque curva di oerta dovrebbe diventare verticale.
Figura 0.2: Surplus in punto interno
p
2
6
10
Figura 0.3: Tassa
p
10
7
t,
q
oerta verticale
qS = 9
pD (q) = 10 −
t
√
q
5
9
q
Esercizio 3. Considera adesso l'oerta

0
q ≤ 10
S(q) =
0.5(q − 10) q ≥ 10
rappresentata nella Figura 0.2: Supponi che si scambi
q=6
al prezzo
p = 2.
Qual è il surplus
dell'oerta? Calcola (e colora)
Soluzione esercizio 3.
Adesso che abbiamo imparato ad interpretare il prezzo di oerta la
risposta è ovvia: 12, colorata qui sotto:
p
2
6
Esercizio 4. Considera la domanda
10
D(q) = 10 −
q
√
q
e l'oerta verticale
q S = 9,
eq eq
Figura 0.3. (a) Calcola (q , p ); (b) Considera l'introduzione di una tassa
t > 0.
come nella
Determina
t t
l'equilibrio (q , p ) con la tassa. (c) Disegna surplus produttori e consumatori prima della tassa,
e surplus consumatori produttori e gettito dopo la tassa; (d) Quant'è la perdita secca?
Soluzione esercizio 4. (a)
q eq = 9,
e da
D(q) = D(q eq )
2
otteniamo
peq = 7.
Nota che questa è
Figura 0.4: Domanda verticale
p
S
p
D
q̄
q
q
q̄
Parte (a)
Parte (b)
la soluzione che troviamo se invertiamo la domanda:

(10 − p)2
q D (p) =
0
e la poniamo uguale a
q S (p) = 9,
p ≤ 10
p > 10
ottenendo

(10 − p)2 = 9 p ≤ 10
0 = 9
p > 10
che ha la soluzione appunto
(b) Con la tassa resta
di domanda a
q=9
peq = 7.
qt = 9
dato che
e la concorrenza fra i consumatori determina
t=2
pt = 5
- il prezzo
deve essere versato allo Stato.
(c) Il surplus è disegnato nella gura sotto:
p
7
qS = 9
pD (q) = 10 −
2
√
q
5
9
Prima della tassa
Dopo la tassa
q
SC = Viola, SP = Arancio + Blu .
SC = Viola, SP = Blu, Gettito = Arancio .
(d) La perdita secca è dunque zero. Non avendo modicato gli scambi realizzati, l'introduzione della tassa ha determinato soltanto un trasferimento di valore, in questo caso dalle imprese
allo Stato.
Esercizio 5. Torna a considerare la curva di oerta verticale dell'esercizio 2. E' una situazione
estrema ma possibile, e nella discussione della soluzione argomenteremo che quella disegnata
nella Figura 0.4(a) non è non solo possibile ma tipica. Pensa ora alla domanda. E' ragionevole
ipotizzare una domanda come quella in Figura 0.4(b)?
verticale e per la parte orizzontale.
3
Rispondi separatamente per la parte
Soluzione esercizio 5. Ricorda che il prezzo di domanda è il prezzo massimo che i consumatori
sono disposti a pagare per la data quantità, quindi analogamente a quanto detto per l'oerta
si deve pensare al prezzo di domanda come la parte di piano (quadrante positivo) delimitata
superiormente dalla funzione
D(q).
La parte orizzontale dice dunque che a prezzo zero il mercato
assorbe qualunque quantità. La cosa è giusticabile se si può gettar via il bene a costo zero.
La parte verticale invece non è ragionevole, perché dice che ci sarebbero compratori disposti a
pagare qualunque prezzo per ottenere
q ≤ q̄ .
E per quanto il bene sia vitale, in termini di quale
altro bene si può pagare un prezzo innito? Come abbiamo osservato discutendo l'oerta, non
esistono sulla terra beni in quantità innita. E' dunque ragionevole assumere che la domanda
abbia
D(0) < ∞,
cioè abbia un'intercetta nita sull'asse del prezzo.
Esercizio 6. Siano date le funzioni di domanda e oerta di un bene rispettivamente da
20 − 23 q ed
prezzo
S(q) =
p = 10.
2 + 12 q . (a) Calcola il surplus del produttore se si scambiano
D(q) =
4 unità del bene a
(b) Calcola la diminuzione della quantità scambiata in equilibrio che si determina
in conseguenza della introduzione di una tassa unitaria
t=2
al consumo, e la relativa perdita
secca. Commenta: perché quelle unità non vengono più scambiate? (R. Surplus produttore 28;
riduzione
q
è
1;
perdita secca è 1)
Soluzione esercizio 6(a) La funzione di oerta è la retta passante per
surplus richiesto è l'area del trapezio di vertici
di equilibrio risolve senza tassa
D = S,
riduzione della quantità scambiata è
1,
cioè
1.
1;
(0, 2), (4, 4)
(0, 2), (4, 4), (4, 10), (0, 10) cioè 28.
ed è
9;
con la tassa
D−S = 2
quindi il
(b) La quantità
che dà
8;
la perdita secca è l'area del triangolo di base
dunque la
2
e altezza
L'ultima unità non viene scambiata perché il guadagno netto dallo scambio è inferiore
al costo (che è la tassa).
q D (p) = 11000 − 1000 ·
Esercizio 7. Siano date le seguenti funzioni di domanda e oerta:
p, q S (p) = 500(p − 2),
e il governo impone una tassa unitaria di
t=3
sulla produzione. Devi
intanto disegnare... Calcola: (a) La perdita secca come frazione del surplus totale che produttori
e consumatori avevano prima della tassa
ST eq ;
come frazione della quantità di equilibrio iniziale
(b) La riduzione della quantità scambiata in
q eq ;
(c) La riduzione di surplus, come frazione
del surplus iniziale, di produttori e consumatori; (d) Incidenza della tassa in termini di prezzo:
calcola la variazione, come frazione del prezzo di equilibrio
e di quello incassato dai produttori - calcola cioè
peq , del prezzo pagato dai consumatori
(pD (q T ) − peq )/peq
e
|(pS (q T ) − peq )/peq |;
(f )
D S
La relazione fra queste variazioni di prezzo e il rapporto fra le elasticità η , η in equilibrio.
(f ) Come vedrai facendo i conti
q T = 2000.
Supponi adesso che invece di imporre la tassa il
governo decida di imporre un tetto sulla quantità scambiata, imponendo
la perdita secca?
(f2) Cambia qualcos'altro?
Sugg.
q ≤ qT .
(f1) Cambia
Tieni conto che il prezzo in questo caso
dipende dal potere contrattuale di imprese e consumatori.
(g1) Vedrai che
massimo
p=
pD (q T ) = 6.
Supponi che il governo, invece della tassa, imponga un prezzo
pD (q T ). Che quantità sarà scambiata? La perdita di ecienza in questo caso è
uguale a quella causata dalla tassa o può essere superiore? Sugg. In questo caso non è certo che
il bene è consumato dai compratori che lo valutano di più. (g2) Trova la perdita massima, che
si ottiene nel caso limite in cui il bene è consumato dai compratori che lo valutano di meno. Di
quanto è più alta, in percentuale, rispetto alla perdita trovata in (a)?
4
qD = qS
Soluzione esercizio 7. Prezzo di equilibrio da
Elasticità in equilibrio:
SC eq
quindi dopo l'inversione di
Dunque: (a)
e
peq = 8,
SP eq
qD , qS
= 9000,
si ottiene
Gettito = 6000
quindi
ST eq
1−2/3 = 1/3 ≈ 33%.
=
q T = 2000,
con surplus
Perdita Secca = ST
eq
1 − SP T /SP eq = 1 − 4000/9000 = 5/9.
D T
Consumatori: prezzo pagato p (q )
=
Più formalmente:
Surplus:
− pS = 3
SC T = 2000, SP T =
− ST T − Gettito = 1500.
(b) Abbiamo
q T /q eq = 2/3
|(q T −q eq )/q eq | = 1−q T /q eq = 1/3.
1−SC T /SC eq = 1−2000/4500 = 25/45 = 5/9; Produttori:
(c) Riduzione surplus. Consumatori:
S T
prezzo incassato p (q )
q eq = 3000.
13500. La tassa fa sì che pD
Perdita Secca/ST eq = 1500/13500 ≈ 0.11 = 11%;
quindi la riduzione è
quindi
η D = 1000 · 8/3000 = 8/3, η S = 500 · 8/3000 = 8/6 = η D /2.
= (11 − 8) · 3000/2 = 4500,
4000, ST T = 6000
che dà
=
Dunque entrambi hanno riduzioni di più del
9, quindi variazione (pD
6, quindi variazione |(pS
− peq )/peq |
−
peq )/peq
= 2/8 =
= 1/8;
2 · (pD
50%;
(d)
produttori,
− peq )/peq ; (e) Il
rapporto fra le variazioni di prezzo è uguale all'inverso del rapporto fra le elasticità:
|(pS − peq )/peq |
ηD
=
(pD − peq )/peq
ηS
(f1) No, la perdita secca resta uguale; (f2) Il prezzo di mercato può oscillare fra
pS (q T ) = 9.
a
pD (q T ) = 6 e
Se le imprese hanno più potere contrattuale dei consumatori il prezzo sarà vicino più
9 che a 6 - questo è il caso se ci sono molti più consumatori che imprese, perché in questo caso i
compratori si fanno concorrenza e spingono il prezzo verso l'alto - verso il prezzo di domanda, che
è il massimo che sono disposti a pagare. Se viceversa ci sono molte più imprese che consumatori
il prezzo sarà più vicino al prezzo di oerta
SC T
+
6.
Con
SP T fra imprese e consumatori.
(g1) A prezzo
p=6
6 ≤ p ≤ 9 cambia la distribuzione del surplus
la quantità scambiata sarà
q S (6) = 2000,
ma
q D (6) > q S (6)
cosicché
non tutti i consumatori che comprerebbero il bene a quel prezzo potranno averlo. Non possiamo
essere sicuri che lo otterranno coloro che lo valutano di più, nel qual caso il surplus dei consumatori si riduce ulteriormente e la perdita di ecienza è superiore a quella vista nella parte
(a).
(g2) Il caso in esame è visualizzato nella gura di sotto. La quantità scambiata è
ottengono i consumatori che entrano a
p = 8.
Il loro surplus è l'area in marrone, uguale a
contro il surplus di quelli che valutano il bene di più, trapezio azzurro di area
6)] · 2000/2 = 8000.
la perdita secca è
2000 ma la
2000,
[(11 − 6) + (9 −
Il surplus produttori è uguale a quello con la tassa. Dunque in questo caso
13500 − (4000 + 2000) = 7500,
tassa. In percentuale abbiamo un aumento del
cinque volte la perdita di
1500
causata dalla
400%: (7500 − 1500)/1500 = 4 = 400%
p
11
9
8
6
2
2
3
5
q × 1000
Esercizio 8. Prezzo massimo, di nuovo. Assumi che tutto vada per il meglio, che cioè il bene
nisca nelle mani di quelli che ne traggono maggiore utilità. Le funzioni di domanda e oerta
5
siano le seguenti:
pS (q) = q, pD (q) = 10 − q .
p̄ = 5 − a, 0 < a < 5.
Considera l'imposizione di un prezzo massimo
Scrivi la variazione del surplus dei consumatori
trova il valore massimo di
a
per il quale
∆SC > 0.
∆SC
in funzione di
a
e
(R.10/3)
Soluzione esercizio 8. Dalla gura è chiaro che
∆SC(a) = Area B − Area C = a(5 − a) −
che è una parabola con massimo
a = 5/3
e positiva no ad
a2
3
= a(5 − a)
2
2
a = 10/3.
p
S
C
5+a A
5
5−a B
D
q
Esercizio 9 (Due Operai). Due operai, lavorando insieme, impiegano 24 ore per eseguire un
certo lavoro. Uno di essi, lavorando da solo, impiegherebbe 20 ore più dell'altro, se anche questo
lavorasse da solo. Dire in quante ore ciascun operaio eseguirebbe il lavoro, se lavorasse da solo.
Per chiarire: fra i due non c'è interazione, e lavorano sempre alla stessa velocità. Li puoi pensare
come due robot, uno più veloce dell'altro, che parallelamente in 24 ore per esempio ammucchiano
in totale 500 pietre da un chilo. Per ammucchiare le stesse pietre da soli uno ci sta 20 ore in più
dell'altro. (R.
40, 60)
Soluzione esercizio 9. Il lavoro che producono in 24 ore - poniamolo uguale ad 1 - è 24 volte
quello che fanno in un'ora. Indicando con
x
1 = x/x
ore produce 1, quindi in
1/(x + 20).
x
le ore che ci mette il più veloce a fare il lavoro: in
ore produce
Quindi in un'ora in due producono
1 = 24(1/x + 1/(x + 20)).
1/x.
Analogamente, l'altro in un'ora produce
1/x + 1/(x + 20), e dunque x soddisfa l'equazione
La soluzione positiva di questa è 40, quindi la soluzione è
Esercizio 10 (Equilibrio). Ci sono due aree di pesca. Indicando con
nell'area
i = 1, 2
e con
Yi
Xi
(40, 60).
il numero di barche
la quantità totale pescata in un giorno (in quintali), abbiamo le
relazioni di produzione seguenti nelle due aree:
Y1 = 200X1 − 2X12 , Y2 = 100X2 − X22 .
In tutto
ci sono 100 barche uguali, il prezzo del pesce al quintale è 100 Euro, e il costo giornaliero di ogni
barca è 1000 Euro. Ogni barca ha l'obiettivo di massimizzare il protto (ricavi meno costi, dove
ricavo uguale prezzo per quantità). Ogni sera si vede chi è andato dove e quanto ha pescato.
Con l'andar del tempo, quando ogni barca ha imparato ad andare a pescare nel posto giusto,
quante barche ci saranno nelle due aree? (R.
X1 = 200/3, X2 = 100/3)
Soluzione esercizio 10. Finché in un'area il protto è più alto che nell'altra ci saranno barche
che si spostano verso quell'area, quindi in equilibrio il protto per barca deve essere uguale nelle
due aree. Dunque deve essere
100/3.
100Y1 /X1 − 1000 = 100Y2 /X2 − 1000,
che dà
X1 = 200/3, X2 =
Esercizio 11. Abbiamo fatto nora analisi "positiva" cioè come funziona il mercato.
Ora
facciamo analisi "normativa", cioè vediamo che allocazione massimizza i protti totali. Supponi
6
di poter regolamentare la pesca nelle due aree.
La scelta eciente è quella che massimizza i
protti totali, che possono poi essere divisi fra le cento barche esistenti (che per ipotesi sono
uguali). Il problema è in due variabili ma sostituendo
X2
dal vincolo in termini di
X1
si riduce
ad un problema in una variabile. Calcola la ripartizione ottima di barche nelle due aree.
Soluzione esercizio 11.
massimizzare
2X12
Y1 + Y2
+ 100X2 −
X22
X1 = X2 = 50.
Prezzo e costo non entrano nel problema, che di fatto è quello di
sul vincolo
Sostituendo X2 otteniamo Y1 + Y2 = 200X1 −
2
X1 ) da cui azzerando la derivata otteniamo 100 = 2X1 cioè
X1 + X2 = 100.
= 3(100X1 −
Esercizio 12 (Ancora equilibrio: sussidi). Gli abitanti di una certa regione possono scegliere di
lavorare in una fabbrica per 8K Euro l'anno oppure coltivare la terra. Quindi il costo opportunità
di lavorare la terra è 8K. Coltivare rende 16K Euro, i costi sono atto terreno 5K e altri
costi (escluso il lavoro) 3K. Quindi le due alternative sono equivalenti, restano sempre 8K. Per
stimolare l'agricoltura qualcuno propone al governo di nanziare un metodo di irrigazione che
raddoppia il raccolto. Siccome la quantità totale è ininuente sul mercato il prezzo di vendita
non cambia, dunque il ricavo raddoppia a 32K, meno i costi fa 24K. La quantità di terra è data.
Che succederà? (R. L'atto salirà a...)
Esercizio 13 (Licenze Taxi). Il numero delle licenze per taxi in Italia è bloccato, e ogni volta
che si pronuncia la parola liberalizzazione i tassisti insorgono.
Supponiamo che i ricavi dalle
corse ammontano a 42K Euro l'anno. Si può trovare qualcuno disposto a guidare un taxi per
40K l'anno, incluse le spese per assicurazioni varie che eliminano rischi di perdite impreviste.
Se il tasso di interesse sui titoli a reddito sso (senza rischio cioè) è del 2%, quanto costerà una
licenza? E quanto costerebbe dopo la liberalizzazione, e perché? Ora capisci perché i tassisti si
oppongono così violentemente... (R.
1
2K/0.02 = 100K )
Tasse e gettito
Esercizio 14 (Tasse e Gettito). Considera un mercato con quantità domandate e oerte date
da

−2 + p p ≥ 2
q D (p) = 10 − 0.5p q S (p) =
0
p<2
Supponi che il governo conceda un sussidio al consumo pari al
5%
del prezzo di equilibrio.
Calcola la perdita secca in percentuale su (a) costo per l'erario; (b) incremento surplus totale.
(R. (a)
1
92
≈ 1.1%;
(b)
1
91
≈ 1.1%)
Soluzione
Il prezzo di equilibrio è dato da
sussidio è
s = 0.05·8 = 0.4 =
10 − 0.5p = −2 + p
2
5 . Per trovare la quantità
cioè
3
2p
7
che dà
p? = 8;
e
q ? = 6.
Il
q T scambiata dopo il sussidio invertiamo
domanda e oerta ottenendo
pD (q) = 20 − 2q
= 12
pS (q) = 2 + q
qT
risolve
pS − pD = s
dunque
secca è l'area del triangolo con base
costo per l'erario è
2
5 da cui
2 + q − 20 + 2q =
Costo Erario =
qT
qT − q? =
·s=
92
15
·
L'incremento di surplus totale è
quindi
92
5 cioè
2
2
15 e altezza 5 quindi
Perdita
1
≈ 1.1%
92
=
∆ST = Costo Erario − Perdita secca =
2
5·15
182
5·15
Perdita secca
=
∆ST
92
15 . La perdita
2
secca = 5·15
. Il
qT =
2
5 da cui
2
5·15
92 2
15 · 5
Perdita secca
=
Costo Erario
3q T =
=
92
15
·
2
5
−
2
5·15
=
182
5·15
1
≈ 1.1%
91
Esercizio 15 (Cuneo scale). Considera un mercato competitivo con domanda e oerta date
rispettivamente da
scambiata è
13%
portandola al
pD (q) = 10 − q
e
pS (q) = 3q .
in meno della quantità di equilibrio. Il governo intende ridurre tale dierenza
10%.
Di quanto, in termini percentuali, si ridurrà il gettito scale in conseguenza
di questa misura? (Suggerimento: Disegna. R.
Soluzione esercizio 15. L'equilibrio è
2.175.
A causa di una tassa sul consumo la quantità
≈ 20.4%)
q eq = 2.5,
e la quantità scambiata
Per tale valore la dierenza fra domanda e oerta è
g0 = t0 q0 = 2.8275.
Se la quantità scambiata diventa
1
e il gettito a
g1 = t1 q1 = 2.25.
q0 = (1 − 0.13)q eq =
t0 = (10 − q0 ) − q0 = 1.3
con gettito
q1 = (1−0.10)q eq = 2.25 la tassa passa a t1 = (10−q1 )−q1 =
Dunque la variazione relativa del gettito è
g1 − g0
= −0.20424 ≈ −20.4%
g0
D(q) = 10 − q
Esercizio 16. In un mercato con domanda
aumentare la tassa da
t
ad
(1 + δ)t < 10.
e oerta
S(q) = 2q ,
supponi di
In che percentuale varia la quantità scambiata? In
particolare, questa percentuale cresce o diminuisce con
t
δ )?
(dato
Chiama
q0
e
q1
le quantità
iniziali e nali.
Soluzione esercizio 16. Abbiamo
q1 = [10 − (1 + δ)t]/3.
Quindi
q0
dato da
10 − 3q = t cioè q0 = (10 − t)/3 ed analogamente
q1 − q0
1
= −δ
q0
10/t − 1
Questa percentuale aumenta con
t.
Esercizio 17 (Curva di Laer e incidenza della tassa). Considera un mercato con domanda
e oerta lineari:
gettito
S(q) = a + bq, D(q) = c − dq
dove
a < c
e
b, d > 0.
(a) Dimostra che il
g(t) = tq(t) - dove q(t) è la quantità scambiata con tassa t - è una parabola con massimo
(c − a)/2.
(b) Calcola l'incidenza relativa della tassa, cioè:
Soluzione esercizio 17. (a)
q(t)
si trova da
quindi
g(t) = tq(t) =
[D(q(t)) − peq ]/[peq − S(q(t))].
t = D(q) − S(q)
che dà
1
[(c − a) − t] · t
b+d
8
q(t) = (c − a − t)/(b + d)
che è la parabola cercata. . (b) L'equilibrio è
d) = (bc + ad)/(b + d)
quindi
q eq = q(0) = (c − a)/(b + d), peq = c − d(c − a)/(b +
c−a
c−a−t
d[ c−a
−d c−a−t
d
D(q(t)) − peq
ηS
b+d + d b+d
b+d − b+d ]
=
= =
=
c−a−t
c−a−t
c−a
c−a
eq
p − S(q(t))
b
ηD
b b+d − b b+d
b[ b+d − b+d ]
9