1. IL RAPPORTO INCREMENTALE E LA DERIVATA CON

1. IL RAPPORTO INCREMENTALE E LA DERIVATA CON GEOGEBRA
Consideriamo la funzione f … x† ˆ x 3 x e costruiamone il grafico con GeoGebra.
Lo scopo di questa esercitazione eÁ quello di costruire il rapporto incrementale di f … x † relativo ad un suo punto A e trovare poi la retta tangente facendo tendere h a zero.
Per fare questo prepariamo due slider che chiamiamo p e h, il primo per far variare il punto A sulla curva, il secondo per
far variare l'incremento h :
l
parametri dello slider p :
valore minimo
l
parametri dello slider h :
valore minimo 0
2
valore massimo 2
incremento 0:4
valore massimo 1:5
incremento 0:1
Definiamo adesso il punto A della curva che ha ascissa p e il punto B che ha ascissa p ‡ h :
A ˆ p, f … p†
B ˆ … p ‡ h, f … p ‡ h††
Costruiamo adesso la retta AB e determiniamo anche il rapporto incrementale ri:
r = Retta ‰ A, BŠ
ri ˆ y …B†
y … A† =h
Muovendo lo slider h il punto A rimane fermo mentre il punto B si allontana o si avvicina ad A a seconda del valore di h;
contemporaneamente cambia anche il valore del rapporto incrementale e, osservando la Vista Algebra, si nota che il
coefficiente angolare della retta AB e il rapporto incrementale sono uguali (modifica la forma dell'equazione in modo da
scriverla in forma esplicita attraverso la scheda Algebra del Menu contestuale).
Disegniamo adesso la retta tangente in A; i comandi sono i seguenti:
Tangenti [ascissa, funzione]
trova la retta tangente alla funzione nel punto avente per ascissa il primo parametro
Tangenti [Punto, funzione]
trova la retta tangente alla funzione nel punto che ha per ascissa l'ascissa del punto indicato come primo parametro
Se usiamo la prima funzione, il primo parametro eÁ l'ascissa del punto A :
t = tangenti ‰ p; f Š
Dal menu contestuale relativo alla retta AB metti il segno di spunta su Traccia attiva e poi fai variare lo slider h avvicinando il punto B ad A.
Si comprende in questo modo la definizione data di
derivata e il suo significato geometrico come coefficiente angolare della retta tangente.
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2. IL CALCOLO DELLE DERIVATE
Calcolare la derivata di una funzione eÁ molto semplice sia con Geogebra che con Wiris.
Usiamo GeoGebra
Il comando per trovare la derivata di una funzione eÁ:
Derivata [funzione]
Per esempio, per trovare la derivata della funzione f … x† ˆ
f … x † ˆ …ln x ‡ x†=… x
ln x ‡ x
si devono dare i seguenti due comandi:
x 1
1†
Derivata [f … x †]
Se, oltre alla Vista Algebra, eÁ aperta anche la Vista Grafica, vengono disegnati i grafici sia della funzione f che della sua
derivata.
E' anche possibile indicare l'ordine di derivata da eseguire scrivendolo come secondo parametro:
Derivata [funzione,n]
calcola la derivata di ordine n della funzione indicata come primo parametro.
Usiamo Wiris
Il comando di derivazione si trova nel menu Analisi; dopo aver scritto l'espressione della funzione basta usare il comando con l'apice oppure quello che esprime la derivata come rapporto di differenziali.
r
5 x
Nella figura si vede l'uso di questi comandi nella derivazione della funzione f … x † ˆ
x2 1
3. LE RETTE TANGENTI
Abbiamo giaÁ visto nella prima esercitazione come tracciare la retta tangente a una funzione in un suo punto usando
GeoGebra.
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Non esiste invece un comando diretto di Wiris per trovare le equazioni delle rette tangenti ad una curva; si deve in questo caso procedere passo passo trovando la derivata nel punto (cioeÁ il coefficiente angolare della tangente) e scrivendo
poi l'equazione della retta.
Nella figura che segue puoi vedere la procedura; vogliamo solo evidenziare alcuni passaggi.
l
l
l
Abbiamo assegnato a una variabile x l'ascissa del punto di tangenza in modo che, modificando il suo valore, la procedura si aggiorni automaticamente
Per calcolare la derivata nel punto P il comando che abbiamo usato eÁ
f 0 …P1 †
dove P1 rappresenta la prima coordinata di P, cioeÁ l'ascissa; avendo giaÁ indicato con x l'ascissa, avremmo anche
potuto scrivere f 0 … x†.
Abbiamo usato questa forma per ricordare come si usano le coordinate di un punto.
Per scrivere l'equazione della retta tangente abbiamo indicato il coefficiente angolare come un vettore le cui componenti sono 1 e m, cioeÁ abbiamo scritto ‰1, f 0 …P1 †Š.
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