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PROGRAMMA DI MATEMATICA ANNO SC. 2006/2007
Anno scolastico 2006/2007
Professoressa Patrizia Civera
Classe 5^ H indirizzo P.N.I.
RIPASSO:
Algebra: divisione tra polinomi, disequazioni irrazionali, con valori assoluti,
Geometria analitica: le coniche, i luoghi geometrici in forma cartesiana e parametrica, bisettrice e asse di un
segmento come luoghi geometrici, trasformazioni del piano;
Trigonometria : teoremi sui triangoli rettangoli e qualsiasi, teorema della corda, formule di prostaferesi e Werner,
disequazioni goniometriche.
Sistemi lineari e relativa discussione.
Concetto di funzione, classificazione e determinazione del campo di esistenza delle funzioni, funzioni inverse delle
funzioni circolari.
ANALISI INFINITESIMALE
Introduzione all’analisi infinitesimale
Insiemi numerici: intervalli, intorni, insiemi numerici limitati e illimitati, estremo superiore, inferiore, massimo,
minimo, punto di accumulazione. Funzioni limitate.
Limiti delle funzioni
Definizioni di limite (interpretazione grafica), verifica del limite in base alla definizione.
Teoremi sui limiti: teor. di unicità del limite e del confronto con dimostrazione, teor. della permanenza del segno.
Operazioni sui limiti: limite della somma (con dimostrazione), del prodotto, del quoziente, della potenza, della
radice. Forme indeterminate.
Limiti notevoli: limx (a0xn+.......+an) =aoxn, limxo(sinx/ x) =1, lim x( 1+ 1/x)x =e. e relative applicazioni
Teorema sulle funzioni infinitesime.
Successioni numeriche
Ripasso: definizione, proprietà caratteristiche, successioni definite in modo analitico e ricorsivo; successioni
particolari (progressioni geometriche, aritmetiche), definizione di limite di una successione.
Funzioni continue
Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo. Esempi di funzioni continue. Teorema del logaritmo,
limiti delle funzioni trascendenti semplici e composte. Discontinuità delle funzioni e classificazione dei punti di
discontinuità. Teoremi relativi a funzioni continue in intervalli chiusi: teor. di Weierstrass, teor. di esistenza degli
zeri.
Derivata di una funzione
Rapporto incrementale, definizione di derivata in un punto, significato geometrico e fisico.
Legame tra la derivabilità e continuità.
Derivate fondamentali: derivata di una costante, di sinx, cosx, logax con dimostrazione.
Teoremi sul calcolo delle derivate: derivata di una somma, di un prodotto, del quoziente con dimostrazione.
Altre regole di derivazione. Derivata delle funzioni composte. Derivate di ordine superiore. Derivata delle funzione
inversa.
Concetto di differenziale e suo significato geometrico.
Studio di funzione
Determinazione del campo di esistenza, del segno, degli asintoti (orizzontali, verticali, obliqui), determinazione
degli intervalli di crescenza e decrescenza (relazione tra segno della derivata prima e la crescenza o decrescenza
con dim.), massimi e minimi relativi e assoluti, concavità, flessi (a tangente orizzontale, verticale, obliqua); punti
angolosi, cuspidi. Teorema del minimo.(con dim.).
Ricerca dei massimi dei minimi con lo studio del segno della derivata prima e con il metodo delle derivate
successive.
Simmetrie: rispetto all'origine, agli assi, ad un punto e ad una retta qualsiasi, funzioni pari e dispari.
Problemi di massimo e di minimo.
Teoremi sulle funzioni derivabili
Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange con dimostrazione. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teoremi di De
L'Hôpital.
Integrali indefiniti
Primitiva di una funzione. Definizione di integrale indefinito e sue proprietà.
Integrazioni immediate, per parti, per sostituzione (anche goniometriche), integrali di funzioni razionali fratte
(metodo dei coefficienti indeterminati ).
Integrali definiti
Calcolo delle aree, definizione di funzione integrale, teorema di Torricelli-Barrow (con dimostrazione) e sue
importanti proprietà, teorema della media.
Area dell' ellisse, del segmento parabolico, teorema di Archimede.
Applicazione degli integrali al calcolo dei volumi (Volume del cono, della sfera, del tronco di cono, dell' ellissoide,
del toro). Teorema di Guldino.
Integrali impropri.
Applicazioni del calcolo integrale alla fisica.
Cenni sulle equazioni differenziali a variabili separabili (per calcolare il transitorio dei circuiti RL, e RC ).
ELEMENTI DI ANALISI NUMERICA
Separazione grafica delle soluzioni di un’equazione e relative soluzioni approssimate con il metodo di bisezione,
Newton e corde.
Calcolo approssimato di aree con il metodo dei trapezi.
ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA
Concetto di media in generale, media aritmetica e aritmetica ponderata, media geometrica. Moda, mediana, scarto
dalla media, varianza e scarto quadratico medio.
CALCOLO COMBINATORIO ED ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Disposizioni, combinazioni, permutazioni semplici e con ripetizione.
Sviluppo della potenza del binomio.
Definizioni di probabilità: classica, soggettivista, frequentista; teoria assiomatica. Eventi compatibili, incompatibili,
indipendenti.
Teoremi sulla probabilità: probabilità contraria, teorema della probabilità composta, probabilità totale, probabiltà
condizionate, teorema di Bayes.
Variabili Casuali
Variabili casuali discrete e continue, operazioni su variabili casuali.
Funzione di distribuzione e di ripartizione, valor medio, variabile scarto, varianza, scarto quadratico medio, moda e
mediana.
Variabili casuali continue: funzione di ripartizione, funzione di densità, valor medio, varianza, scarto quadratico
medio, moda e mediana.
Distrubuzioni tipiche di probabilità
Il problema delle prove ripetute, variabile casuale con distribuzione binomiale: valor medio, varianza, scarto
quadratico medio; lo schema testa- croce.
La variabile casuale con distribuzione di Poisson; relazione tra la binomiale e la poissoniana.
Variabile casuale con distribuzione gaussiana, gaussiana standardizzata.
ELEMENTI DI GEOMETRIA SOLIDA
Rette e piani nello spazio: posizioni reciproche.
Retta e piano perpendicolari.
Ripasso: teorema di Talete. Principio di Cavalieri. Solidi notevoli: misura di superfici e di volume.
Temi ministeriali.
Testi Utilizzati: Dodero Baroncini
Dodero Barboncini, Manfredi
Gli allievi
Torino, 5 giugno ’07
Nuovi elementi di matematica vol A, B e C
Calcolo delle probabilità e statistica inferenziale
Il Docente