Esercizi Domanda Oerta e Surplus
Esercizio 1. Considera la curva di oerta
di valori di
p
D
tali che q
>0
q D (p) = max{60 − 0.05p, 0}
trova i valori per cui l'elasticità
Esercizio 2. Considera un mercato in cui l'oerta è
pq 2 = 200.
p > 0.
con
Nell'intervallo
η D > 1.
q S = 20 e la domanda è denita dall'equazione
Disegna e calcola il prezzo di equilibrio.
Esercizio 3. Domanda
Esercizio 4. Oerta
q D (p) = 120 − 3p
q S (p) = 3p,
oerta
pS = 15.
domanda denita da
Disegna e calcola l'equilibrio.
pq 2 = 243.
Disegna e calcola l'equilibrio.
Esercizio 5. Considera la curva di oerta verticale in Figura:
Figura 0.1: Oerta Verticale
p
S
q
q̄
Si può scrivere in funzione di
p come q S (p) = q̄
Ma non si può scrivere in funzione di
corrisponde più di un valore di
q̄, q = q̄, q > q̄ ?
p.
q
- vista dall'asse verticale è una retta orizzontale.
perché una retta verticale non è una funzione - a
q = q̄
Come interpreti il prezzo di oerta in questo caso, per
Suggerimento. Considera prima, con
a>0
q <
grande, la funzione
0
q ≤ q̄
S
p (q) =
a(q − q̄) q ≥ q̄
e immaginala approssimata (a scaletta) come l'abbiamo costruita in aula con i vari oerenti (imprese)
che vanno via via entrando in gioco.
Esercizio 6. Considera adesso l'oerta
0
q ≤ 10
pS (q) =
0.5(q − 10) q ≥ 10
rappresentata nella Figura 0.2: Supponi che si scambi
q = 6
al prezzo
p = 2.
Qual è il surplus
dell'oerta? Calcola (e colora)
Esercizio 7. Considera la domanda
0.3.
(a) Calcola
(q ? , p? );
√
pD (q) = 10 − q
e l'oerta verticale
(b) Considera l'introduzione di una tassa
q S = 9, come nella Figura
t > 0.
Determina l'equilibrio
(q T , pT ) con la tassa. (c) Disegna surplus produttori e consumatori prima della tassa, e surplus
consumatori produttori e gettito dopo la tassa; (d) Quant'è la perdita secca?
1
Figura 0.2: Surplus in punto interno
p
2
6
10
Figura 0.3: Tassa
p
10
7
t,
q
oerta verticale
qS = 9
pD (q) = 10 −
t
√
q
5
9
q
Esercizio 8. Torna a considerare la curva di oerta verticale dell'esercizio 5.
E' una situazione
estrema ma possibile, e nella discussione della soluzione argomenteremo che quella disegnata nella
Figura 0.4(a) non è non solo possibile ma tipica. Pensa ora alla domanda. E' ragionevole ipotizzare
una domanda come quella in Figura 0.4(b)? Rispondi separatamente per la parte verticale e per la
parte orizzontale.
Esercizio 9. Siano date le seguenti funzioni di domanda e oerta:
q D (p) = 11000−1000·p, q S (p) =
500(p−2), e il governo impone una tassa unitaria di t = 3 sulla produzione.
Devi intanto disegnare...
Calcola: (a) La perdita secca come frazione del surplus totale che produttori e consumatori avevano
prima della tassa
ST ? ;
(b) La riduzione della quantità scambiata in come frazione della quantità di
?
equilibrio iniziale q ; (c) La riduzione di surplus, come frazione del surplus iniziale, di produttori
e consumatori; (d) Incidenza della tassa in termini di prezzo: calcola la variazione, come frazione
del prezzo di equilibrio
p? ,
p
del prezzo pagato dai consumatori e di quello incassato dai produttori -
Figura 0.4: Domanda verticale
p
S
D
q̄
q
q
q̄
Parte (a)
Parte (b)
2
calcola cioè
(pD (q T ) − p? )/p?
e
|(pS (q T ) − p? )/p? |;
(f ) La relazione fra queste variazioni di prezzo e
D S
il rapporto fra le elasticità η , η in equilibrio.
(f ) Come vedrai facendo i conti
q T = 2000.
Supponi adesso che invece di imporre la tassa il
governo decida di imporre un tetto sulla quantità scambiata, imponendo
q ≤ qT .
(f1) Cambia la
perdita secca? (f2) Cambia qualcos'altro? Sugg. Tieni conto che il prezzo in questo caso dipende
dal potere contrattuale di imprese e consumatori.
pD (q T ) = 6.
(g1) Vedrai che
massimo
p=
Supponi che il governo, invece della tassa, imponga un prezzo
pD (q T ). Che quantità sarà scambiata? La perdita di ecienza in questo caso è uguale
a quella causata dalla tassa o può essere superiore? Sugg. In questo caso non è certo che il bene
è consumato dai compratori che lo valutano di più. (g2) Trova la perdita massima, che si ottiene
nel caso limite in cui il bene è consumato dai compratori che lo valutano di meno. Di quanto è più
alta, in percentuale, rispetto alla perdita trovata in (a)?
Esercizio 10. Prezzo massimo, di nuovo.
Assumi che tutto vada per il meglio, che cioè il bene
nisca nelle mani di quelli che ne traggono maggiore utilità.
siano le seguenti:
pS (q)
p̄ = 5 − a, 0 < a < 5.
il valore massimo di
a
= q,
pD (q)
= 10 − q .
Le funzioni di domanda e oerta
Considera l'imposizione di un prezzo massimo
Scrivi la variazione del surplus dei consumatori
per il quale
∆SC > 0.
∆SC
in funzione di
a
e trova
(R.10/3)
Soluzioni
1. Intanto abbiamo
q D > 0 ⇔ 60 > 0.05p ⇔ 0 < p < 1200.
60 − 0.05p ⇔ 600 < p < 1200.
Poi:
ηD = 0.05p/q > 1 ⇔ 0.05p >
2. Quantità oerta e domandata devono essere uguali quindi sostituendo
della domanda troviamo
200/q 2 ):
p · 400 = 200 ⇔ p? = 0.5.
p
q S = 20 nella equazione
Figura (la domanda è disegnata come
qS
p⋆ = 0.5
20
3. Sostituendo
p = 15
nella domanda troviamo
q
q ? = 120 − 3 · 15 = 75, p? = 15.
p
40
p⋆ = 15
75
3
120
q
Figura:
pD =
p(3p)2 = 243 ⇔ p? =
4. Sostituendo l'oerta nell'equazione della domanda si trova
q?
=
9. Potevamo alternativamente scrivere la domanda come pD (q)
S
al prezzo di oerta p (q)
= q/3
2
ottenendo 243/q
Figura:
= q/3 ⇔
q3
=
√
3
27 = 3
e
243/q 2 e uguagliare questa
= 729 ⇔ q ? = 9
e poi
p? = q ? /3 = 3.
p
S
3
D
9
q
5. La curva che suggerisco di considerare per chiarire le idee è come quella in Figura 0.2 solo più
ripida (con
q
q̄ = 10).
La parte crescente a scaletta è come l'abbiamo costruita in aula: man mano che
cresce gli individui (imprese) disposti a fornire il bene hanno costi - costi opportunità - crescenti,
e questo è
pS
che sale. Inserisco qui un'osservazione che servirà dopo: anche la stessa impresa, o lo
stesso individuo, in generale avrà costo opportunità crescente di fornire quantità crescenti del bene.
E la parte in cui
pS = 0?
Vuol dire che per quantità
q ≤ q̄
ci sono individui/imprese disposti ad
orire il bene gratuitamente - hanno costo opportunità zero di produrlo.
Passando alla curva verticale, dovrebbe adesso essere chiara la parte orizzontale per
Andiamo a
a
p = 0?
q=
q̄ . Per capire pS (q̄) guardiamo la quantità oerta
La risposta è
S
esattamente che p (q̄)
q S (0) = q̄ .
= 0.
che accettano di produrre
q̄
E questo dà la risposta voluta: che a
La verticale su
q̄
q < q̄ .
q S (p): quant'è la quantità oerta
p=0
l'oerta è
q̄
signica
dice semplicemente - e ovviamente - che le imprese,
gratis, saranno comunque ben contente di accettare un prezzo positivo!
E questo è un fatto generale che possiamo registrare: abbiamo sempre visto (e continueremo) a
pensare al prezzo di oerta come la funzione
pS (q),
ma in verità qualunque prezzo al di sopra di
questa funzione va altrettanto bene. Cioè, possiamo pensare al prezzo di oerta come una porzione
di piano delimitata inferiormente dalla funzione
pS (q).
Nel caso della
S
la porzione di piano delimitata inferiormente dalla funzione p (q)
E questo ci porta ai valori
Questa dice che anche a
p
q > q̄ .
q S = q̄
appena vista abbiamo
= 0, q ≤ q̄ .
Che succede in quella regione? Torniamo a guardare la
q S (p).
alti quanto si vuole non ci sono imprese disposte ad orire più di
S
dunque naturale denire p (q)
=∞
per
q > q̄ .
q̄ .
E'
In conclusione possiamo scrivere:
0 q ≤ q̄
pS (q) =
∞ q > q̄
Osserva per concludere che poiché la quantità totale esistente sul pianeta di qualunque bene è
limitato, per
6.
q
sucientemente grande qualunque curva di oerta dovrebbe diventare verticale.
Adesso che abbiamo imparato ad interpretare il prezzo di oerta la risposta è ovvia: 12,
colorata qui sotto:
4
p
2
6
7.
(a)
q ? = 9,
e da
pD (q) = pD (q ? )
10
otteniamo
q
p? = 7.
Nota che questa è la soluzione che
troviamo se invertiamo la domanda:
(10 − p)2
D
q (p) =
0
e la poniamo uguale a
q S (p) = 9,
p ≤ 10
p > 10
ottenendo
(10 − p)2 = 9 p ≤ 10
0 = 9
p > 10
che ha la soluzione appunto
p? = 7.
(b) Con la tassa resta
qT = 9
q=9
t=2
domanda a
dato che
e la concorrenza fra i consumatori determina
pT = 5
- il prezzo di
deve essere versato allo Stato.
(c) Il surplus è disegnato nella gura sotto:
p
7
qS = 9
pD (q) = 10 −
2
√
q
5
9
Prima della tassa
Dopo la tassa
q
SC = Viola, SP = Arancio + Blu .
SC = Viola, SP = Blu, Gettito = Arancio .
(d) La perdita secca è dunque zero. Non avendo modicato gli scambi realizzati, l'introduzione
della tassa ha determinato soltanto un trasferimento di valore, in questo caso dalle imprese allo
Stato.
8.
Ricorda che il prezzo di domanda è il prezzo massimo che i consumatori sono disposti a
pagare per la data quantità, quindi analogamente a quanto detto per l'oerta si deve pensare al
prezzo di domanda come la parte di piano (quadrante positivo) delimitata superiormente dalla
5
funzione
pD (q).
La parte orizzontale dice dunque che a prezzo zero il mercato assorbe qualunque
quantità. La cosa è giusticabile se si può gettar via il bene a costo zero.
La parte verticale invece non è ragionevole, perché dice che ci sarebbero compratori disposti a
pagare qualunque prezzo per ottenere
q ≤ q̄ .
E per quanto il bene sia vitale, in termini di quale
altro bene si può pagare un prezzo innito?
Come abbiamo osservato discutendo l'oerta, non
esistono sulla terra beni in quantità innita. E' dunque ragionevole assumere che la domanda abbia
pD (0) < ∞,
cioè abbia un'intercetta nita sull'asse del prezzo.
9. Prezzo di equilibrio da
ηD
= 1000 · 8/3000 = 8/3,
4500,
SP ?
si ottiene
= 9000,
ST ?
q T = 2000,
?
la riduzione è
ST T
q ? = 3000.
η D /2. Surplus:
−
pS
=3
Consumatori:
SC T /SC ?
1−
D T
Consumatori: prezzo pagato p (q )
=
=
= (11 − 8) · 3000/2 =
quindi dopo l'inversione di
− Gettito = 1500.
33%. Più formalmente: |(q T
Elasticità in equilibrio:
SC ?
SC T = 2000, SP T = 4000, ST T = 6000
= 1 − 4000/9000 = 5/9.
S T
incassato p (q )
quindi
Perdita Secca/ST ? = 1500/13500 ≈ 0.11 = 11%;
Riduzione surplus.
1−
p? = 8,
13500. La tassa fa sì che pD
1 − 2/3 = 1/3 ≈
SP T /SP ?
che dà
= 500 · 8/3000 = 8/6 =
con surplus
Perdita Secca = ST −
Dunque: (a)
=
ηS
qD = qS
e
Gettito = 6000
quindi
q T /q ? = 2/3
quindi
(b) Abbiamo
−
q ? )/q ? |
= 1−
q T /q ?
= 1 − 2000/4500 = 25/45 = 5/9;
= 1/3.
6, quindi variazione |(pS
−
p? )/p? |
−
(c)
Produttori:
Dunque entrambi hanno riduzioni di più del
9, quindi variazione (pD
qD , qS
50%;
(d)
p? )/p?
= 1/8;
(pD
p? )/p? ; (e) Il rapporto fra
= 2/8 = 2 ·
−
produttori, prezzo
le variazioni di prezzo è uguale all'inverso del rapporto fra le elasticità:
|(pS − p? )/p? |
ηD
=
(pD − p? )/p?
ηS
(f1) No, la perdita secca resta uguale; (f2) Il prezzo di mercato può oscillare fra
pS (q T )
a
9
= 9.
che a
6
pD (q T ) = 6
e
Se le imprese hanno più potere contrattuale dei consumatori il prezzo sarà vicino più
- questo è il caso se ci sono molti più consumatori che imprese, perché in questo caso i
compratori si fanno concorrenza e spingono il prezzo verso l'alto - verso il prezzo di domanda, che
è il massimo che sono disposti a pagare. Se viceversa ci sono molte più imprese che consumatori
il prezzo sarà più vicino al prezzo di oerta
SC T
+
6.
Con
SP T fra imprese e consumatori.
(g1) A prezzo
p=6
la quantità scambiata sarà
6≤p≤9
cambia la distribuzione del surplus
q S (6) = 2000,
ma
q D (6) > q S (6)
cosicché non
tutti i consumatori che comprerebbero il bene a quel prezzo potranno averlo. Non possiamo essere
sicuri che lo otterranno coloro che lo valutano di più, nel qual caso il surplus dei consumatori si
riduce ulteriormente e la perdita di ecienza è superiore a quella vista nella parte (a).
(g2) Il caso in esame è visualizzato nella gura di sotto. La quantità scambiata è
ottengono i consumatori che entrano a
p = 8.
Il loro surplus è l'area in marrone, uguale a
contro il surplus di quelli che valutano il bene di più, trapezio azzurro di area
2000/2 = 8000.
perdita secca è
Il surplus produttori è uguale a quello con la tassa.
13500 − (4000 + 2000) = 7500,
In percentuale abbiamo un aumento del
2000
2000,
[(11 − 6) + (9 − 6)] ·
Dunque in questo caso la
cinque volte la perdita di
1500
causata dalla tassa.
400%: (7500 − 1500)/1500 = 4 = 400%
6
ma la
p
11
9
8
6
2
2
3
5
q × 1000
10. Dalla gura è chiaro che
∆SC(a) = Area B − Area C = a(5 − a) −
che è una parabola con massimo
a = 5/3
e positiva no ad
a = 10/3.
p
5+a A
5
5−a B
S
C
D
q
7
a2
3
= a(5 − a)
2
2
