LUOGHI GEOMETRICI
Si definisce LUOGO GEOMETRICO l’insieme di tutti e soli i punti P ( del piano o dello spazio) che godono
di una certa proprietà R
ovvero
affermare che una figura F è luogo geometrico dei punti che godono della proprietà R equivale a scrivere
P è un punto di F P gode della proprietà R
Il concetto di luogo geometrico è pertanto fondamentale in Geometria in quanto permette una
connessione logica tra due proprietà
P appartiene ad una figura F
P soddisfa una certa relazione R
La prima è una proprietà geometrica, la seconda può anche essere espressa in linguaggio algebrico
Ricordiamo in proposito , la definizione delle Coniche come luoghi geometrici piani
Circonferenza di centro C e raggio r : luogo geometrico dei punti del piano aventi tutti distanza da C
uguale ad r
=r
Parabola : luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una
retta fissa d, detta direttrice
, dove H è il piede della perpendicolare condotta da P a d
Ellisse di asse maggiore 2a: luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da
due punti fissi , F1 ed F2,detti fuochi , ha un valore costante , uguale a 2a
Iperbole di asse trasverso 2a :luogo geometrico dei punti del piano per i quali il modulo della
differenza delle distanze da due punti fissi, F1 ed F2,detti fuochi ,ha un valore costante , uguale a 2a
Il metodo delle coordinate permette di tradurre ciascuna delle precedenti relazioni in un’equazione
algebrica nelle due variabili x ed y che caratterizza la curva , anzi si identifica con essa .
Equazioni canoniche ( in un opportuno sistema di riferimento)
circonferenza
y= a x2+bx+c parabola
ellisse
iperbole
Vedremo in seguito vari modi di definire un luogo
geometrico ritrovando figure già note e familiarizzando
con altre meno note nella geometria elementare
ESEMPI
1) Asse di un segmento
Un noto teorema di Geometria elementare afferma
che:<<L’asse di un segmento AB è il luogo geometrico
dei punti del piano equidistanti da A e da B>>
Ovvero
Se P è un punto dell’asse, allora
Viceversa : Se
allora P
appartiene all’asse
In questo caso
F : asse del segmento AB (retta perpendicolare nel suo punto medio)
R : P è equidistante da A e da B
Se nel piano è fissato un riferimento cartesiano Oxy e se le coordinate di A e B sono note, per esempio
A(1,3) B(5,1),
la proprietà R si traduce in una relazione tra le coordinate (x;y) del generico punto P
Svolgendo i calcoli si ottiene l’equazione 8x -4y-16=0
Fig1
Con i metodi della Geometria Analitica possiamo , viceversa, riconoscere che l’equazione trovata
corrisponde ad una retta perpendicolare al segmento AB e passante per il suo punto medio
2) E’ dato un angolo retto avente per lati le semirette OX e OY.
Determinare all’ ’interno dell’ angolo il luogo dei punti tali che la somma delle distanze dai due lati
sia minore di 5 unità.
RISOLUZIONE SINTETICA :
Consideriamo un punto A sul lato OY e un punto B sul lato OX tali che i segmenti OA e OB abbiano
entrambi lunghezza uguale 5
a)Dimostriamo che il segmento AB , privato degli estremi, è il luogo dei punti ( interni all’angolo
retto) tali che la somma delle distanze dai due lati sia uguale a 5 unità
Scegliamo un punto P interno al segmento AB e
costruiamo il rettangolo OQRP: è facile osservare
che
Infatti
mentre
perché lati opposti di un rettangolo ,
in quanto il triangolo AQP è rettangolo
isoscele, essendo simile al triangolo AOB
Fig2
Viceversa :
Scegliamo un punto Q sul lato OY e costruiamo il rettangolo
OQRP dove il lato QP è lungo quanto il segmento AQ:
Per la similitudine dei triangoli AQP e AOB , iil vertice appartiene necessariamente al segmento AB
c)
Pertanto il luogo richiesto è costituito da tutti e soli i punti interni al triangolo AOB
Fig.3
RISOLUZIONE ANALITICA
Scegliamo un riferimento cartesiano Oxy in modo che l’angolo retto assegnato ne costituisca il primo
quadrante.
Un punto P(x;y) appartiene al luogo se e e solo se sono verificate le condizioni
Il luogo è pertanto l’intersezione di tre semipiani: il semipiano delle x positive, il semipiano delle y
positive, il semipiano avente per origine la retta di equazione x+y=5 e contente il punto O
Fig.4
3)Un proiettile viene lanciato con una velocità iniziale di componenti vox e voy rispettivamente.
Determinarne la traiettoria
In un riferimento cartesiano avente l’origine nel punto dove si trova inizialmente il proiettile, la posizione
del punto è associata alla coppia di coordinate (x;y)
In un generico istante t devono valere le due relazioni
Il luogo geometrico dei punti P(x,y) che soddisfano le precedenti relazioni , è la TRAIETTORIA del proiettile.
In questo caso la proprietà R è una relazione indiretta tra ascissa e ordinata del punto P, in quanto
ciascuna delle due coordinate è associata allo stesso valore del parametro t.
Le due equazioni rappresentano il luogo in forma parametrica, sono cioè
le equazioni parametriche della traiettoria
Fig.5
Eliminando t tra le due equazioni si perviene all’equazione
y=
Voy
1
x²
x g
Vox
2 Vox ²
che rappresenta una parabola
4)E’ dato il fascio di circonferenze di equazione x2+y2+kx+ky=0
Determinare il luogo geometrico dei centri.
Risoluzione sintetica:
poiché le circonferenze sono tutte tangenti nell’origine O alla stessa retta ( la bisettrice del secondo e
quarto quadrante), il luogo dei centri è la retta perpendicolare in O alla tangente comune.
Infatti , in ciascuna circonferenza, congiungendo il centro C con O, si ottiene una retta perpendicolare alla
tangente e, viceversa, la retta per O perpendicolare alla tangente, passa per C.
Fig.6
Risoluzione analitica:
Il generico centro C ha coordinate ( -k/2;-k/2), pertanto le equazioni
parametriche del luogo geometrico sono
Eliminando il parametro k si ottiene l’equazione cartesiana del
luogo y=x, che è proprio la perpendicolare alla tangente nell’origine
5)Un esempio di equazioni parametriche dipendenti da due parametri (vincolati da una relazione)
Determinare il luogo geometrico descritto dal punto medio di un segmento AB, di lunghezza 5, mentre A
<<scivola>> sul semiasse delle y positive e B sul semiasse dellex positive , mantenendo invariata la
lunghezza di AB
Sia A (0;α) e B(β;0) con le condizioni
Le coordinate di M saranno (β /2 ; α/2 )
Le equazioni parametriche del luogo sono pertanto
Fig.7
Eliminando α e β si trova
4x2+4y2=25 che rappresenta una circonferenza col centro nell’origine e raggio 5/2
Tenendo conto delle condizioni imposte il luogo richiesto è un quarto di circonferenza
COSTRUZIONE DI LUOGHI GEOMETRICI CON GEOGEBRA
Le figure degli esempi precedenti, ad eccezione della figura 4, sono state eseguite tutte con GEOGEBRA.
Per la figura 4 è stato utilizzato Derive, dove è possibile risolvere graficamente disequazioni e sistemi in
due variabili
STRUMENTI DI GEOGEBRA UTILI PER STUDIARE I LUOGHI GEOMETRICI
Vediamo ora come utilizzare Geogebra per risolvere alcuni problemi sui luoghi geometrici o per
visualizzarne le soluzioni.
1) Comando <<LUOGO>> o modalità luogo
Si vuole visualizzare il luogo descritto dal punto P , collegato, nella costruzione , al punto C (in questo caso è
il simmetrico di C rispetto all’asse y)
C deve a sua volta essere vincolato a muoversi, su un oggetto (retta, circonferenza, funzione etc..) In
questo caso C è vincolato sul segmento AB
Si seleziona LUOGO dalla lista COMANDO, in basso a sinistra
Nella barra di input compare Luogo[]
Inserire Luogo[P,C] e premere INVIO
Compare il grafico del luogo , il segmento simmetrico di AB rispetto all’asse y
In alternativa :
Selezionare la modalità LUOGO
dal menù degli strumenti
Marcare il punto P e cliccare sul
punto C
2) Proprietà TRACCIA ON
a)Selezionare il punto P col
tasto destro del mouse, scegliere
Proprietà
b)Selezionare MOSTRA TRACCIA ed eventualmente scegliere un colore
c)Col puntatore muovere il punto C su AB
d) P lascerà una <<traccia>>, il grafico del luogo richiesto
3) Utilizzo di uno SLIDER per
tracciare il grafico di un luogo
definito con le equazioni
parametriche
Uno Slider è la rappresentazione
grafica di un valore numerico
generico o di un angolo.
Si può variare il valore trascinandolo,
mediante il puntatore, sul suo
segmento rappresentativo
Si può creare uno Slider di qualunque variabile
numerica dopo averla definita, selezionandola col
tasto destro e scegliendo <<mostra oggetto)
Oppure scegliendo la modalità nel menù degli
strumenti
Cliccando su un punto qualunque del foglio compare la finestra seguente
Le equazioni parametriche
definiscono per ogni valore del parametro t, le coordinate
di un punto P.
1. Definire il punto P=(f(t), g(t))
2. costruire uno slider dove far variare, mediante il puntatore, i valori t, scegliendo
opportunamente il minimo e il massimo
3. assegnare a P la proprietà << traccia on>> o > <<mostra traccia>>
4. trascinare il valore di t sullo slider
Esempio P=(t, 5-t2)
1)LA PARABOLA
Assegnati il punto F e la retta d, costruire il luogo dei punti del piano equidistanti da F e da d
Dal protocollo di costruzione si osserva che il punto P della figura seguente soddisfa la relazione
caratteristica del luogo.
Il grafico può essere evidenziato mediante il comando <<luogo>> o con >>Traccia on>>
Utilizzando il comando Parabola[F,d] è possibile ottenere anche l’equazione (nella finestra Algebra)
2)L’ELLISSE
Assegnati due punti F1 ed F2 e un numero reale positivo a, costruire il luogo dei punti del piano tali che
Dal protocollo di costruzione si osserva che i punti F e G soddisfano la relazione caratteristica del luogo.
Il grafico può essere evidenziato mediante il comando <<luogo>> o con >>Traccia on>>
Utilizzando il comando Ellisse[F1,F2,a] è possibile ottenere anche l’equazione (nella finestra Algebra)
3)Baricentro di un triangolo
E’ data la circonferenza di diametro AB, dove A(-3;0) e B(3,0), la cui equazione è x2+y2=9.
Se C è un punto variabile sulla circonferenza, qual è il luogo descritto dal baricentro G del triangolo
ABC?
Le coordinate del punto OP possono essere poste nella forma (3cos α, 3 sen α)
Le coordinate di G saranno
Quadrando e sommando membro a membro si ottiene l’equazione cartesiana del luogo richiesto
x2+y2= 1
Metodo sintetico
Si costruisce G come punto di incontro di due delle mediane
Si assegna a G la proprietà <traccia on>>
Si trascina C e si ottiene la <<traccia>> lasciata da G : una circonferenza col centro nell’origine e
raggio 1
Metodo analitico
Si crea uno slider Angolo
Si definisce il punto G, secondo le equazioni parametriche
Si assegna a G la proprietà <traccia on>>
Si fa variare α e si ottiene la <<traccia>> lasciata da G
ESERCIZI
1)Determinare il luogo geometrico dei punti equidistanti da due rette assegnate
a) nel caso in cui siano incidenti
b)nel caso in cui siano parallele
Risolvere il problema analiticamente , in un opportuno sistema di riferimento, ed eseguire la costruzione con
Geogebra
2)Costruire l’iperbole come luogo geometrico.
Fissati i fuochi e il semiasse maggiore, scriverne l’equazione
e verificarla con il comando Iperbole[F1,F2,a]
3)Generalizzare l’esempio 3 verificando che
Se due vertici di un triangolo sono fissi e il terzo varia su
una circonferenza,su una retta o su una parabola, anche il
baricentro del triangolo descrive rispettivamente una
circonferenza, una retta, una parabola
Risolvere il problema analiticamente , in un opportuno sistema di riferimento, ed eseguire la costruzione con
Geogebra
4)In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(4;0) e B(0;3)
Determinare il luogo geometrico dei punti del piano tali che l’area del quadrilatero convesso OAPB sia
Risolvere il problema analiticamente, ed eseguire la costruzione con Geogebra
5)Verificare, analiticamente e graficamente, che le equazioni parametriche
Definiscono un’ellisse.
ALCUNE CURVE CELEBRI
Le Spirali
Galassia a spirale
La spirale, quella curva piana che ha la proprietà di avvolgersi in infiniti giri intorno ad un punto, è nota sin
dall’antichità Essa è una delle forme geometriche più diffuse in natura ed è presente come simbolo esoterico
in varie culture.
Noi vogliamo, ovviamente, evidenziarne le proprietà geometriche.
Studiamo, in particolare la spirale di Archimede e la spirale logaritmica
La spirale di Archimede
La spirale di Archimede, presentata dal sommo matematico siracusano nel 224 a.C., in un opera dedicata
appunto alle spirali, è la traiettoria descritta da un punto che si sposta uniformemente su una semiretta ,
mentre questa ruota a sua volta, uniformemente attorno al suo estremo.
La curva in pratica è ottenuta tracciando una circonferenza in modo continuo ed aumentandone il raggio in
modo proporzionale all'angolo percorso.
La sua equazione è molto semplice in coordinate polari
dove ρ è la distanza del punto rispetto
all’origine, θ l’angolo descritto dalla semiretta ,il parametro a una costante caratteristica della curva.
Le equazioni parametriche sono
Applicazione cinematica
MOTO SU UNA PIATTAFORMA ROTANTE
Si consideri un riferimento spaziale Oxyz solidale con la terra.
Una piattaforma di centro O e raggio R ruota in senso antiorario con velocità
angolare ω intorno all’asse z
Da O , nell’istante to=0,parte un punto materiale P che si muove con velocità
costante v = 2 m/s lungo l’asse x.
Studiare la traiettoria di P rispetto alla terna Oxyz e rispetto ad una terna O’x’y’z’
solidale con la piattaforma , dove O’ coincide con O e z’ coincide con z.
(Si supponga che all’istante to le due terne cartesiane siano sovrapposte)
Consideriamo so il piano Oxy dove giace la piattaforma
In un istante t gli assi x’ e y’ hanno subito una rotazione di un angolo ωt rispetto al riferimento terrestre
dove l’angolo
POˆ Q è uguale a ωt
E’ facile verificare che, in un determinato istante t, le coordinate di P sono
x vt
y 0
x' vt cos t
y ' vtsent
rispetto ad Oxy
rispetto a Ox’y’ ( misure dei segmenti orientati OQ e QP, rispettivamente)
Se si inverte il senso di rotazione ω va sostituito con -ω
La traiettoria <<assoluta>> è una retta , mentre quella <<relativa>> è una spirale di Archimede. L’osservatore non inerziale
interpreta il fenomeno come l’effetto di una forza apparente , la forza di Coriolis.
GRAFICO DELLA SPIRALE
Metodo analitico
Si definisce il numero t come slider
Si definisce il punto P assegnandogli le coordinate corrispondenti alle equazioni parametriche del luogo
Si assegna a P la proprietà <traccia on>>
Si fa variare t e si ottiene la <<traccia lasciata da P
Nella figura è rappresentato anche il moto di un uragano, conseguenza della forza di Coriolis, ma in
effetti non è un esempio di spirale di Archimede, bensì di spirale logaritmica
Metodo sintetico
Si sceglie il punto B su una semicirconferenza di centro O e diametro AB1 arbitrario
Si definisce l’angolo α formato dai raggi OA e OB e poi il punto C mediante lo strumento <<segmento di
data lunghezza>>: la lunghezza deve essere proporzionale ad α, per esempio 2 α
Si fa ruotare il punto C intorno al punto O , mediante il comando ruota[D,20* α,O ] e si definisce il punto
D’
Si costruisce la spirale mediante il comando Luogo[D,B]
Si nascondono gli altri oggetti ( tasto destro del mouse-mostra oggetto)
La spirale logaritmica
Si costruisce in modo analogo alla precedente, con la differenza che la distanza dall’origine cresce
esponenzialmente rispetto all’angolo di rotazione.
La sua equazione , in coordinate polari, è ρ= a θ
Le equazioni parametriche sono
La spirale logaritmica ha suscitato l’interesse dei più noti matematici, da Cartesio a T, da Wallis a JacKob
Bernoulli . Quest’ultimo scoprí molte proprietà della curva e ne rimase talmente affascinato che la scelse
come epigrafe sulla sua pietra tombale, accompagnata dalla scritta latina "Eadem mutata resurgo"
(Sebbene cambiata, rinasco identica). Purtroppo ,per colpa di uno scalpellino poco esperto , non solo la
scritta non fu riportata, ma la spirale che ancora oggi è visibile sulla lapide del matematico a Basilea non è
una spirale logaritmica, bensì una spirale di Archimede.
Metodo analitico
Una notevole proprietà della spirale logaritmica: Se gli angoli AOC e COE sono uguali, il segmento OC è
medio proporzionale tra OA e OC .
Infatti , utilizzando l’equazione polare, e indicando con ρ1, ρ2, ρ3 le lunghezze de i tre segmenti OA,OC,OE,
potremo porre
ρ 2= a t
ρ1= at-α
ρ3= at+α
da cui (ρ 2) 2 = a 2t
ρ1* ρ3= at-α +t+ α = a 2t
Metodo sintetico
Si procede come nel caso della spirale di Archimede, con la differenza che il segmento OC deve avere
lunghezza variabile esponenzialmente 2α
Salta subito agli occhi la differenza tra i grafici delle due curve : i bracci successivi hanno una distanza fissa
nella spirale di Archimede, mentre nella spirale logaritmica le distanze seguono una progressione
geometrica
C’è però una differenza ancora più interessante:
diversamente dalla spirale di Archimede, che ha un punto di inizio, la spirale logaritmica prosegue
indefinitamente sia verso l'interno che verso l'esterno.
Infatti : nella spirale di Archimede la distanza ρ, del generico punto dall’origine, è nulla in corrispondenza di
α=0, invece , per la proprietà della funzione esponenziale, nella spirale logaritmica possiamo solo
affermare che ρ tende a 0 quando α tende a -∞.
Mano a mano che si avvicina al punto O, la curva ci si avvolge intorno infinite volte senza mai
raggiungerlo!
Volendo percorrere la spirale dalla periferia al centro, possiamo costruire il luogo cambiando la
definizione del punto Din modo che l’angolo assuma valori
negativi
Non c’è un limite al numero di giri che si possono effettuare
nell’intorno dell’origine , ma i limiti della rappresentazione grafica
non ne permettono la visualizzazione
LA CICLOIDE
Una circonferenza di raggio r rotola senza strisciare su una retta t.
Qual è il luogo geometrico descritto da un punto P della circonferenza durante tale moto?
Ovviamente rispetto ad un riferimento (mobile) avente l’origine nel centro della circonferenza e solidale
con essa, la traiettoria coincide con la circonferenza stessa.
Consideriamo ora un riferimento (fisso) avente l’asse x coincidente con la retta t e l’origine nel suo punto
di contatto con la circonferenza , punto che consideriamo come posizione iniziale di P
Sia P1 la posizione del punto dopo un tempo t, T il punto di contatto nello stesso istante, C il centro della
circonferenza, ( misurato in radianti) l’angolo descritto dal raggio CP nel tempo t, r la misura dell’arco
TP rettificato.
Sarà
OP
spostamento
assoluto
OT
spostamento di trascinamento
TP
spostamento relativo
Dalla relazione OP = OT
+ TP
Essendo a sua volta
TP
= TC + CP
ottiene
OP
= OT + TC + CP
e, passando alle componenti lungo l’asse x e lungo l’asse y,
x = r ( t - sen t)
x = r - r sen
y = r – r cos,
ovvero
y = r(1 – cos t)
dove è la velocità angolare con cui P ruota sulla circonferenza.
Queste sono le equazioni parametriche del luogo geometrico richiesto, ma non è semplice risalire
all’equazione cartesiana.
Geogebra ci fornisce il grafico, che può essere confrontato con un’analisi qualitativa
si
A) Risoluzione sintetica
Per simulare il rotolamento si costruisce una circonferenza il cui centro C dipende da un parametro t (slider
numerico) e una retta b passante per C con coefficiente angolare anch’esso variabile in funzione di t.
Mentre C( 2t,r) trasla verso destra ,parallelamente all’asse x , di un segmento vt, la retta b ruota in senso
orario, di un angolo di ampiezza α= vt, rispetto alla direzione negativa dell’asse x (m= tan(π-vt)) Il punto B,
intersezione di b con la circonferenza, descrive la Cicloide; il segmento CB ruota intorno a C.
La curva ottenuta si chiama Cicloide (nome assegnatole da Galileo), ma è nota anche come la <<bella
Elena>> della Matematica, non tanto per il suo profilo armonioso quanto per le sfide, le controversie, i
problemi e le dispute che ha suscitato negli ambienti scientifici, grazie alle sue interessanti proprietà.
Meno piacevoli sono gli aggettivi che definiscono alcuni suoi aspetti, collegati con la Cinematica:
tautocrona, isocrona, brachistocrona .Gli aggettivi derivano dal greco ed hanno senz’altro un suono più
gradevole nella loro lingua di origine che non in italiano; quello che ci interessa è comunque il loro
significato:
Tautocrona (da tautos= stesso e chronos= tempo) indica la seguente proprietà: una massa posta su un
punto di un profilo a forma di un arco di cicloide rovesciata ( posto in posizione verticale) impiega lo stesso
tempo a giungere nel punto più basso( punto di tautocronismo), qualunque sia la quota di partenza.
Isocrona : ( da isos= uguale e chronos= tempo) è sostanzialmente sinonimo dell’aggettivo precedente, ma
in una diversa accezione: eventuali oscillazioni intorno al punto di tautocronismo avvengono nello stesso
tempo, indipendentemente dall’ampiezza
Brachistocrona:(da brachistos, minimo, e chronos, tempo) :rappresenta il percorso che fa impiegare il
minor tempo per andare da un punto A a un punto B
Dal catalogo multimediale del Museo di Storia della Scienza di Firenze
“CICLOIDE:
È la curva generata da un punto della circonferenza di un cerchio che rotola su un piano. La cicloide
presenta interessanti proprietà fisiche. Infatti, è brachistocrona e tautocrona: brachistocrona perché
rappresenta il percorso superato nel tempo più breve tra due punti per un dato tipo di movimento (ad
esempio la caduta per l'effetto della forza di gravità); tautocrona perché un grave posto in oscillazione
lungo una cicloide la percorre sempre nello stesso tempo, qualunque sia l'ampiezza dell'oscillazione.
Galileo (1564-1642) ritenne erroneamente tautocrone le oscillazioni circolari. La dimostrazione del
brachistocronismo della cicloide fu fornita da Jacques Bernoulli (1654-1705) nel 1697, mentre Christiaan
Huygens (1629-1695) ne dimostrò il tautocronismo nel 1659”
La Cicloide nel Laboratorio di Fisica
Apparecchio per dimostrare il tautocronismo
“Lo strumento, proveniente dalle collezioni lorenesi, fu descritto da John
Theophilus Desaguliers nel suo volume A Course of Experimental Philosophy (London, 1734) e da Willem Jacob 's
Gravesande nei Physices elementa mathematica, experimentis confirmata (III ed., Leiden, 1742).
Su un lungo telaio di legno, munito alla base di tre viti calanti, sono realizzati due canali paralleli, che riproducono due
cicloidi uguali terminanti entrambe in un canale rettilineo. Un filo a piombo (oggi mancante) consentiva di assicurare
la perfetta verticalità dell'apparato, condizione essenziale per il buon esito dell'esperimento. L'esperimento consiste nel
rilasciare contemporaneamente due biglie nei canali paralleli, ma da altezze diverse: le biglie arrivano sempre alla fine
della cicloide simultaneamente. Viene in tal modo dimostrato sperimentalmente il tautocronismo della cicloide, una
proprietà della cicloide dimostrata geometricamente da Christiaan Huygens, il quale nel 1659 concepì per primo un
pendolo cicloidale, perfettamente tautocrono, che utilizzò come regolatore del movimento di un orologio.”
Brachistocronismo
In figura è riportato l’apparecchio, conservato al
Istituto e Museo di Storia della Scienza di Firenze
che permette di verificare sperimentalmente come
aveva già osservato da Galileo, che un grave
impiega minor tempo a discendere lungo
l'arco di una circonferenza che non lungo
la corda corrispondente, nonostante che
quest'ultima sia più breve.
“Questo apparecchio dimostra gli effetti osservabili di
un principio fisico scoperto e comunicato a Guidobaldo
del Monte da Galileo il 29 novembre 1602. Galileo
dimostrò con metodi geometrici che un grave impiega
minor tempo a discendere lungo l'arco di una circonferenza che non lungo la corda corrispondente
(nonostante che quest'ultima sia più breve). Galileo, che considerava l'arco come equivalente a un
insieme infinito di piani inclinati, non si rese conto che il percorso brachistocrono di un grave che scende
tra due punti è l'arco di cicloide, e non l'arco di cerchio. La dimostrazione matematica del
brachistocronismo della cicloide sarà fornita da Jacques Bernoulli nel 1697.
L'apparecchio si compone di un telaio di legno recante un canale cicloidale. Sul telaio è imperniato anche
un canale rettilineo, la cui inclinazione può essere fissata mediante pioli infissi in appositi fori muniti di
ghiere di ottone praticati sotto la cicloide. Lasciando cadere simultaneamente due sferette lungo i due
canali, si osserva che la sferetta lungo l'arco di cicloide anticipa nettamente quella lungo il piano
inclinato”
CONCLUSIONE
Lo studio dei luoghi geometrici ha fornito molti spunti che vanno al di là dei calcoli e delle costruzioni
grafiche, rivelando vari aspetti pluridisciplinari.
ORA TOCCA A TE:
WEBQUEST!
Fai una ricerca su alcune curve celebri e prova a costruirne il grafico con GEOGEBRA.
Puoi anche approfondire lo studio delle curve già analizzate in questo articolo o trovarne altri metodi di
costruzione.
I lavori meritevoli saranno pubblicati nel Blog.
Buon lavoro!
Letture consigliate": Autore: Luciano Cresci
Titolo: Le curve celebri
Editore: Franco Muzzio Editore
Siti consigliati
http://www.xahlee.org/PageTwo_dir/more.html
http://www.fmboschetto.it/images/galleria_matematica.htm
