Divisione tra polinomi

Classi 1e Esercizi di prova del compito
Divisione tra polinomi
1 4 3 2
x  x e
2
2
1) Determina quoziente e resto della divisione tra i polinomi
1
1
x  e fanne la verifica.
8
2
Teorema del resto
2) Determina il resto delle divisioni tra il polinomio
8x 4  10x 3  x 2  x e i polinomi x , x  1 ,
1
. Scomponi quindi in fattori il polinomio.
2
1
3
3
2
3) Il polinomio x  2x  x  k e che diviso per x 
dà resto
. Trovare il coefficiente k.
2
2
3
2
3
2
4) I polinomi 7x  6x  5x  4 , 11x  10x  9x  8 sono di terzo grado, hanno i valori assoluti dei
x 1,x  2, x 
coefficienti numeri interi consecutivi, positivi il primo e l’ultimo coefficiente e negativi gli altri.
Verifica che questi polinomi sono multipli di x  1
Verifica quindi che ciò succede in generale, cioè che per qualunque polinomio i cui coefficienti rispondono alle
caratteristiche descritte sopra.
5) Dati tre qualunque numeri interi consecutivi maggiori di 1, la somma dei loro quadrati divisa per il numero
intermedio, dà sempre resto 2
MCD e MCM di polinomi
5
6) Calcola MCD e MCM dei polinomi
A  x  8x
Calcola quindi i risultati delle seguenti espressioni:
a)
A : MCD
b)
Frazioni algebriche
7) Semplifica la frazione algebrica
MCM : B
3
MCM : MCD 
c)
4x  4
x
d)
A  B  : MCM
e verifica che essa e la frazione ottenuta dalla
2x 2  2
semplificazione hanno lo stesso valore se assegniamo a
B  x 4  8x
 16x
i valori
0 , 2 ,  3,
Determina per quali valori di le due frazioni non sono calcolabili.
1
.
2
8) Esercizi dimostrativi di geometria (nel compito ve ne saranno 2)
1. (Applicazione del Teorema dell’angolo esterno) E’ dato un segmento AB e due punti P e Q nello stesso
semipiano di origine la retta AB. Dimostrare che se P è interno al triangolo ABQ allora l’angolo
(suggerimento: prolungare AP fino ad incontrare BQ in R e considerare anche l’angolo
AR̂B
AP̂B  AQ̂P .
)
2. Date due erette parallele tagliate da una trasversale, dimostrare che le bisettrici di due angoli alterni interni
sono tra loro parallele.
3. Date due coppie di rette a due a due parallele, dimostrare che il quadrilatero che ha per vertici i quattro punti di
intersezione delle rette ha i lati opposti congruenti
(suggerimento; tracciare una diagonale del quadrilatero)
4. Dato il triangolo ABC. Da B traccia la parallela r ad AC. Per il punto medio M del lato BC traccia una retta e
chiama con D il punto di intersezione di questa con la retta r e con E il punto di intersezione di questa con il lato
AC. Dimostra che EC=BD
5. Dato il triangolo isoscele ABC (AB=AC), si tracci la perpendicolare ad AB passante per B e si chiami D il punto di
intersezione di tale perpendicolare con il prolungamento di AC. Dimostrare che BCD è un triangolo isoscele.
(suggerimento: tracciare l’altezza di ABC)
6. Dato il triangolo ABC e la retta r parallela al lato AB e passante per C, dimostrare che tale retta divide l’angolo
esterno in
Ĉ
in due parti congruenti rispettivamente agli angoli interni
Â
e
B̂