Potenziale
vettore
F i s i c a s p e r i m e n t a l e
C . d . l . C h i m i c a
I I
Per risolvere semplici problemi “basta” la legge di Ampere
In generale occorrerà seguire la stessa linea usata nel caso
elettrostatico
Si era introdotto il potenziale elettrostatico, da cui, attraverso
derivazioni, ricavare il campo elettrico
Dovremo partire dalle:
∇⋅B = 0
1
∇×B=
J
2
ε0c
Una delle equazioni servirà per introdurre la funzione
potenziale e l’altra per valutare detta funzione una volta
dato il sistema di correnti
segue che:
Da:
B=∇×A
∇⋅B = 0
Potenziale vettore
La scelta del potenziale non è unica
Se ad A aggiungiamo il gradiente di uno scalare il rotore non
cambia
A1 = A + ∇Φ
∇ × A = ∇ × A1
Quindi danno luogo allo stesso campo magnetico
Abbiamo quindi un numero enorme di possibili funzioni tra
loro equivalenti
Come possiamo classificare le varie funzioni?
Se hanno lo stesso rotore, non è detto che abbiano la stessa
divergenza
∇ ⋅ A1 = ∇ ⋅ A + ∇Φ = ∇ ⋅ A + ∇ 2 Φ
(
)
Ovviamente il potenziale vettore non è
univocamente determinato
Utilizzeremo detta situazione per scegliere funzioni che
semplifichino i calcoli
In genere, in magnetostatica questo significa
scegliere funzioni tali che:
∇⋅A
=0
Scelta di calibro
Prima di tutto un esempio
Quale sarà il potenziale vettore che da luogo ad un campo
magnetico uniforme?
B = B0 k
∂
∂
Az − Ay = 0
∂y
∂z
∂
∂
By = Ax − Az = 0
∂z
∂x
∂
∂
Bz =
Ay − Ax = B0
∂x
∂y
Bx =
Le condizioni si A saranno:
Cerchiamo delle soluzioni semplici
∂
∂
Az − Ay = 0
∂y
∂z
∂
∂
By = Ax − Az = 0
∂z
∂x
Bx =
se: Az =0 , Ax ed Ay non dipendono da z
Per semplificare al massimo si potrebbe prendere:
Ax =0
Ottenendo:
E quindi:
∂
∂
∂
Bz =
Ay − Ax = B0 =
Ay
∂x
∂y
∂x
Ay = B0 x
Riassumendo, una possibile scelta è:
A = ( 0, B0 x, 0 )
Se avessimo scelto:
Ay =0
Avremmo ottenuto:
∂
∂
∂
Bz =
Ay − Ax = B0 = − Ax
∂x
∂y
∂y
Da cui:
A = ( −B0 y, 0, 0 )
Evidentemente una qualunque combinazione lineare,
normalizzata ad 1, delle due soluzioni andrà ugualmente bene.
Quella più immediata è:
B0
A=
⋅ ( −y, x, 0 )
2
Come si vede si hanno infinite possibili scelte e tutte danno
luogo allo stesso campo magnetico
Si vede inoltre che:
A = ( 0, B0 x, 0 )
A = ( −B0 y, 0, 0 )
B0
A=
⋅ ( −y, x, 0 )
2
sono tutti a divergenza nulla
B0
A=
⋅ ( −y, x, 0 )
2
Disegniamo le linee di:
sono circonferenze parallele al piano xy
Z
Lungo la circonferenza il
modulo del potenziale è
costante
!
Y
B0
B0 2
2
2
2
A =
⋅ y +x =
r sin (θ )
2
2
X
(
In generale varrà pure la:
∫ A ⋅ dl =
Γ
quindi:
∫ A ⋅ dl = ΦS B
Γ
( )
)
∫(
S
∇ × A ⋅ n ds = ∫ B ⋅ n ds
)
S
Conosciuto il potenziale vettore, tramite l’operazione “rotore” si
determina il campo magnetico.
Come determinare il potenziale vettore?
1
∇×B=
J
2
ε0c
Dalla:
Avremo:
1
2
c ∇×B=c ∇× ∇×A = J
ε0
2
(
dato che:
Si perviene a:
)
2
∇× ∇× A = ∇ ∇⋅A −∇ A
(
)
(
)
1
2
c ∇ ∇⋅A −∇ A = J
ε0
2
( (
)
)
Si vede subito il vantaggio di scegliere potenziali a divergenza
nulla
1
c ∇ A=− J
ε0
In tal caso infatti:
2
2
Notiamo come questa equazione sia
formalmente identica all’equazione di
Laplace trovata in elettrostatica
1
∇φ=− ρ
ε0
2
Ne consegue che pure le sue soluzioni saranno simili a
quelle dell’equazione di Laplace
Se in elettrostatica:
Avremo:
φ=
1
4πε 0
ρ
∫V r dv
1
J
A=
dv
2 ∫
4πε 0 c V r
Esplicitando, componente per componente:
1
Ax =
4πε 0 c 2
Jx
∫V r dv
1
Ay =
4πε 0 c 2
∫
V
Jy
r
dv
1
Az =
4πε 0 c 2
L’analogia formale si può esprimere dicendo:
La componente ima del potenziale vettore è
numericamente uguale al valore del
potenziale elettrostatico dovuto ad una
Ji
densità di carica di valore pari a: ρ = 2
c
Jz
∫V r dv
Nel caso di conduttori percorsi da corrente:
i dl
i
J=
= dl
S dl dv
A=
1
J
1
dv
=
4πε 0 c 2 V∫ r
4πε 0 c 2
i dl
1
dv
=
∫ dv r 4πε 0 c2
V
Se avessimo tanti circuiti percorsi da corrente:
A=
1
1
i
dlk
2 ∑ k ∫
4πε 0 c k Γ k rk
∫
Γ
i
dl
r
Filo infinito percorso da corrente
scegliendo l’asse “z” in direzione della corrente:
A ( r ) = (0, 0, Az ( r ))
RL
Az ( r ) =
+∞
1
dl
i
2 ∫
4πε 0 c −∞ r − l
DL
R
Siamo, formalmente, nella stessa situazione di
quando si voleva valutare il potenziale di un filo
uniformemente carico
Φ(r ) =
+∞
Az ( r ) =
1
dl
λ∫
4πε 0 −∞ r − l
+∞
1
dl
i
2 ∫
4πε 0 c −∞ r − l
per cui, da:
Φ(r ) =
si ha:
1
1
λ {ln ( ∞ ) − ln ( d )} → −
λ ln ( d )
2πε 0
2πε 0
Az ( r ) = −
1
1
i ln ( d ) = −
i ln
2
2
2πε 0 c
2πε 0 c
distanza dal filo
Per il campo magnetico:
(
x 2 + y2
)
Bx =
dAz
i
=−
dy
2πε 0 c 2
1
1
x 2 + y2 2 x 2 + y2
2y = −
i
1
i
y
y
=
−
2πε 0 c 2 x 2 + y 2
2πε 0 c 2 d 2
dAz
i
x
By = −
=
dx 2πε 0 c 2 d 2
Bz = 0
Z
B =
1
i
2πε 0 c 2 d
"
Y
X
come si era trovato
Un importante e semplice esempio
Dipolo magnetico
Il problema è quello di trovare il campo magnetico prodotto da
un circuito a grande distanza da esso
Consideriamo una piccola spira
rettangolare
R
A
1
J
A=
dv
2 ∫
4πε 0 c V r
B
I
I
Az = 0
Jz = 0
1
Ax =
4πε 0 c 2
Jx
∫V r dv
R
R
correnti dirette lungo
“x” si hanno solo su
due lati della spira
Ax ( r ) =
⎡ dl
1
dl ⎤
i
−∫ ⎥
2 ⎢∫
4πε 0 c ⎢⎣ Γ + r+ Γ − r− ⎥⎦
R
A
B
I
I
Si tratta della stessa espressione che
si trova nel caso di valutazione del
potenziale elettrostatico dovuto a
due sbarrette cariche di segno
opposto
Φ(r ) =
⎡ dl
1
dl ⎤
( ρ+ S ) ⎢ ∫ − ∫ ⎥
4πε 0
⎢⎣ Γ + r+ Γ − r− ⎥⎦
R
R
B
R
R
A
R
che, a grande distanza, è approssimativamente dato da:
1 p ⋅ er
Φ(r ) =
4πε 0 r 2
con
p = − ( ρ+ S ) ab j
Quindi:
Φ(r ) =
⎡ dl
1
dl ⎤
( ρ+ S ) ⎢ ∫ − ∫ ⎥
4πε 0
⎢⎣ Γ + r+ Γ − r− ⎥⎦
1 ( ρ+ S ) ab j ⋅ er
Φ(r ) = −
4πε 0
r2
⎡ dl
1
dl ⎤
Ax ( r ) =
i⎢
−
⎥
4πε 0 c 2 ⎢⎣ Γ∫+ r+ Γ∫− r− ⎥⎦
1 i ab j ⋅ er
Ax ( r ) = −
4πε 0 c 2 r 2
Analogamente:
1 i ab i ⋅ er
Ay ( r ) =
4πε 0 c 2 r 2
Le linee di “A” sono circonferenze giacenti in piano
paralleli al piano “xy” che è il piano della spira
area della spira
µ = i ab
Sostituzione fisica:
normale al piano della spira, valutata
secondo la regola della mano destra
momento dipolare magnetico
se diamo al momento
dipolare carattere vettoriale:
A=
µ = i ab n
1 µ
1 µ×r
−y
i
+
x
j
=
4πε 0 c 2 r 3
4πε 0 c 2 r 3
(
)
Per il campo magnetico:
dAy
B=∇×A
(
dAz dAy
1
d
−3
Bx =
−
=
=
µ
xr
dz
dy
dz
4πε 0 c 2 dz
)
Bx =
(
)
1
d
1
−3
−4 d
µ
xr
=
µ
x(−3)r
4πε 0 c 2 dz
4πε 0 c 2
dz
Bx = −3
(
x 2 + y2 + z 2
)
1
1
3xz
−4 1 −1
µ
xr
r
2z
=
−
µ
4πε 0 c 2
2
4πε 0 c 2 r 5
Analogamente:
1
3yz
By =
µ 5
2
4πε 0 c
r
1
3z 2 − r 2
Bz =
µ
4πε 0 c 2
r5
Nota: sono le stesse espressioni del campo elettrico di un
dipolo elettrico
Unica differenza:
µ
p⇒ 2
c
Una spira percorsa da corrente non solo genera un campo
magnetico,ma
se posta in un campo magnetico esterno, è soggetta a forze ed a
momenti di forza
N
Q "
&
&
da:
F = i dl × B
Q
segue subito per il momento di forza:
τ =µ×B
in perfetta analogia con il momento di forza agente su di un
dipolo elettrico
Energia di un dipolo magnetico posto in un campo magnetico
Lavoro che occorre fare per portare la spira in posizione
partendo da una situazione prefissata:
Posizione iniziale:
Spira all’infinito , ove il campo magnetico è nullo
Z
Posizione finale:
Spira in un campo uniforme di
valore B0, con la normale
formante un angolo θ con il
campo magnetico
"
Q
N
Y
X
Supponiamo di procedere come segue:
1) mantenendo la spira all’infinito, orientiamola in modo che la
sua normale sia parallela al campo esistente nella posizione
finale,e con due suoi lati nella direzione del punto finale
2) trasciniamola nella posizione finale
3) una volta in posizione, ruotiamola nel modo desiderato
Il lavoro totale sarà la somma dei lavori eseguiti nelle tre fasi
Nella prima non si compie lavoro
nella seconda compiremo lavoro, in quanto il campo non
sarà nullo nella regione attraversata
Z
N
&X
& X
Y
X
V
Dato che lo spostamento avviene lungo l’asse della “x”
al lavoro contribuiranno solo le componenti “x” delle forze
Dette componenti si avranno solo sui tratti della spira diretti
come “y”
F = i dl × B
Esse saranno legate solo alla
componente “z” del campo locale
Z
N
&X
& X
Fx = i a Bz
Y
X
V
La forza da noi esercitata è uguale ed opposta, per cui:
dL = −i a ( Bz ( x ) − Bz ( x − b )) dx
x finale
L = −i a
∫ ( B ( x ) − B ( x − b )) dx
z
z
−∞
x finale
⎡ x finale
⎤
L = −i a ⎢ ∫ Bz ( x ) dx − ∫ Bz ( x − b ) dx ⎥
⎢⎣ −∞
⎥⎦
−∞
x finale −b
x finale
⎡ x finale
⎤
L = −i a ⎢ ∫ Bz ( x ) dx − ∫ Bz ( x ) dx ⎥ = −i a ∫ Bz ( x ) dx
⎢⎣ −∞
⎥⎦
−∞
x finale −b
L = −i a bB0 = − µ B0
Terza fase: orientazione nel campo
dL = −τ ⋅ dθ
θ finale
L=−
∫
τ ⋅ dθ = −
0
ove
θ finale
∫
τ =µ×B
Z
"
µ × B ⋅ dθ
M
T
0
DQ
θ finale
L = µ B0
∫
0
( (
sin (θ ) ⋅ dθ = − µ B0 cos θ finale
Sommando quindi tutti i contributi:
− 1 = − µ ⋅ B + µ B0
) )
L = −µ ⋅ B
come nel caso del dipolo elettrico
Y
X
Sembrerebbe quindi di poter concludere,
in analogia con il caso elettrostatico:
U = −µ ⋅ B
Questa conclusione è errata, e va capito il motivo!
Infatti:
Una caratteristica della forza di Lorentz è quella di non
compiere lavoro
La forza agente su di un filo uguaglia la somma delle forze di
Lorentz agenti sui portatori interni al filo
Se quanto sopra è vero, come è possibile aver ottenuto un
valore finito per il lavoro appena calcolato?
L’errore commesso consiste nell’aver supposto costante il valore
della corrente durante tutto il trasferimento della spira
La corrente non poteva restare invariata
"
V
M
V
A causa della velocità di rotazione, sui portatori
posti nel tratto verticale agisce una forza
uscente, che tende quindi ad aumentare la
velocità di deriva
A causa della velocità di rotazione, sui portatori
posti nel tratto verticale agisce una forza
entrante, che tende quindi ad aumentare la
velocità di deriva
Cosa accade?
qv × B
La forza agente su ciascun portatore è:
Forza applicata dall’esterno:
La potenza applicata sarà:
Come si vede :
−qv × B
W = −q v ⋅ v × B
(
)
W = −q v ⋅ v × B = 0
(
)
Ora la velocità del portatore origina da due fatti:
1) la velocità di deriva lungo il filo
2) il filo si muove
v = vd + v f
W = −q vd + v f ⋅ vd + v f × B = 0
) ((
(
) )
sviluppando:
W = −q vd ⋅ v f × B − q v f ⋅ vd × B = 0
(
)
(
)
Cosa rappresenta il secondo termine, una volta
sommato su tutte le particelle in moto?
q
v
⋅
v
×
B
=
v
∑ f d
f ⋅
(
)
(
∑ qvd × B = v f ⋅ i dl × B
)
(
Esso è il termine usato nel calcolo
)
Il calcolo è errato in quanto è stato omesso il primo
Cosa rappresenta
q vd ⋅ v f × B ?
Esso è finito se la forza
(
)
qv f × B
ha componente lungo il filo
Se questo accade essa farà variare la velocità di deriva e
quindi la corrente
Agendo dall’esterno del filo, non avremmo mai modo di
poterci opporre a tale forza, e quindi non potremmo mai
esercitare sui portatori di carica una forza uguale e contraria a
quella di Lorentz
Per mantenere costante la corrente, è quindi necessario inserire
nel circuito un apparato in grado di scambiare energia con i
portatori.
Esso dovrà estrarre energia quando questa tenda ad aumentare
e fornirne qualora tenda a diminuire.
Un tale apparato prende il nome di “generatore di corrente”
La somma dei lavori fatti dal generatore e da chi sposta il
circuito è nulla, non i lavori che separatamente i due soggetti
compiono
Lavoro meccanico
Lm = − µ ⋅ B
Lavoro generatore
Lg = + µ ⋅ B
Dovremmo concludere che la variazione di energia del
sistema è nulla?
No! in quanto vi è una ulteriore grandezza che abbiamo
erroneamente supposto costante a prescindere da
opportuni interventi
Essa è il campo magnetico esterno
Il campo sarà infatti generato da circuiti elettrici.
I portatori di carica presenti in essi subiscono delle forze a
causa dell’avvicinarsi della spira.
Un secondo generatore di corrente è quindi necessario per
mantenere costante il campo
Avremo quindi:
(
)
U = Ltot = Lspira + Lg.B = Lm + Lg + Lg.B
Se, invece di spostare la spira verso il generatore di campo
magnetico, avessimo spostato il generatore di campo verso
la spira avremmo avuto:
(
U = Ltot = Lspira + Lg.B = Lg + Lm + Lg.B
Da cui si vede come
)
Lg.B = −Lm
Si ricava quindi: U = ( Lm + Lg ) + Lg.B = 0 + Lg.B
Concludendo:
U = +µ ⋅ B
Che significato dare a
= −Lm = + µ ⋅ B
rappresenta l’energia del sistema
−µ ⋅ B
?
Rappresenta il solo lavoro meccanico
Rappresenta l’intera energia quando vi siano motivi fisici che
impediscano ai momenti di dipolo magnetico di cambiare
