Il Monopolio 2a parte. - Dipartimento di Matematica

Il Monopolio
2a parte.
Monopolio naturale
e
Discriminazione dei prezzi
Mario Sportelli
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Bari
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1
Monopolio naturale.
Se il monopolio è inefficiente nel senso di Pareto, il governo
potrebbe regolamentare il mercato, imponendo l’applicazione di un
prezzo socialmente efficiente (pc = MC).
 Definizione 1: Un mercato monopolistico configura una situazione
di monopolio naturale quando l’applicazione di un prezzo
socialmente efficiente genera una perdita per l’impresa.
Un monopolio naturale è caratterizzato da una produzione che richiede elevati
costi fissi e bassi costi marginali. L’incidenza dei costi fissi è tale che il costo
unitario (costo medio) della produzione socialmente efficiente è inferiore al
prezzo che garantisce l’efficienza allocativa. L’imposizione di un tale prezzo,
pertanto, genererebbe una perdita per l’impresa.
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Monopolio naturale e regolamentazione.
Per accertare l’esistenza di un
monopolio naturale occorre che sia
verificata la seguente:
R( yc ) < C ( yc ) ⇔ pc < AC ( yc )
 Regolamentazione – I settori produttivi
che configurano situazioni di monopolio
naturale sono generalmente di interesse
pubblico. E’ per questo che tali settori sono
regolamentati dallo Stato.


Imposizione del prezzo pc : In questi casi, la
produzione può essere gestita da un’impresa
pubblica e le perdite compensate dal governo.
Imposizione del prezzo p’ = AC : Il prezzo p’ è
un prezzo regolamentato che assicura
all’impresa profitti nulli. Poiché pm > p’ > pc ,
si dice che la scelta di p’ è una soluzione di
second best.
pm ⇒ Π > 0
pc ⇒ Π < 0
p '⇒ Π =0
3
La discriminazione dei prezzi.
 Osservazione 1: Il monopolista produce un
output socialmente inefficiente, perché la
produzione di unità addizionali oltre ym
determinerebbe una riduzione del prezzo
di tutte le unità prodotte. Di conseguenza,
il suo margine di profitto diminuirebbe.
Se il monopolista ha la possibilità di
vendere la produzione oltre ym a prezzi più
bassi, senza alterare il prezzo delle unità
fino a ym , allora il suo profitto potrebbe
crescere ulteriormente.
Quando tale possibilità esiste, si dice che il
monopolista applica una discriminazione
dei prezzi.

Osservazione 2: la discriminazione può
accrescere o ridurre il benessere dei
consumatori.
4
La discriminazione dei prezzi.
• Discriminare i prezzi significa vendere unità dello stesso bene
a prezzi diversi a diversi consumatori.
• La discriminazione è una strategia di vendita percorribile
quando p > MC.
• L’unica difficoltà che l’impresa incontra nell’attuare la
discriminazione consiste nel selezionare i consumatori. Quando
l’elemento discriminante è esogeno (età, categoria di
appartenenza) la selezione è semplice. Quando l’elemento
discriminante è endogeno, la selezione dei consumatori è più
complicata, perché l’impresa deve strutturare i prezzi in modo
che i consumatori si auto-selezionino.
5
Forme di discriminazione dei prezzi.
Convenzionalmente si distinguono tre forme di discriminazione.
1.
2.
3.
Discriminazione di primo grado (o perfetta): Questa forma di discriminazione si
ha quando l’impresa vende ciascuna unità del bene a prezzi diversi ai diversi
consumatori, ciascuno dei quali paga il prezzo massimo che è disposto a pagare.
Discriminazione di secondo grado (o determinazione non lineare del prezzo):
Questa forma di discriminazione si ha quando diverse quantità di bene sono
vendute a prezzi diversi ai diversi consumatori, ma chi acquista la stessa quantità
paga lo stesso prezzo (prezzi all’ingrosso). Sempre a questa forma di
discriminazione appartiene il caso in cui il prezzo non dipende dalla quantità
acquistata, ma piuttosto dalla scelta che gli stessi consumatori effettuano autoselezionandosi (tariffa a due stadi).
Discriminazione di terzo grado: Questa forma di discriminazione è applicata
quando i consumatori sono selezionabili a priori in diverse categorie. In questo
caso, l’impresa vende il bene a prezzi diversi alle diverse categorie di
consumatori, ma consumatori appartenenti alla stessa categoria pagano lo stesso
prezzo.
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Modellare la discriminazione dei prezzi.
Ipotesi:
1) Costo marginale di produzione costante = c. Costi fissi nulli.
2) Uno o due consumatori rappresentativi con funzioni di utilità
ui ( x) + y (i =
1, 2)
tale che ui (0) = 0 .
3) Massima disponibilità a pagare per la quantità x del bene = ri (x). In
altri termini, ri (x) è la soluzione dell’uguaglianza
ui (0) + =
y ui ( x) − ri ( x) + y ⇒ ui ( x=
) ri ( x)
4) Disponibilità marginale a pagare per una unità di x = pri ( x) = ui′( x) .
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Modellare la discriminazione dei prezzi.
5) Quando i consumatori sono due, assumeremo:
a) disponibilità totale a pagare tale che
u1 ( x) < u2 ( x) ∀x
b) disponibilità marginale a pagare tale che
u1′( x) < u2′ ( x) ∀x
Diremo, pertanto, che l’agente 2 è il consumatore con domanda
elevata, mentre 1 è il consumatore con basso livello di domanda.
8
La discriminazione di primo grado.
La pratica del prezzo “prendere o lasciare”: Il consumatore può scegliere di
acquistare la quantità y*, oppure rinunciare al consumo. L’impresa deve scegliere
una combinazione prezzo-quantità (p, y*) che le assicuri il massimo profitto
subordinatamente al vincolo di partecipazione u(y*) ≥ r(y*) del consumatore.
Formalmente il problema del monopolista è il seguente:
=
max Π max ( r ( y* ) − C ( y* ) )
( pr , y )
sub u ( y* ) ≥ r ( y* )
dove r(y*) è la disponibilità totale a pagare del consumatore per la quantità y*.
Il vincolo di partecipazione implica che il consumatore deve realizzare un surplus
netto non negativo acquistando y*. Il monopolista applica il prezzo più alto senza
indurre il consumatore a rinunciare al consumo. Pertanto, il vincolo risulterà
soddisfatto quando u(y*) = r(y*), ossia quando il surplus netto del consumatore è
nullo. Inserendo questa condizione nella funzione profitto, segue che:
max ( u( y * ) − C ( y * ) ) ⇒ u′( y * ) =
MC ( y * )
9
La discriminazione di primo grado.
 Osservazione 3: Il prezzo “prendere o lasciare”
genera un equilibrio in cui u’(y*) = MC(y*).
Ciò implica che l’equilibrio è pareto-efficiente,
ma poiché u(y*) = r(y*), il monopolista si è
appropriato dell’intero surplus del
consumatore. Il surplus sociale è, quindi, solo
del monopolista.
Un’altra forma di discriminazione di primo
grado assume che il consumatore paghi il
proprio prezzo di riserva per l’acquisto delle
singole unità di bene.
Dal punto di vista del monopolista, pertanto,
sarà conveniente produrre tutte le unità
vendibili a un prezzo non inferiore al costo
marginale. Questa assunzione implica che la
funzione di domanda si identifica con il ricavo
marginale e, pertanto, il ricavo totale risulterà
dalla somma dei prezzi percepiti per le singole
unità. Anche in questo caso, il surplus sociale è
solo del monopolista.
n
R = ∑ p r ( yi )
i =1
che, nel continuo, diviene
yn
R = ∫ pr (τ )dτ
0
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La discriminazione di secondo grado.
In questa forma di discriminazione il monopolista fronteggia due vincoli:
i. il vincolo di partecipazione – ciascun consumatore deve realizzare un
surplus netto non negativo per essere indotto ad acquistare il bene;
ii. il vincolo di incentivazione – ciascun consumatore deve preferire la
propria scelta a quella degli altri consumatori.
Consideriamo due soli consumatori: il primo con disponibilità totale e
marginale a pagare inferiori a quelle del secondo consumatore.
Questa proprietà è nota come “single crossing property” ed implica che
per ogni coppia di curve d’indifferenza degli agenti (u1 , u2 ) , tali curve
possono intersecarsi tutt’al più una sola volta.
Il problema del monopolista consiste nello scegliere una funzione nonlineare p(x) tale che, se il consumatore i acquista xi , la sua spesa ri(xi) =
p(xi)xi sia massima.
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La discriminazione di secondo grado.
Se la spesa dei consumatori è massima, il ricavo del monopolista è
massimo e, quindi, dato il costo, anche il profitto è massimo.
Pertanto, sia per il monopolista che per i consumatori, ciò che è
rilevante è la combinazione (ri , xi).
Formalmente, i vincoli fronteggiati dal monopolista sono:
u1 ( x1 ) − r1 ≥ 0 
 vincoli di partecipazione
u2 ( x2 ) − r2 ≥ 0 
u1 ( x1 ) − r1 ≥ u1 ( x2 ) − r2 
 vincoli di incentivazione o auto-selezione
u2 ( x2 ) − r2 ≥ u2 ( x1 ) − r1 
Il piano di produzione (x1, x2) è perseguibile se esso è volontariamente scelto dai consumatori. Ciò equivale a dire che ogni
consumatore deve preferire la propria scelta a quella dell’altro.
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La discriminazione di secondo grado.
Riscriviamo i vincoli precedenti in maniera più funzionale alla
soluzione del problema del monopolista:
r1 ≤ u1 ( x1 )
(1.1)
r1 ≤ u1 ( x1 ) − u1 ( x2 ) + r2
(1.2)
e
r2 ≤ u2 ( x2 )
(2.1)
r2 ≤ u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) + r1
(2.2)
Il monopolista deve scegliere (r1, r2) più grande possibile. Ciò
implica che solo una disuguaglianza per ciascuna coppia potrà
essere soddisfatta come uguaglianza. Le ipotesi u2 > u1 e u2′ > u1′
sono sufficienti per determinare quali disuguaglianze saranno
soddisfatte come uguaglianze.
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La discriminazione di secondo grado.
Accertato quali disuguaglianze sono soddisfatte come uguaglianze, la
funzione di profitto del monopolista diviene:
Π=
[ r1 − cx1 ] + [ r2 − cx2 ]=
[u1 ( x1 ) − cx1 ] + [u2 ( x2 ) − u2 ( x1 ) + u1 ( x1 ) − cx2 ]
Dalla condizione del primo ordine per il massimo deduciamo(*):
u1′( x1 ) =
c + [u2′ ( x1 ) − u1′( x1 ) ] > c
u2′ ( x2 ) = c
Ciò implica che il consumatore 1 a bassa domanda ha un valore
marginale del bene che eccede il costo marginale e, quindi, consuma
meno della quantità efficiente. Il secondo consumatore, invece,
consuma una quantità efficiente.
(*) La condizione del secondo ordine è sicuramente soddisfatta, perché le utilità marginali
sono decrescenti.
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La discriminazione di secondo grado.
 Osservazione 4 – Se la “single crossing property” fosse non
soddisfatta, il consumatore 1 consumerebbe più della quantità
efficiente. Questo potrebbe accadere, ma il risultato sarebbe
alquanto singolare.
Il risultato relativo al consumatore 2 è molto generale. Se, per
assurdo, il consumatore 2 pagasse un prezzo maggiore del costo
marginale, il monopolista avrebbe convenienza a ridurre il prezzo,
inducendo l’agente a consumare di più. Finché il prezzo eccede il
costo marginale, il monopolista ottiene profitti positivi per ogni
unità addizionale venduta. Questa politica non altera i profitti che il
monopolista ottiene da ogni altro consumatore del tipo 1.
Quest’ultimo massimizza il suo consumo ad un livello basso.
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La discriminazione di terzo grado.
Questa forma di discriminazione è applicata quando l’elemento
discriminante è endogeno, ossia quando i consumatori sono a priori
selezionabili in diverse categorie (studenti, anziani, enti, ecc.).
Con la discriminazione di terzo grado, il monopolista vende la propria
produzione a prezzi diversi alle diverse categorie di consumatori.
Nell’ipotesi che le categorie di consumatori siano solo due, il problema di
massimizzazione del profitto è il seguente:
max
=
( Π R1 ( y1 ) + R2 ( y2 ) − C (Y ) )
y1 , y2
dove Y = y1 + y2. Risolvendo, otteniamo:
∂C ∂Y
 ∂Π
=
MR
−
=
0
1
 ∂y
∂Y ∂y1
 1

∂C ∂Y
 ∂Π =
−
=
MR2
0
 ∂y2
∂Y ∂y2
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La discriminazione di terzo grado.
Y ∂Y
∂C
Essendo ∂=
= 1 e = MC unico, segue che
∂y1
∂y2
∂Y
MR
=
MR
=
MC
1
2
Con la discriminazione di terzo grado, la massimizzazione del
profitto richiede che l’impresa venda a ciascuna categoria di
consumatori una quantità tale da uguagliare i ricavi marginali al
costo marginale di produzione.
Riscrivendo i ricavi marginali in termini di elasticità, risulta:


1 
1 
p1  1 −
p
1
=
−


2
ε
ε
1 
2 


da cui deduciamo che p1 > p2 ⇒ ε1 < ε 2 ossia, che la categoria
di consumatori con domanda meno elastica paga il prezzo più alto.
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La discriminazione di terzo grado.
Se il monopolista non è in grado di selezionare a priori i consumatori, pur essendo
plausibile che più categorie di consumatori esistano, allora il prezzo applicato a
una categoria di consumatori può influenzare la domanda delle altre categorie di
consumatori. Ciò implica che y1 e y2 devono essere considerati come beni sostituti.
Pertanto, il profitto del monopolista diviene:
=
Π p1 ( y1 , y2 ) y1 + p2 ( y1 , y2 ) y2 − C (Y )
Derivando e manipolando il risultato, otteniamo:

p1 1 −


p2 1 −

1  ∂p2
y2 =
MC
 +
ε1  ∂y1
1  ∂p1
y =
MC
+
ε 2  ∂y2 1
Nell’ipotesi che le funzioni di utilità degli agenti siano quasi lineari, l’ effetto
incrociato dei prezzi è simmetrico e, quindi, ∂p1 ∂y2 =
∂p2 ∂y1 . Essendo queste
derivate positive, deduciamo facilmente che, anche in questo caso, | ε2| > | ε1|
implica p1 > p2 .
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