Logaritmi ed espressioni con semplici logaritmi

Logaritmi ed espressioni con semplici logaritmi
L’elevamento a potenza ammette due distinte operazioni inverse, l’estrazione di radice e il
logaritmo. In particolare, l’operazione di logaritmo serve a determinare l’esponente quando sono
noti la potenza e la base.
Il logaritmo di un numero, in una data base, è l’esponente cui si deve elevare la base per ottenere il
numero dato.
In simboli se an = b , n è detto logaritmo in base a di b e potremo scrivere
loga b = n⟺ an = b .
Per esempio log2 8 = 3 perché 23 = 8 .
Proprietà dei logaritmi
I logaritmi godono di alcune proprietà.
log a a  1
𝑎1 = 𝑎
log a 1  0
𝑎0 = 1
log a a n  n
b = c ⟺ log 𝑎 𝑏 = log 𝑎 𝑐
log m (a  b)  log m a  log m b
con 𝑎 > 0, 𝑏 > 0
𝑎
log 𝑚 ( ) = log 𝑚 𝑎 − log 𝑚 𝑏
𝑏
con 𝑎 > 0, 𝑏 > 0
log 𝑚 𝑎𝑘 = 𝑘 ∙ log 𝑚 𝑎
con 𝑏 > 0
1
logm n a = log m a
n
Anche se i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base (diversa da 1), tre sono le basi più
utilizzate:

base 10 (logaritmi decimali). I logaritmi decimali vengono usati spesso per le operazioni di
calcolo. Vengono indicati con log10 , più genericamente solo con log , più raramente con Log

base e= 2, 71828… (logaritmi naturali o neperiani). I logaritmi naturali vengono usati
nell’analisi matematica infinitesimale. Vengono indicati con ln
base 2 (logaritmi binari). I logaritmi binari vengono indicati con log 2 .

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Formula del cambiamento di base
Noto il valore di un logaritmo in una base, possiamo calcolarne il valore in un’altra base. Spesso le
calcolatrici danno il logaritmo solo nelle basi ee 10 e quindi può essere utile saper passare da una
base all’altra .
Se b , x e k sono tutti numeri reali positivi (con b ¹1 e k ¹1) e 𝑘 è una base qualsiasi, la formula
del cambiamento di base è la seguente:
log b x 
log k x
log k b
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Mettiti alla prova
Calcola i seguenti logaritmi e motiva la risposta.
log3 9 =…
perché …………
log3 81=…
perché …………
log4 16 =…
perché …………
Risolvi le seguenti espressioni con potenze, radicali e logaritmi.
1. 1.
50 + (23 + √400 − 25) + (√64 + √121) + (10 ∙ log 7 49 − √144) =
[31]
2. 2.
√625 − log 2 32 + log 3 9 + √16 ∙ √324 =
[94]
3. 3.
[(log 2 64 + log 5 25 + √9) − (24 : 22 )] ∙ (54 : 53 ) =
[35]
4. 4.
√196 + log 3 81 + log 3 27 − √7 ∙ √7 =
[14]
2
5. 5.
{[log 3 243 − √4 + (5 + log10 100)] ∙ (log 2 16 − 2)2 } ∶ (√26 ∶ log 2 4 ) =
2
3
6. 6.
(log 2 256 + √125) ∙ log10 100 − log 9 1 − (√100 ∙ 33) =
[8]
3
7. 7.
(log 4 16 ∙ √27) ∶ [(log 5 125)3 − (log11 121)2 ∙ √25 + (log13 169)3 − 62 : (log 7 49)2 ]
+ 32 =
2
4
8. 8.
√1 + (√1 + √16 − log 3 27) − (log 2 16 + log 3 9 − log 2 64) =
3
9. 9.
√49 − 24 : (log 5 25)2 − [ √27 + (√9 + 173 : 172 ): 2 + √4] ∶ log 2 32 =
[100]
[10]
[5]
[0]
10. 10.
[11]
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Individua le uguaglianze vere tra quelle proposte.
[] √1 = 1
[] log 𝑛 𝑛 = 1
[] √0 = 1
[] log 2 2 = 2
[] 1𝑛 = 1
[] log 𝑎 1 = 0
[] √2 = 2
[] log 𝑚 (𝑎 ∙ 𝑏) = log 𝑚 𝑎 + log 𝑚 𝑏
[] 00 = 1
[] √0 = 0
[] log 3 81 = 4
[] √√81 = 3
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