sostegno4

CORSO DI SOSTEGNO PER LE CLASSI QUARTE
ARGOMENTO
PROBLEMI DI GEOMETRIA RISOLTI PER VIA TRIGONOMETRICA
GUIDA ALL’ IMPOSTAZIONE
PREREQUISITI
Nozioni fondamentali di Geometria piana con particolare riguardo alle proprietà delle corde
e delle tangenti ad una circonferenza.
Definizione e proprietà delle funzioni goniometriche fondamentali
Relazioni fra gli elementi di un triangolo
TEST D’INGRESSO
1) E’ data una circonferenza di raggio r.
La misura del lato del triangolo equilatero inscritto è
[ ]
r
[ ]  r3
[ ]
r2
[ ]
 altro
La misura del lato del quadrato inscritto è
 [ ] r
[ ]  r3
[ ]
r2
[ ]  altro
La misura del lato dell’esagono regolare inscritto è
[ ]
r
[ ]  r3
[ ]
r2
[ ]  altro
2) In una circonferenza di centro O e raggio r, la corda AB è uguale al lato del triangolo
equilatero inscritto e C è un punto della circonferenza.
L’ampiezza dell’angolo ACB
 [ ] è uguale a /3 per una sola posizione di C

[ ] è uguale a /3 solo per due posizioni di C
 [ ] è uguale a /3 per infinite posizioni di C
[ ] è uguale a /3 per qualunque posizione di C
3) Siano
AB una corda, diversa dal diametro, di una circonferenza di centro O
C un punto appartenente al minore degli archi AB
D un punto appartenente al maggiore degli archi AB
 l’ampiezza dell’angolo convesso AOB
 l’ampiezza dell’angolo ACB
 l’ampiezza dell’angolo ADB
Quali delle seguenti relazioni sono esatte, per qualunque posizione di C e D?


[ ]=2
[ ]=-
[ ]  =2
[ ]  =-
4) Siano C un punto di una semicirconferenza di diametro AB e centro O
e D il punto comune alle rette tangenti in A e in C rispettivamente.
Dimostrare che
a) DO è bisettrice dell’angolo ADC
b) ADC = 2 BAC
5) In un triangolo ABC rettangolo in C siano ,  e  le ampiezze degli angoli A, B e C
rispettivamente.
Quale delle seguenti relazioni è errata?

[ ] AB = BC/sen 
 [ ] BC = AB sen 
 [ ] BC = AB cos 
6) In un triangolo ABC rettangolo in C, sia  l’angolo opposto al cateto BC
Se tg  = 1/3 possiamo affermare che
 [ ] AB =10
 [ ] BC /AC = 1/3
 [ ] AC/BC = 1/3
 [ ] BC/AB = 1/3
 [ ] BC/AB = 1/10
( indicare le risposte esatte)
7) In un triangolo ABC siano ,  e  le ampiezze degli angoli A, B e C
rispettivamente.
Se AB = 2 AC, quale relazione sussiste fra  e ?




[
[
[
[
]
]
]
]
 = 2
sen  = 2 sen 
2sen = sen 
non ci sono elementi sufficienti per rispondere
COGNOME
PROBLEMA
NOME
CLASSE
In una circonferenza di centro O e raggio r, si consideri una corda AB uguale al lato del triangolo
equilatero inscritto.
Sul minore degli archi AB si prenda un punto P in modo che l’area del quadrilatero convesso
AOBP sia uguale a k r², dove k è un parametro reale positivo.
Discussione e risoluzione nel caso particolare k = 3 / 2.
Risoluzione guidata
DATI
raggio =r
INFORMAZIONI
dirette
AB lato del triangolo equilatero
inscritto
Si prenda P interno ad AB
OBIETTIVO
Determinare P in modo che l’area del quadrilatero
i ndirette
AB = - --------------------AOB =---------------------APB = -----------------------
AOBP sia = k r²
SCELTA DELL’ INCOGNITA
Si congiunga P con B.
L’angolo PBA = x individua univocamente il punto P
INTERVALLO DI VARIABILITA’ DELL’ INCOGNITA E DISCUSSIONE DEI CASI LIMITE
posto x = PBA  PAB = ----------------
quando P A
x = ------------------------
Il quadrilatero AOPB si riduce al ------------------------------------------------------------------------k = ------------------------------------------------------
quando P B
x = ------------------------
Il quadrilatero AOPB si riduce al ------------------------------------------------------------------------k = ------------------------------------------------------
------------- 
x
 ------------------
SOTTOBIETTIVO 1
Area triangolo AOB
SOTTOBIETTIVO 2
Area triangolo APB (in funzione di x)
EQUAZIONE RISOLVENTE
PROBLEMI DA RISOLVERE MEDIANTE IL TEOREMA DELLA CORDA
1) In una semicirconferenza di diametro AB = 2r si conduca la corda AC di lunghezza r3.
Sul minore dei due archi AC si determini un punto P e si calcoli l’ampiezza dell’angolo PAC in modo che,
condotta la corda AQ perpendicolare ad AP, sia verificata la relazione
AP + AQ = k CQ
dove k è un parametro reale positivo. Discussione.
2) Sia CD una corda di una semicirconferenza di diametro AB = 2r, di lunghezza uguale al raggio.
Determinare l’ampiezza dell’angolo CAB in modo che il quadrilatero convesso ABDC abbia perimetro
2kr, dove k è un parametro reale positivo.
Discussione.
3) In una semicirconferenza, il cui diametro BC misura 2r, è inscritto il triangolo rettangolo ABC, nel
quale il rapporto dei cateti AC e CB è 4/3.
Sia P un punto dell’arco AC e si indichi con x la misura dell’angolo CBP.
Determinare x in modo che risulti AP + PB + PC = k BC
dove k è un parametro reale positivo.
Discussione.
PROBLEMI DA RISOLVERE MEDIANTE IL TEOREMA DELLA CORDA
1)In una circonferenza di diametro AB = 2r si conduca la corda AC di lunghezza r3.
Sul minore dei due archi AC si determini un punto P e si calcoli l’ampiezza dell’angolo PAC in modo che,
condotta la corda AQ perpendicolare ad AP, sia verificata la relazione
AP + AQ = k CQ
dove k è un parametro reale positivo. Discussione.
2) Sia CD una corda di una semicirconferenza di diametro AB = 2r, di lunghezza uguale al raggio.
Determinare l’ampiezza dell’angolo CAB in modo che il quadrilatero convesso ABDC abbia perimetro
2kr, dove k è un parametro reale positivo.
Discussione.
3)In una semicirconferenza, il cui diametro BC misura 2r, è inscritto il triangolo rettangolo ABC, nel
quale il rapporto dei cateti AC e CB è 4/3.
Sia P un punto dell’arco AC e si indichi con x la misura dell’angolo CBP.
Determinare x in modo che risulti AP + PB + PC = k BC
dove k è un parametro reale positivo.
Discussione.
PROBLEMA
Siano C un punto di una semicirconferenza di centro O e diametro AB =2r e D il punto di incontro
delle due tangenti in A e in Cispettivamente.
a) dimostrare che la retta CB è parallela a DO
b) determinare il valore x dell’angolo CAB affinché risulti
DO + 2DC
4
------------ = --CB
c)
3
calcolare , in corrispondenza del valore di x precedentemente trovato, il rapporto delle aree dei
triangoli DOE e CBE, dove E è il punto comune alle rette DC e AB
Scheda risolutiva
DATI
INFORMAZIONI
Dirette
Indirette
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
LIMITAZIONI DEL’INCOGNITA E DISCUSSIONE DEI CASI LIMITE
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
OBIETTIVO 1
CB  DO
Sfruttando l’informazione ….……………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….
OBIETTIVO 2
Determinare il valore x dell’angolo CAB affinché risulti
DO + 2DC
4
------------ = --CB
3
Sottobiettivo 1
Determino la lunghezza dei segmenti DO, DC, CB in funzione di x applicando
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
sottobiettivo 2
Risolvo l’equazione risolvente
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
e confronto le soluzioni con le limitazioni imposte alla variabile x
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
OBIETTIVO 3
Calcolare , in corrispondenza del valore di x precedentemente trovato, il rapporto delle aree dei triangoli
DOE e CBE, dove E è il punto comune alle rette DC e AB
Suggerimento
I triangoli considerati sono simili con rapporto di similitudine uguale a…………………..
Pertanto il rapporto delle aree è uguale a …………………………………………………..
Problema
Determinare gli angoli di un triangolo isoscele acutangolo sapendo che la base BC ha lunghezza
unitaria e che la lunghezza della perpendicolare condotta da C al lato AC, fino al suo punto
d’incontro D con il lato opposto, è uguale a p, dove p è un parametro positivo arbitrario.
Discussione.
GUIDA ALL ‘IMPOSTAZIONE
DATI
INFORMAZIONI
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
COSTRUZIONE DELLA FIGURA
Parole chiave
ABC isoscele acutangolo
DC perpendicolare ad AC
SCELTA DELL’INCOGNITA……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
LIMITAZIONI DEL’INCOGNITA E DISCUSSIONE DEI CASI LIMITE
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
OBIETTIVO
Determinare gli angoli del triangolo ABC affinché risulti DC = p
Applicando al triangolo BCD il Teorema………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
si perviene all’equazione risolvente
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
Problema
In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, la misura dei due lati uguali è 2a5, mentre il coseno
dell’angolo al vertice  è uguale a –3/5.
1) Risolvere il triangolo, determinando la misura del lato BC e le funzioni goniometriche principali degli
angoli,  e , ad esso adiacenti
2) Sul lato BC determinare un punto P in modo che, detto M il punto medio del lato AB e detto Q il
piede della perpendicolare condotta da P alla retta AC, risulta verificata la relazione
PM² + 5 PQ² = k a²
Dove k è un parametro positivo arbitrario. Discussione.
OSSERVAZIONI
Punto 1)
Risoluzione del triangolo
Nel triangolo ABC sono noti due lati e l’angolo  fra essi compreso
Sapendo che cos  = -3/5, possiamo affermare che sen  =
Applicando il Teorema ……..…………………. Possiamo determinare la lunghezza di BC =
Applicando il Teorema ……………………………… possiamo determinare sen  =
e sen  =
ed in seguito cos  =
cos  =
punto 2)
Scelta dell’incognita
Per determinare P (mediante la relazione PM² + PQ² = k a²)
- l’ ampiezza dell’angolo BPM ( o dell’angolo APM)
- la misura del segmento BP ( o del segmento PC)
si può scegliere come variabile incognita
Valuta attentamente la scelta più opportuna, tenendo conto del fatto che, per scrivere l’equazione
risolvente, sarà necessario sfruttare le relazioni fra gli elementi del triangolo BPM e del triangolo CPQ (
rettangolo)
CORSO DI SOSTEGNO PER LE CLASSI QUARTE
ARGOMENTO
PROBLEMI DI GEOMETRIA RISOLTI PER VIA TRIGONOMETRICA ( prima parte)
GUIDA ALL’ IMPOSTAZIONE
PREREQUISITI
Nozioni fondamentali di Geometria piana con particolare riguardo alle proprietà delle corde
e delle tangenti ad una circonferenza.
Definizione e proprietà delle funzioni goniometriche fondamentali
Relazioni fra gli elementi di un triangolo rettangolo
TEST D’INGRESSO
1) In un piano cartesiano Oxy è dato un punto P appartenente al primo quadrante della
circonferenza di equazione x² + y² = 1 ( circonferenza goniometrica).
Il raggio OP individua con la direzione positiva dell’asse x un angolo 
Il punto Q è la proiezione di P sull’asse x.
Esprimi in funzione di :
La misura del segmento OQ
La misura del segmento QP
Il coefficiente angolare della retta OP
2) Con riferimento al quesito precedente, se i punti M ed N sono le intersezioni della retta tangente
in P alla circonferenza con l’asse x e l’asse y rispettivamente, esprimi in funzione di :
La misura del segmento OM
La misura del segmento ON
3) In un triangolo ABC rettangolo in C siano ,  e  le ampiezze degli angoli A, B e C
rispettivamente.
Quale delle seguenti relazioni è errata?
 [ ] AB = BC/sen 
 [ ] BC = AB sen 
 [ ] BC = AB cos 
4) In un triangolo ABC rettangolo in C, sia  l’angolo opposto al cateto BC
Se tg  = 1/3 possiamo affermare che
 [ ] AB =10
 [ ] BC /AC = 1/3
 [ ] AC/BC = 1/3
 [ ] BC/AB = 1/3
 [ ] BC/AB = 1/10
( indicare le risposte esatte)
5) La corda AP di una semicirconferenza diametro AB = 2r è uguale al lato del triangolo
equilatero inscritto nella circonferenza.
La lunghezza di AP è uguale a
[ ] r
[ ] r3
[ ]
altro
6)Assegnato il triangolo ABC, rettangolo in A , indicare con
a, b, c, le misure dell’ipotenusa , del cateto AC e del cateto AB rispettivamente
e con
, ,  le ampiezze degli angoli A, B, C rispettivamente
Completare poi la seguente tabella
a
40
40
b
C
20
40

90
90
90


60
45
7) Un punto P varia su una semicirconferenza di diametro AB =2r, assumendo il punto A come
posizione iniziale e il punto B come posizione finale
Si rappresenti con la variabile x l’ampiezza dell’angolo PAB
A quale valore tende x quando P tende a B?
[ ] 0
/2
[ ]
[ ]
A quale valore tende x quando P tende ad A?
[ ] 0
/2
[ ]
[ ]
8) Con riferimento al quesito precedente, la lunghezza del segmento AP è funzione di x,
quale dei seguenti grafici rappresenta meglio l’andamento della suddetta funzione?
9) Siano C un punto di una semicirconferenza di diametro AB e centro O e
D il punto comune alle rette tangenti in A e in C rispettivamente.
Dimostrare che
DO è bisettrice dell’angolo ADC
10) Con riferimento al quesito precedente , per posizioni generiche del punto C, le affermazioni
a)
b) AOC =  - ADC
ADC = 2 BAC
sono
[ ] tutte vere
[ ] sono vere solo a) e c)
[ ] è vera solo b)
[ ] tutte false
[ ] sono vere solo b) e c)
[ ] è vera solo c)
c) AOD = 2 ADC
[ ] sono vere solo a) e b)
[ ] è vera solo a)
COGNOME
NOME
CLASSE
COGNOME
NOME
CLASSE
3) E’ data una circonferenza di raggio r.
La misura del lato del triangolo equilatero inscritto è
[ ]
r
[ ]  r3
[ ]
r2
[ ]
 altro
La misura del lato del quadrato inscritto è
 [ ] r
[ ]  r3
[ ]
r2
[ ]  altro
La misura del lato dell’esagono regolare inscritto è
[ ]
r
[ ]  r3
[ ]
r2
[ ]  altro