Esercizio 1 - statistica@unimib

Esercizio 1
Dati A e B due eventi tali che P A | B  0.6 e PB  0.4 . Determinare P A  B in modo
tale che A sia indipendente da B .
Soluzione
A è indipendente da B se PA | B   P( A) .
Inoltre PA | B  
P( A  B )
e, dal momento che A è unione di due eventi disgiunti:
P( B )
A  ( A  B)  ( A  B )
si ha
P( A)  P( A  B)  P( A  B ) da cui P( A  B )  P( A)  P( A  B) .
Sostituendo si ottiene
P( A  B ) P( A)  P( A  B)
 P( A)
=
PA | B  
1  P( B)
P( B )
P( A  B)
D’altra parte P A | B  
da cui P( A  B)  P A | BP( B)
P( B)
Sostituendo nella (1), si ottiene
P( A)  P( A | B) P( B)
 P( A) da cui si ricava P(A):
1  P( B)
P( A)1  1  P( B)  P( A | B) P( B) da cui P( A)  P( A | B)  0.6
Si ricava infine P( A  B)  P A | BP( B) =(0.6)(0.4)=0.24
(1)
Esercizio 2
La probabilità che due studenti A e B superino un esame sono rispettivamente 0.9 e 0.7.
Trovare la probabilità che
(a) superino entrambi l’esame
(b) nessuno dei due superi l’esame
(c) almeno uno dei due superi l’esame
Soluzione
Siano A e B gli eventi
A=” lo studente A supera l’esame”
B=” lo studente B supera l’esame”
P(A)=0.9
P( B )=0.7
(a) Dal momento che i due eventi A e B sono indipendenti P A  B  P( A) P( B) =(0.9)(0.7)=0.63
(b) PA  B   P( A  B)  1  P( A  B)  1  P( A)  P( B)  P( A  B)  1 - 0. 9 - 0.7 + 0.63=0.03
( c) P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)  0.97
Esercizio 3
4 urne contengono ognuna 3 palline bianche e 5 nere. Un giocatore estrae una pallina da
ciascuna urna.
(a) Descrivere lo spazio degli eventi elementari
(b) Determinare la probabilità di estrarre tutte palline bianche
(c) Determinare la probabilità di estrarre almeno due palline bianche
Soluzione
(a) Un opportuno spazio di probabilità è dato da
  ;   1 , ,  4 , i  1 oppure i  0 , dove
1 sta ad indicare l’evento B i =“estrazione di una pallina bianca” dall’urna i.-esima e
0 sta ad indicare l’evento B i =“estrazione di una pallina rossa” dall’urna i.-esima
P( B i )=3/8 per i=1,…,4 e e gli eventi B i indipendenti
(b) Devo calcolare la probabilità di un particolare evento elementare ossia di una particolare sequenza
4
 3
P (1,1,1,1 = PB1  B2  B3  B4   P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) P( B4 )     0.0198
8
(c) Calcolo la probabilità di estrarre una sola pallina bianca.
a probabilità di una particolare sequenza che contiene 1 successo (successo=estrazione di una pallina
bianca) e 3 insuccessi (insuccesso=estrazione di una pallina rossa) è data da
3
 3  5
PB1  B2  B3  B4   P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) P( B4 )       0.0916 .
8 8
Devo moltiplicare tale probabilità per il numero di tutte le possibili sequenze che contengono un
successo e tre insuccessi, cioè di tutti gli eventi elementari che contengono un 1 e tre 0. Tale numero
4!
 4.
coincide con la cardinalità dell’insieme delle combinazioni C14 
1!3!
La probabilità di estrarre una sola pallina bianca è data da (4)(0.0916)=0.3664
Calcolo la probabilità di non estrarre alcuna palline bianca, ossia di estrarre tutte palline rosse:
4
5
P (0,0,0,0= PB1  B2  B3  B4   P( B1 ) P( B2 ) P( B3 ) P( B4 )     0.153.
8
Quindi la probabilità richiesta (di estrarre almeno due palline bianche) si può calcolare come 1- la
probabilità dell’evento complementare:
1-0.0916-0.153=0.7554
Esercizio 4
Siano A e B due eventi tali che P(A)=0.7 e P(B)=0.5. Determinare
(a) il valore massimo per P A  B
(b) il valore minimo per P A  B
Soluzione
(a) Dal momento che A  B  A e A  B  B , si ha
P A  B  P A e P A  B  PB , da cui P A  B  min P A, PB  0.5
(b) Inoltre P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)  1 , da cui
P( A)  P( B)  1  P( A  B) , cioè P( A  B)  0.7  0.5  1  0.2
Esercizio 5
Nel lancio di un dado non truccato si vince se esce il numero 3. Il giocatore A inizia il gioco e
se non vince passa il dado al giocatore B, il quale tenta di vincere lanciando il dado. Essi
continuano così finchè uno di loro vince.
(a) Descrivere lo spazio degli eventi elementari
(b) Determinare la probabilità che B vinca al suo secondo tentativo
(c) Determinare la probabilità che vinca A
(d) Determinare la probabilità che vinca B
Soluzione
(a) S l’evento “esce il numero 2  PS   1/ 6
Sia S l’evento “esce un numero diverso da 2”  PS   5 / 6
Lo spazio  degli eventi elementari è costituito dagli elementi
1  S (vince A)
 2  S  S (vince B)
 3  S  S  S (vince A)

 n  S


S  S (vince A se n è dispari e B se n è pari)
S

n 1
volte
n 1
 
5 1
Si ha P  n   
6 6
(b) La probabilità dell’evento E=”il giocatore B vince al suo secondo tentativo” è data da
3
5 1
PE   PS  S  S  S   P 4    
 0.096
6 6
(c) Sia Ai l’evento “il giocatore A vince al suo i-esimo tentativo”. La probabilità dell’evento E=”vince
il giocatore A” è data da

5
PE   P A1  A2    An     P( Ai )   P n     
i 1
n dispari
n dispari  6 
5
  
k  0 6 

2k
1 1  5
  
6 6 k 0 6 
2k
2
1    5  
   
6 k 0  6  
n 1
1

6
k
indicando con 2k  1 il generico n dispari.
k
 5 2 
Dal momento      è una serie geometrica di ragione
k 0  6  



2
5
  <1, risulta
6
k
 5 2 
1
36
, da cui

     
2
k 0  6 
11
5




1  
6
 1  36  6
PE      
 6  11  11

(e) La probabilità richiesta è PE   1  PE   1 
6
5

11 11
Esercizio 6
Un gruppo di amici organizza una gita in bicicletta. Il 30% dei partecipanti è fuori
allenamento. Si ipotizza che coloro che non sono allenati abbiano una probabilità del 60% di
raggiungere la meta e che quelli allenati abbiano una probabilità pari al 95% .
(a) Determinare la probabilità che un ciclista scelto a caso nel gruppo raggiunga la meta
(b) Sapendo che un ciclista ha raggiunto la meta, determinare la probabilità che
appartenga al gruppo dei ciclisti allenati.
Soluzione
Sia A l’evento ”ciclista allenato”. Allora l’evento “ciclista fuori allenamento” è dato da A e si ha
PA   0.3 .
Inoltre sia M l’evento “raggiungere la meta”. Risulta
PM | A  0.95
PM | A   0.6
a)
Applico il teorema delle probabilità totali
PM   PM | AP A  PM | A PA   0.950.7  0.60.3  0.845
b)
Si tratta di calcolare P A | M  . Utilizzo il teorema di Bayes
P A | M  
PM | AP A 0.950.7 
=0.787

P( M )
0.845
Esercizio 7
Tre urne contengono tutte 5 palline nere e un numero variabile di palline bianche. Più
precisamente l’urna i-esima contiene 5 palline nere e i palline bianche. Un’urna viene scelta a
caso e da essa vengono estratte due palline senza reimmissione
(a) Determinare la probabilità di estrarre una pallina bianca e una nera
(b) Sapendo che sono state estratte una pallina bianca e una nera, determinare qual è l’urna
da cui più probabilmente le palline sono state estratte.
Soluzione
Sia U i l’evento ” viene estratta l’urna i-esima”. PU i   1 / 3 per i=1,2,3
Sia N j l’evento “la j-esima pallina estratta è nera”. Sia B j l’evento la “la j-esima pallina estratta è
bianca”, per j=1,2
a)
Sia E l’evento “estrarre una pallina bianca e una nera” . Si ha
E  B1  N 2   N1  B2 
P(E)=  P( E | U i )P(U i ) =  PB1  N 2 | U i   PN1  B2 | U i P(U i ) 
3
3
i 1
i 1
3  i
5
5
i 1 1 3
10i
1  10
20
30 
=

 
 


 0.448

i 1  5  i 5  i  1
5  i 5  i  1 3 3 i 1 5  i 4  i  3  65 7 6 87 
b)
Applico il teorema di Bayes
P( E | U i ) P(U i )
 P( E | U i ) 
= max 
 = max P( E | U i )=
i
i
i
i
P( E )
 3(0.448) 
10 20 30  30
= max P( E | U i )  max  , ,  
i
 30 42 56  56
L’urna più probabile è la terza.
Si tratta di calcolare max PU i | E   max
Esercizio 8
La probabilità che in un qualsiasi giorno lavorativo l’università XX riceva posta indirizzata al
Prof. A è 1/3. Il Prof. A, che arriva sempre prima di ogni suo collega, inizia la giornata
raccogliendo la sua posta. La probabilità che in un qualsiasi giorno lavorativo il Prof. A sia in
università è pari al 40%. Sapendo che oggi non c’è posta nella sua casella, qual è la probabilità
che sia in università?
Soluzione
Sia M l’evento “c’è posta nella casella del Prof. A”
Sia A l’evento “il Prof. A è in università”  P A  0.4  PA   0.6
Si ha PM | A  0 ( perché il Prof. A quando arriva in università raccoglie sempre la sua posta) da cui
PM | A  1 . Inoltre PM | A   1 / 3 (perché la probabilità che nella casella ci sia posta quando il
Prof. A non è in università è pari alla probabilità che l’università riceva posta indirizzata al Prof. A) da
cui PM | A   2 / 3
Si tratta di calcolare PA | M 
Applico il teorema di Bayes:
PM | AP A
PA | M  
P( M )
2
D’altra parte P(M ) = PM | AP( A)  PM | A P( A )  10.4   0.6  0.8
3
PM | AP A 0.4

 0.5
Quindi PA | M  
P( M )
0.8
Esercizio 9
Un’urna contiene 10 sfere, di cui 3 contengono un biglietto premio e 6 sono vuote. Scegliendo
a caso 2 sfere, determinare la probabilità
(a) che contengano entrambe un biglietto premio
(b) che solo una contenga un biglietto premio
Soluzione
SOLUZIONE 1
Lo spazio di probabilità   1 ,  2  tali che 1   2 e i  1,,10  C 210 . Si tratta dell’insieme di
tutti i sottoinsiemi di 2 elementi che si possono formare da un insieme di 10, cioè delle combinazioni di
10 elementi due a due. Quindi
10  10! 10  9
card     

 45
2
 2  2!8!
(a) Sia A l’evento “entrambe le sfere contengono un biglietto premio”. A consiste di tutti gli eventi
elementari 1 ,2  in cui 1 ,2 1  2  appartengono all’insieme delle tre sfere che contengono il
biglietto premio
3 
Il numero di casi favorevoli è dato da card ( A)     3 = numero di modi di scegliere 2 sfere dalla tre
 2
contenenti il biglietto premio
card ( A) 3
1
Quindi P A 


card () 45 15
Sia B l’evento “solo una sfera contiene un biglietto premio”. B consiste di tutti gli eventi elementari
1 ,2  in cui 1 ,2 1  2  sono tali che uno appartiene all’insieme delle tre sfere che contengono
il biglietto premio e l’altro appartiene all’insieme delle sette sfere che non contengono il biglietto premio
e l’altro.
 3  7 
Il numero di casi favorevoli è dato da card ( B)      21 = (numero di modi di scegliere 1 sfera
1 1 
dalla tre contenenti il biglietto premio) x (numero di modi di scegliere 1 sfera dalla sette che non
contengono il biglietto premio)
card ( A) 21
Quindi P A 

card () 45
SOLUZIONE 2
Utilizzo la probabilità condizionata
Indico con Bi l’evento “l’i-esima sfera estratta contiene un biglietto premio”.
(a) Si tratta di calcolare
2 3
6
1
PB1  B2   PB2 | B1 PB1  


9 10 90 15
(b) Si tratta di calcolare
7 3 3 7 42 21
PB1  B2   PB1  B2   PB2 | B1 PB1   PB2 | B1 PB1  



9 10 9 10 90 45
Esercizio 10
Sono date 2 urne A e B e 4 palline numerate da 1 a 4 da disporre nelle due urne. Supponiamo
equiprobabile ogni possibile configurazione in cui le palline possono essere disposte nelle
urne.
(a) Determinare lo spazio degli eventi elementari e la sua cardinalità
(b) Determinare la probabilità che nell’urna A vi siano esattamente 2 palline
(c) Determinare la probabilità che la somma delle palline nell’urna A sia 7
Soluzione
(a) Lo spazio degli eventi elementari opportuno è dato da
  { (1 , 2 , 3 , 4 ) tale che ω i può appartenere all' urna A oppure all' urna B escluso i due casi in cui
tutte le palline appartengano all’urna A o tutte le palline appartengano all’urna B}
Si ha card ()  2 4  2  14
(b)
E  { (1 , 2 , 3 , 4 ) tale che 2 elementi appartengono all' urna A e 2 appartengono all' urna B }=
{(A,A,B,B),(A,B,A,B),(A,B,B,A),(B,B,A,A),(B,A,B,A),(B,A,A,B)}
card ( E )  6
n casi favorevoli 6

 =0.429
P(E)=
n casi possibili 14
( c)
Sia E l’evento “la somma delle palline nell’urna A vale 7” . E è unione degli eventi
E1 =”l’urna A contiene le palline 3 e 4”={(1,2,3,4)=(B,B,A,A)}
E2 =”l’urna A contiene le palline 1,2,4”={(1,2,3,4)=(A,A,B,A)}
2 1
Quindi P(E)=P( E1 )+P( E2 )= 
14 7
Esercizio 11
Un’urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10. Se ne estraggono 5, senza reimmissione. Qual
è probabilità che la somma nei numeri estratti sia pari?
Soluzione
Sia    1 , 2 , 3 , 4 , 5 tale che gli i  1,,10e sono tutti distinti
10 
card ()  card (C510 )   
5 
Elenchiamo il numero di casi favorevoli.
a) Tutti i numeri estratti sono pari. L’unica possibilità è quella di aver estratto 2,4,6,8,10
5 5 
b) Vengono estratti 3 numeri pari e 2 numeri dispari. I modi possibili sono    
3  2
5 5 
c) Vengono estratti 4 numeri dispari e 1 numero pari. I modi possibili sono    
1   4 
 5  5   5  5 
1        
n casi favorevoli
 3  2   1  4   126  0.5
La probabilità cercata è data da

n casi possibili
252
 10 
 
5 
Esercizio 12
Ad una gara prendono parte 10 concorrenti, numerati da 1 a 10.
(a) Calcolare la probabilità che l’ordine di arrivo dei primi 5 sia (1,2,5,7,8)
(b) Calcolare la probabilità che l’ordine di arrivo dei primi 3 sia tale che il secondo e il terzo
concorrente siano il numero 5 e il numero 10 rispettivamente.
Soluzione
(a) Devo determinare in quanti modi si possono classificare i primi 5. Il numero cercato non è altro
che il numero di sottoinsiemi ordinati formati da 5 elementi a partire dall’insieme dei 10 concorrenti
Sia    1 , 2 , 3 , 4 , 5  tale che gli i  1,,10e sono tutti distinti
10!
 10  9  8  7  6  30240
Si tratta di card ()  card ( D510 ) 
5!
n casi favorevoli
1
5!


 3.307  10 5
La probabilità di una particolare sequenza è data da
10!
n casi possibili
10!
5!
(b) Devo determinare in quanti modi si possono classificare i primi 3. Il numero cercato non è altro
che il numero di sottoinsiemi ordinati formati da 3 elementi a partire dall’insieme dei 10 concorrenti
Sia    1 , 2 , 3  tale che gli i  1,,10e sono tutti distinti
10!
 10  9  8  720
Si tratta di card ()  card ( D310 ) 
7!
Il numero di casi favorevoli è il numero delle terne ordinate (1 ,5,10) con secondo e terzo elemento
fissati e con 1 che può variare in un insieme di 8 numeri.
n casi favorevoli
8

 0.011
La probabilità di una particolare sequenza è data da
n casi possibili
720