Progetto orientamat
Probabilità
febbraio 2017 – Esercitazione
Gli esercizi in grassetto sono tratti dal capitolo 3 del libro di G. Espa, R. Micciolo. Problemi ed
Esperimenti di Statistica con R. Apogeo, Milano, 2008.
Esercizio 3.4 La classica urna contiene una pallina verde (V) e una pallina blu (B). Una seconda urna
è composta ancora da due palline delle quali una verde e la restante rossa (R). Si procede a estrarre
a caso una pallina da ciascuna urna.
Si calcoli la probabilità che entrambe le palline siano dello stesso colore.
Esercizio 3.8 La ormai classica urna contiene tre palline rosse (R), due bianche (B) e una blu (BL).
Una seconda urna contiene una pallina rossa, due bianche e tre blu. Si procede a estrarre a caso una
pallina da ciascuna urna.
Calcolare la probabilità che entrambe le palle siano dello stesso colore.
Esercizio 3.25 Un’urna contiene 7 palline numerate da 1 a 7. Si estrae una prima pallina, si registra
il numero che riporta e successivamente si estrae, senza re-immissione e registrando il risultato della
prova, una seconda pallina.
Si calcolino le probabilità dei seguenti eventi:
1. le due palline sono entrambe pari;
2. le due palline sono entrambe dispari;
3. la seconda pallina è pari.
Esercizio 3.30 Tra 100 dadi di cui 50 regolari e 50 truccati (in modo tale che P(6)=1/2 e P(i)=1/10
(quando i è diverso da 6) si sceglie a caso un dado e si effettuano 2 lanci nei quali il 6 appare
entrambe le volte.
Calcolare la probabilità che il dato estratto sia truccato.
Esercizio 3.33 La probabilità che un individuo contragga una data malattia è pari a 0.03. È disponibile
un test medico per verificare l’effettiva presenza di detta malattia. Se l’individuo è malato, la
probabilità che il test fornisca un risultato positivo (cioè l’individuo è effettivamente malato) è pari
a 0.90. Se la malattia non è presente, la probabilità che il test fornisca un risultato positivo è di 0.02.
Si supponga che il test abbia fornito un risultato positivo.
Quanto vale la probabilità che l’individuo sia effettivamente malato?
Esercizio aggiuntivo Un sacco contiene 100 monete di cui una ha due teste (le altre 99 hanno una
testa e una croce, equiprobabili).
1. Si estrae a caso una moneta e la si lancia 2 volte ottenendo sempre testa.
Quale è la probabilità che la moneta estratta fosse quella con due teste?
2. Si estrae a caso una moneta e la si lancia 5 volte ottenendo sempre testa.
Quale è la probabilità che la moneta estratta fosse quella con due teste?
3. (Facoltativo e da risolvere “per tentativi” – vedi più sotto) Quante volte dovremmo lanciare
la moneta (ottenendo sempre testa) affinché la probabilità calcolata ai punti 1 e 2 sia pari a
0.9999 o superiore?
> p <- function(n) 0.01/(0.01+0.99*(1/2)^n)
> p(c(1:20))
[1]
[6]
[11]
[16]
0.01980198
0.39263804
0.95388915
0.99849166
0.03883495
0.56387665
0.97640048
0.99924526
0.07476636
0.72112676
0.98805934
0.99962249
0.13913043
0.83797054
0.99399381
0.99981121
0.24427481
0.91184328
0.99698786
0.99990560
