Esercizi di Inferenza Statistica a.a. 2015/2016 BLOCCO I 1. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione Binomiale negativa di parametri r e p. Data la funzione generatrice dei momenti r pet MX (t) = 1 − (1 − p)et calcolare media e varianza di X. 2. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione Gamma X ∼ G(α, λ). Nota la funzione generatrice dei momenti α λ MX (t) = , t<λ λ−t calcolare media e varianza di X. 3. La variabile aleatoria X è distribuita come una Normale standard. Si fornisca la probabilità che |X| > 1.3. 4. Il numero di meteoriti che colpisce un satellite durante ogni sua orbita si distribuisce come una variabile aleatoria di Poisson di parametro λ. Nel compiere la sua orbita il satellite impiega 1 giorno, ed è mediamente colpito da 3 meteoriti. a. Si calcoli la probabilità che nel percorrere 5 orbite il numero di meteoriti che colpiscono il satellite sia minore o uguale a 3. b. Supponendo invece λ = 0.5, si fornisca il valore atteso e la varianza della variabile aleatoria Y che misura il tempo (in giorni) che intercorre fra l’impatto di un meteorite e quello successivo. c. Con riferimento al punto b., si calcoli la probabilità che il tempo che intercorre fra due impatti successivi superi un tempo t0 = 21 ore. 5. Un produttore di piccole componenti spedisce la merce ai suoi clienti in lotti da 20 componenti. Si assuma che ciascuna di tali componenti possa presentare un difetto o meno e che la probabilità che una singola componente sia difettosa è pari a 0.05. a. Qual è il numero atteso di pezzi difettosi per lotto? b. Qual è la probabilità che un lotto non contenga pezzi difettosi? c. Si supponga di ricevere 10 lotti dal produttore. Si calcoli il numero atteso di lotti che non contengono difetti. d. Qual è la probabilità che non vi sia alcun pezzo difettoso nei 10 lotti che avete ricevuto? 6. Il proprietario di un negozio di abbigliamento considera l’incasso giornaliero del negozio una variabile aleatoria X con valore atteso E(X) = 500 euro e varianza V (X) = 625 euro2 . a. Determinare un limite inferiore per la probabilità che l’incasso giornaliero sia compreso tra 400 e 600 euro. b. Supponendo che l’incasso giornaliero X abbia una distribuzione normale, calcolare la probabilità che l’incasso giornaliero sia compreso tra 400 e 600 euro. 7. Un giocatore di basket tira ripetutamente a canestro dalla linea dei tiri liberi. Si assuma che i suoi tentativi siano prove Bernoulliane indipendenti con probabilità di effettuare un canestro pari a p = 0.7. a. Qual è la probabbilità che il giocatore impieghi meno di 5 tiri per fare il primo canestro? b. Qual è la probabbilità che il giocatore impieghi meno di 5 tiri per fare il secondo canestro? Esercizi N. 2.18 - 2.19 - 2.21 - 2.22 da G. Cicchitelli, Probabilità e Statistica (II ed.) Esercizi N. 2.6.9 - 2.6.10 - 2.6.23 - 2.6.25 da Pauli, Torelli, Trevisani, Statistica: esempi e esercizi.