Rapporto incrementale e derivate Classe 5^

Rapporto incrementale e derivate
Classe 5^
Rapporto incrementale
Consideriamo una funzione y=f(x) e i due punti di tale funzione
In cui l'ascissa è x0 e x0+h.
Questi due punti sono:
P( x0 , f(x0) ) ;
Q( x0+h , f(x0+h) );
Posso scriverli come: P(xp,yp) Q(xq,yq)
La retta passante per questi due punti avrà coeff angolare:
M=(yq-yp) / (xq-xp) = rapporto tra la variazione della y(delta f) e
la variazione della x(delta x)
Quindi posso affermare che il rapporto incrementale della
funzione y=f(x) relativo a x0 e all'incremento h è uguale al
coefficiente angolare della retta secante il grafico di y=f(x) nei
punti di ascissa x0 e x0+h.
Possiamo anche dire che il rapporto incrementale della
funzione y=f(x) relativo a x0 e all'incremento h è uguale
alla tangente goniometrica dell'angolo (orientato in senso
antiorario).
Tg(α)=Δf / Δx
Se facciamo il limite per h → 0 del rapporto
incrementale,se tale limite esiste finito, prende il
nome di DERIVATA.
Una funzione si dice derivabile in x0 se in tal
punto ha derivata finita.
Una funzione è derivabile in x0 se e solo se le sue
due derivate destra e sinistra, esistono finite e
eguali tra loro.
Per h → 0 la retta secante tende a coincidere con
la retta tangente
Significato geometrico della derivata
Se f(x) è derivabile in x0, la derivata della funzione in x0 è il
coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f(x) nel
suo punto di ascissa x0.
Quindi chiamando P il punto del grafico della funzione di
ascissa x0, (quindi P( x0, f(x0)),
L'equazione della retta tangente
al grafico della funzione f(x) in x0
avrà equazione:
y - f(x0) = f '(x0) (x- x0)
ESERCIZIO
data la funzione y=... calcolarne la derivata nel
punto x=.. usando il rapporto incrementale e
plottare la retta tangente:
1) y=x^3
x=2
2) y=√(x-3) x=4