30.09.02

Prova scritta dell’esame di Teoria dei Segnali
30/09/02
Esercizio n°1
Un processo Z (t ) gaussiano e stazionario con funzione di autocorrelazione Rz ( )   ( ) viene
sin( f )
filtrato con un filtro avente risposta in frequenza H ( f ) 
ottenendo il processo X (t ) .
f
Calcolare le funzioni densità di probabilità del secondo ordine del processo X (t ) ,
1
f x ( x1, x2 ; t1 , t2 ) con t2  t1  .
2
Commentare la stazionarietà del processo X (t ) .
Esercizio n°2
Discutere linearità ed invarianza temporale del sistema specificato dalla seguente relazione tra
ingresso ed uscita: y(t )  x(t ) cos(2f 0t )
sin( f 0t )
Assumendo poi, x(t ) 
e che y(t) venga campionato per una conversione A/D, indicare
t
qual è la minima frequenza di campionamento che consenta un’esatta ricostruzione del segnale a
partire dai suoi campioni.
Esercizio n°3
Sia  una variabile casuale mista con densità di probabilità f (x) costante nell’intervallo [0, 1] e
1
1
di assumere il valore
. Sia data la trasformazione non lineare
3
2
y  g ( x)   log( 1  x) .
Si calcoli la funzione di densità di probabilità della variabile casuale   g ( ) .
con probabilità
Esercizio 1
Essendo Z(t) gaussiano e il sistema LTI  il processo in uscita è ancora gaussiano .
La f.d.t. del II ordine di 2 v.a. congiuntamente gaussiane è:
f x, y  
1
2   1   2
e

1
2 1 
2

 x  

 2 

2
2
x    y     y   2 

 
2  2


Nel nostro caso ξ e η sono le variabile estratte dal processo negli istanti t1 e t2.
  X t1 
  X t2 
dobbiamo calcolare
 X t1  ,
 X t 2  ,
 X t1  ,
 X t 2  ,
 X t1 ,t 2 
Essendo il processo in ingresso al sistema LTI stazionario anche il processo in uscita è stazionario
1
  X e  X risulteranno costante con t e  t1 , t2    t2  t1     
2
Calcoliamo  X  Z  H 0  Z  1  0 poichè Z
2
 lim RZ    0
 
 X  RXX 0
RXX    RZZ    h   h  
h   F-1H  f   rect1 t 
RXX    RZZ    h   h  
poichè h   h   

    rect    rect  
per la proprietàdella 
rispettoalla convoluzione

rect    rect   

  rect    rect    d  1   rect 2  

Rxx()

1

2
1
2
1
=
1
1
2
1

2
1
Oppure
SZZ    F-1RZZ    1


RXX    F-1S XX  f   F-1H  f SZZ  f   F-1 senc f   1
2
1   rect  
dalletabelle

2

 X t   R XX 0  1
 t 2  t1  
C XX t 2  t1 
 C XX t 2  t1 
 x t1  x t 2 
1 1
1
2
C XX t 2  t1   R XX t 2  t1    X  R XX    1  
2 2
2
1
1  3 x12  x1x2  x22 

f X  x1 , x 2 ; t1 , t1   
e
2  3

2
Esercizio 2
Si consideri il sistema :
x(t)
yt   xt cos 2f ot
y(t)
cos(2f0t)
Il sistema è lineare se ad un ingresso xt   x1 t   x2 t  l’uscita risulta yt   y1 t   y2 t 
y1 t   x1 t cos 2f 0t
dove
y2 t   x2 t cos 2f 0t
Verifica
y t   x1 t   x2 t cos 2f 0t  x1 t cos 2f 0t  x2 t cos 2f 0t  y1 t   y2 t 
il sistema (un modulatore in ampiezza) è lineare
Il sistema è tempo invariante se ad una traslazione del segnale in ingresso x(t-t 0 ) si ottiene in uscita
il segnale traslato y(t-t 0 )
Verifica
yt   xt cos 2f ot
consideriamo
yt   xt  t 0 cos(2f o t )  yt  t 0 
x(t-t 0 )
cos(2f0t)
Il sistema è tempo variante
Assumendo xt  
Xf 
sin f 0t
 f 0 senctf0 
t
f0
rect f 0  f 
f0
Y  f   X  f   F cos 2f 0t 
1
1
X  f  f0   X  f  f0 
2
2
X(f)
f
 0
2
-f 0
Y(f)
f
f0
2
Xf  f 0 
f
f0
B
Y(t) è un segnale passa banda e la minima frequenza di campionamento è
3
2 fM
dove f M f 0 è la frequenza massima del segnale passa banda
2
 fM 
 B 
B è la larghezza di banda = f0
Fc 
3 
f
fM
 fM   2 0 
 B    f   1.5  1 il piu’ grande intero non superiore a B
 0 


F c  3 f0
è la minima frequenza teorica di campionamento che garantisce una perfetta
ricostruzione del segnale in una conversione A/D ideale.
Esercizio 3
 è una variabile aleatoria mista avente la funzione densità di probabilità:
f  x 
2
1 1 
1

f x   rect  x      x  
3
2 3 
2

2
3
1
2
1
x
x
g(x)
g(x) è la funzione monotona continua di figura
1
x
Innanzitutto valutiamo i valori assunti dalla v.a. =g().
Poiché   0,1, dal grafico risulta evidente che   0, .
Inoltre, si osservi che

1
1

P     P  log 2   0
2
3

in y=log 2.
g 
1
2
  log 2
ne segue che la f  y  presenta un impulso di area 1/3 centrato
Valutiamo la f  y  per gli altri valori y. Poiché g(x) è una funzione monotona continua, si può
applicare la relazione

dyd g
f  y   f g 1  y 
1
 y 
(1)
Nota: la relazione precedente è valida solo quando si considera la funzione densità di prob. continua per la v.a.
f C  x  
2
1

rect  x  
3
2

:
g 1  y   ?
y  g  x    log 1  x 
e y  1  x 
1
ey 
1
 1  x  e  y  x  1  e  y  g 1  y 
1 x
 g 1  y   1  e  y

dg 1  y 
 e  y  1  e  y
dy
Sostituendo nella relazione (1):


f c  y   f  c 1  e  y  e  y 
2
1

rect 1  e  y  e  y
3
2

In definitiva, considerando anche l’azione dell’impulso, si ottiene:
1
f  y   f c  y     y  log 2
3
f  y  
2
1
2
1
1

rect   e  y e  y    y  log 2  e  y u  y     y  log 2
3
3
3
3
2

2
3
(i)
f  y 
1/3
y
log2
(i)
1
 1
rect   e  y   
2
 0
1
1
1
y

e

2
2
2
altrove

0  e
y
1
 0  y  