27.02.02

Prova scritta dell’esame di TEORIA DEI SEGNALI
27/02/02
1. Il segnale x(t), passa basso con banda unilatera B, viene elaborato secondo lo
schema di figura 1. Sapendo che c(t )  K rect T t  KT  e che f0 = 1/T =
2
2B, si determini l’espressione del segnale di uscita y(t).
x(t)
H(f)
z(t)
-B
y(t)
B f
c(t)cos2f 0 t 
Figura 1
2. Date due variabili  e  statisticamente indipendenti e uniformemente distribuite
in [0,2], calcolare la funzione densità di probabilità della funzione di variabile
aleatoria  = .
3. Dato il processo aleatorio parametrico X(t) = e- |t|, in cui  è una variabile
aleatoria con densità di probabilità uniforme in [2, 3]. Commentare la
stazionarietà ed ergodicità del processo.
1°Quesito
Si consideri la schema in figura 1 in cui il segnale x(t) è passa-basso di banda B. Si determini
l’espressione del segnale y(t).
x(t)
H(f)
z(t)
-ft
c(t)
ft f
y(t)
Fig. 1
cos2f 0t 
Dati1:
B = F/2
fo = 1/T = F
ft = F/2
c(t )  K rect T t  KT 
2
Soluzione
z t   xt   ct   cos2Ft   xt   at 
at   ct   cos2Ft 
a(t) è periodico di periodo T, poichè prodotto di 2 segnale periodici di periodo T.
c(t)
a(t)
cos2Ft 
T/4
T/2
T
z t   xt   at 
Z  f   X  f   A f   X  f   K AK   f  KF   K AK X  f  KF 
dove AK  F  F aT t 
f KF
coefficiente dello sviluppo in serie di Fourier del segnale periodico a(t)
Assumendo x(t) segnale p.b. con spettro ad esempio triangolare possiamo rappresentare
graficamente Z(f)
Z(f)
A0
A2
A1
F/2 F
-F/2
2F
f
H(f)
F/2
-F/2
f
Y(f)
-F/2
F/2
f
Y  f   Z  f   H  f   A0  X  f 
yt   A0 xt 
A0 può essere calcolato tramite la TCF di aT t   rectT t cos2Ft 
2

A0  F  F rect T t cos2Ft 
2

f  KF  0
T

 T 1
 F   senc f      f  F     f  F 

2 2

2
 f  KF 0

1
2
1 1 sen 2 1
 f F 1
 f  F 
  senc
 senc 

  senc

2 2 

 2F  4
 2 F  f 0 4
4
2
oppure come il valore medio di a(t) in un periodo
T
T
T
1 2
1 4
2 4
2 1




A0 
a
t
dt

cos
2

Ft
dt

cos2Ft dt  



T T
T T
T 0
T 2F
2
quindi: y t  
2° Quesito
4
1

 xt 

2
1
 cos xdx  
0
1Soluzione
0  z  4  v.a. continua in 0,4
F z   P  z   P  z 
P  z  

 P  z /   x  f  x dx 

1
P   z /   x 
2 0
2
s .i .  e 
z

P   z /   x   P x  z /   x   P    F z / x  
x


0

z x
 F z / x   F  y   
 2

1

P  z  
z
0
 z0
x
z
z
0 2  x
x
2
z
z
2
 x
x
2

z/2

0
 F z / x   f  x dx  
0

nota F  y    y
2

1

1
z/x 1
z
4
1  dx  
dx  1  ln 
2
2 2
4
z
z/2
y0
y  0,2
y2
2
0z4
Oppure
2Soluzione
P  z    f  xydxdy 
Dz
z/2

2
f  x  f  y dydx 
0

z/2
2
z/x
0
z/2
0
 f  x   1dx   f   y  
0
2
z/x
f  x   f  y dydx 

z/2
0
z 
4
2
1
1z
z1
z
4   1  ln  0  z  4
dydx 

dx  1  ln    4 
z
2
2 2 z/ 2 x 4
4
z 
z4
1
f  x, y   f  x  f  s .i
y
f  x, y  
1
4
xy  z
2
3° Quesito
2
DZ
x
X t 
e
2 t
e
3 t
t
Le realizzazioni del processo sono esponenziali negative comprese tra le due curve
e
2 t
ed e
3 t
.
È immediato verificare per la generica realizzazione che
per t  0 xt ,  i   1  i  EX 0  1
per t   xt ,  i   0  i  EX    0
Segue che il processo non può essere stazionario neppure in valor medio
EX t   cost .
Quindi non può essere neppure ergodico essendo la stazionarietà del processo una condizione
necessaria per l’ergodicità.