MATEMATICA (livello normale)

ESAME SVIZZERO DI MATURITÀ
GENNAIO 2014
Gruppo e nr. .............................
Nome e Cognome: ................................................................................................
MATEMATICA
(livello normale)
- La durata dell’esame è di 4 ore.
- Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori.
- Degli esercizi 3, 4 e 5 saranno considerati solo i due risolti meglio.
- Ogni esercizio risolto in modo completo e corretto vale 10 punti.
- La nota 6 è conseguita con 40 punti.
- È permesso l’uso delle tavole numeriche e raccolte di formule senza
annotazioni né aggiunte personali; sono autorizzate:
CRM-CRP-CRC, Formulari e tavole (trad. CMSI), oppure
CRM-CRP-CRC, Formulaires et tables (trad. CMSI), oppure
DMK-DPK, Formeln und Tafeln, oppure
DMK-DPK –DCK, Formeln, Tabellen, Begriffe, oppure
DMK-DPK, Fundamentum Mathematik und Physik
- È permesso l’uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display
grafico, che non possa emettere né ricevere informazioni a distanza. Sono
autorizzate:
Casio FX-82 Solar oppure Texas Instruments TI-30 eco RS.
- Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni, presentazioni disordinate delle
soluzioni pregiudicano la valutazione.
Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo ed esatto i due esercizi obbligatori
e due degli esercizi a scelta.
Questi fogli vanno riconsegnati con le soluzioni.
1
PRIMA PARTE : ESERCIZI OBBLIGATORI
Esercizio 1
x2 − 5
È data la funzione reale f ( x ) =
x−3
1.1. Verificare, effettuando la divisione fra polinomi, che f ( x ) = x + 3 +
4
x−3
1.2. Determinare il dominio della funzione f e i punti di intersezione del suo grafico
con gli assi cartesiani.
1.3. Determinare gli asintoti di f.
1.4. Determinare gli intervalli in cui la funzione f è crescente e i punti di massimo o
minimo.
1.5. Determinare eventuali punti di flesso di f.
2
1.6. Dopo aver rappresentato graficamente la funzione f , calcolare
∫ f ( x ) dx .
0
Esercizio 2
In un sistema di riferimento cartesiano sono dati i punti A ( 6;2 ) , P (13;6 ) e la
circonferenza C di centro M ( 4; −1) e raggio r = 13 .
2.1. Verificare che il punto A appartiene a C e che il punto P è esterno a C.
2.2. Scrivere l’equazione cartesiana della retta AP e quella della circonferenza C.
2.3. Dopo aver verificato che la retta AP è una secante della circonferenza C , trovare
le coordinate dell’ulteriore punto B di intersezione della retta AP con C.
2.4. Determinare le equazioni delle rette s e t passanti per il punto P e tangenti alla
circonferenza. Siano T1 e T2 i due punti di tangenza.
2.5. Calcolare l’area del quadrilatero PT1MT2.
2
SECONDA PARTE: ESERCIZI A SCELTA (Risolvere due dei tre esercizi
proposti)
Esercizio 3
L’esercizio è composto da tre parti indipendenti:
3.1. Risolvere la seguente equazione trigonometrica
π

− sin  3 x −  = cos ( x − 2π )
3

3.2. Risolvere la seguente equazione logaritmica, dopo averne indicato il dominio.
log 2 ( x − 3) + log 2 ( x − 1) = 3
ax 2 + bx + c
3.3. Data la funzione f ( x ) =
x+d
Determinare a, b, c, d∈ in modo che il grafico di f abbia un asintoto obliquo
di equazione y = 2 x − 2 , un asintoto verticale di equazione x = −1 e un estremo
relativo di ascissa −2 .
Esercizio 4
La distribuzione dei dipendenti di una nuova compagnia telefonica è la seguente:
il 70% sono uomini e il 30% sono donne. Fra gli uomini, il 25% è laureato, il 60% ha
un attestato di maturità liceale e il restante 15% ha la licenza di scuola media.
Per le donne le tre percentuali sono rispettivamente, 35%, 60% e 5%.
4.1. Costruire uno schema ad albero che illustri la situazione.
4.2. Scelto un dipendente a caso, qual è la probabilità che non sia laureato?
4.3. Scelto un dipendente a caso, qual è la probabilità che sia donna e non laureato.
4.4. Scelto a caso un dipendente che è laureato, qual è la probabilità che sia uomo?
4.5. E` vero che se un dipendente è donna ha più probabilità di essere laureato?
(Suggerimento: confrontare la probabilità che un dipendente scelto a caso sia
laureato con la probabilità che una donna scelta a caso sia laureata).
3
Esercizio 5
Sono dati i punti A ( 0; −3;4 ) , B ( −1;2; −1) e C ( −2; −4;5 ) e la retta di equazione
 x  1 
1





r :  y  =  −1 + t ⋅  0 
z  5 
 −1 
   
 
5.1. Determinare l’equazione del piano che contiene i tre punti A, B e C.
5.2. Determinare le coordinate del punto D in modo che il quadrilatero ABCD sia un
parallelogrammo.
5.3. Sia V ∈ r il vertice della piramide ABCDV con l’ altezza che cade nel punto
d’incontro delle diagonali del parallelogrammo di base ABCD.
Determinare le coordinate di V.
5.4. Determinare l’angolo fra il piano di base e lo spigolo AV.
5.5. Calcolare il volume della piramide.
4