Esercizi di Inferenza Statistica

Esercizi di Inferenza Statistica
a.a. 2015/2016
BLOCCO I
1. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione Binomiale negativa di parametri r e p. Data la
funzione generatrice dei momenti
r
pet
MX (t) =
1 − (1 − p)et
calcolare media e varianza di X.
2. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione Gamma X ∼ G(α, λ). Nota la funzione generatrice
dei momenti
α
λ
MX (t) =
, t<λ
λ−t
calcolare media e varianza di X.
3. La variabile aleatoria X è distribuita come una Normale standard. Si fornisca la probabilità che
|X| > 1.3.
4. Il numero di meteoriti che colpisce un satellite durante ogni sua orbita si distribuisce come una
variabile aleatoria di Poisson di parametro λ. Nel compiere la sua orbita il satellite impiega 1
giorno, ed è mediamente colpito da 3 meteoriti.
a. Si calcoli la probabilità che nel percorrere 5 orbite il numero di meteoriti che colpiscono il satellite
sia minore o uguale a 3.
b. Supponendo invece λ = 0.5, si fornisca il valore atteso e la varianza della variabile aleatoria Y
che misura il tempo (in giorni) che intercorre fra l’impatto di un meteorite e quello successivo.
c. Con riferimento al punto b., si calcoli la probabilità che il tempo che intercorre fra due impatti
successivi superi un tempo t0 = 21 ore.
5. Un produttore di piccole componenti spedisce la merce ai suoi clienti in lotti da 20 componenti. Si
assuma che ciascuna di tali componenti possa presentare un difetto o meno e che la probabilità che
una singola componente sia difettosa è pari a 0.05.
a. Qual è il numero atteso di pezzi difettosi per lotto?
b. Qual è la probabilità che un lotto non contenga pezzi difettosi?
c. Si supponga di ricevere 10 lotti dal produttore. Si calcoli il numero atteso di lotti che non
contengono difetti.
d. Qual è la probabilità che non vi sia alcun pezzo difettoso nei 10 lotti che avete ricevuto?
6. Il proprietario di un negozio di abbigliamento considera l’incasso giornaliero del negozio una variabile
aleatoria X con valore atteso E(X) = 500 euro e varianza V (X) = 625 euro2 .
a. Determinare un limite inferiore per la probabilità che l’incasso giornaliero sia compreso tra 400
e 600 euro.
b. Supponendo che l’incasso giornaliero X abbia una distribuzione normale, calcolare la probabilità
che l’incasso giornaliero sia compreso tra 400 e 600 euro.
7. Un giocatore di basket tira ripetutamente a canestro dalla linea dei tiri liberi. Si assuma che i
suoi tentativi siano prove Bernoulliane indipendenti con probabilità di effettuare un canestro pari a
p = 0.7.
a. Qual è la probabbilità che il giocatore impieghi meno di 5 tiri per fare il primo canestro?
b. Qual è la probabbilità che il giocatore impieghi meno di 5 tiri per fare il secondo canestro?
Esercizi N. 2.18 - 2.19 - 2.21 - 2.22 da G. Cicchitelli, Probabilità e Statistica (II ed.)
Esercizi N. 2.6.9 - 2.6.10 - 2.6.23 - 2.6.25 da Pauli, Torelli, Trevisani, Statistica: esempi e esercizi.