Compito sull`Integrale indefinito (1)

Verica di Matematica sull'Integrale
indenito [1]
1. Calcolare i seguenti integrali indeniti:
(a)
Z
x ln(x2 )dx
(b)
Z
(c)
2 (x)
2 sin(x)etan
cos3 (x)
Z
dx
x
dx
x2 − 5x + 6
2. Rispondere alle seguenti richieste:
(d) dare la denizione di primitiva di una funzione f (x) nell'intervallo
[a, b];
(e) scrivere la denizione di integrale indenito di una funzione;
(f) calcolare una primitiva della funzione f (x) = e2x + 2.
Valutazione esercizi:
1. punti 5
2. punti 3
3. punti 2
1
Verica di Matematica sull'Integrale
indenito [2]
1. Calcolare i seguenti integrali indeniti:
(a)
Z
x3 ln(x)dx
(b)
Z
2
2
2
4xex sin(ex ) cos(ex )dx
(c)
Z
x2
x+2
dx
+ 2x + 4
2. Rispondere alle seguenti richieste:
(d) quale condizione è necessaria e suciente anché una funzione
f (x) ammetta primitive nell'intervallo [a, b]?
(e) cosa s'intende per funzioni non elementarmente integrabili?
(f) calcolare una primitiva della funzione f (x) = x5 − 4.
Valutazione esercizi:
1. punti 5
2. punti 3
3. punti 2
2
Parte I
Correzione Compito [1]
1. (a) Posto
Z
x ln(x2 )dx
Γ=
possiamo procedere ad una integrazione per parti di Γ prendendo
come fattore nito g(x) = ln(x2 ) =⇒ g 0 (x) = 2/x e, come fattore
dierenziale, f 0 (x) = x =⇒ g(x) = x2 /2.
Ricordiamo la formula d'integrazione per parti:
Z
Z
f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g 0 (x)dx
(1)
Applicando la (1) al calcolo di Γ, si ha:
Z 2
Z
x2
x 2
x2
x2
x2
Γ=
ln(x) −
· dx =
ln(x) − xdx =
ln(x) −
2
2 x
2
2
2
da cui, mettendo x2 /2 in evidenza, si ha:
i
x2 h
ln(x2 ) − 1 .
2
Γ=
(b) Procediamo ad una integrazione per sostituzione. Posto t = tan2 (x)
da cui dt =
Z
2 tan(x)
dx,
cos2 (x)
Z
2 (x)
2 sin(x)etan
cos3 (x)
si ha
Z
2 sin(x)etan (x)
2 tan(x)etan
dx =
cos(x) cos2 (x)
cos2 (x)
2
dx =
2 (x)
Z
2 (x)
et dt = (et + c)|t=tan2 (x) = etan
=
dx =
+c
In denitiva,
Z
2 (x)
2 sin(x)etan
cos3 (x)
2 (x)
dx = etan
+ c.
Si noti che l'integrale dato può considerarsi anche quasi immediato. Infatti:
Z
Z
2 (x)
2 sin(x)etan
cos3 (x)
dx =
Z
=
2 (x)
d(etan
3
2 (x)
2 tan(x)etan
cos2 (x)
2 (x)
) = etan
+c
dx =
(c) La funzione integranda è algebrica razionale fratta. Il denomina-
tore si fattorizza come x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Scriviamo la
funzione integranda come
x2
da cui
x
A
B
=
+
− 5x + 6
x−2 x−3
x
Ax − 3A + Bx − 2B
=
x2 − 5x + 6
x2 − 5x + 6
ovvero
x = (A + B)x − 3A − 2B
Da ciò segue, per il principio d'identità dei polinomi,
(
A+B =1
=⇒
−3A − 2B = 0
Dunque,
x2
(
A+B =1
=⇒
3A + 2B = 0
(
A = −2
B = +3
x
2
3
=−
+
− 5x + 6
x−2 x−3
per cui
Z
Z
Z
x
1
1
dx
=
−2
dx
+
3
dx =
2
x − 5x + 6
x−2
x−3
|x − 3|3
+c
(x − 2)2
avendo sfruttato la proprietà di linearità dell'integrale nello scrivere la seconda uguaglianza e le proprietà dei logaritmi nello scrivere l'ultima.
= −2 ln |x − 2| + 3 ln |x − 3| + c = ln
2. (d) Sia f (x) una funzione denita nell'intervallo [a, b]. Una primitiva
di f è una funzione F (x) tale che risulti F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ [a, b].
R
(e) L'integrale indenito di una funzione f (x), in simboli f (x)dx, è
dato da una famiglia di primitive di f ovvero da innite primitive
dierenti per una costante:
Z
f (x)dx = F (x) + c
dove F 0 (x) = f (x) e c è una costante detta costante d'integrazione.
(f) Una primitiva della funzione f (x) = e2x + 2 è, ad esempio,
1
F (x) = e2x + 2x.
2
4
Parte II
Correzione Compito [2]
1. (a) Posto
Z
x ln(x2 )dx
Φ=
procediamo ad una integrazione per parti di Φ prendendo come
fattore nito g(x) = ln(x) =⇒ g 0 (x) = 1/x e, come fattore
dierenziale, f 0 (x) = x3 =⇒ g(x) = x4 /4.
Applicando la 1 al calcolo di Φ, si ha:
Z 4
x4
x 1
x4
1Z 3
x4
x4
Φ=
ln(x) −
· dx =
ln(x) −
x dx =
ln(x) −
4
4 x
4
4
4
16
da cui, mettendo x4 /4 in evidenza, si ha:
·
¸
1
x4
ln(x) −
+ c.
Φ=
4
4
(b) Procediamo ad una integrazione per sostituzione. Posto u = ex
2
2
da cui du = 2xex dx, si ha
Z
x2
x2
Z
x2
4xe sin(e ) cos(e )dx =
Z
2 sin(u) cos(u)du = 2
sin(u) cos(u)du
L'ultimo integrale è del tipo
Z
[f (u)]n f 0 (u)du =
[f (u)]n+1
+c
n+1
con [f (u)]n = sin(u), f (u) = cos(u). Dunque,
Z
2
sin(u) cos(u)du = 2
sin2 (u)
+ c = sin2 (u) + c
2
e, in denitiva,
Z
2
2
2
2
4xex sin(ex ) cos(ex )dx = sin2 (ex ) + c.
Si noti che l'integrale dato può considerarsi anche quasi immediato. Infatti:
Z
2
2
Z
2
4xex sin(ex ) cos(ex )dx =
5
2
2
2
2 sin(ex )d(sin(ex )) = sin2 (ex )+c
(c) La funzione integranda è algebrica razionale fratta. Il denomina-
tore non possiede zeri reali: x2 + 2x + 4 6= 0 per ogni x reale.
Scrivendo 2 come 1 + 1 al numeratore della funzione integranda e
chiamando = l'integrale, si ha:
Z
Z
Z
x+2
x+1+1
(x + 1) + 1
dx
=
dx
=
dx =
x2 + 2x + 4
x2 + 2x + 4
x2 + 2x + 4
¶
Z µ
x+1
1
+
dx =
x2 + 2x + 4 x2 + 2x + 4
Z
Z
x+1
1
dx
+
dx
2
2
x + 2x + 4
x + 2x + 4
Per quanto riguarda il primo degli ultimi due integrali scritti,
moltiplicando e dividendo per 2, si ha:
==
Z
x+1
1Z
2x + 2
dx
=
dx = ln |x2 + 2x + 4| + c
2
2
x + 2x + 4
2 x + 2x + 4
mentre per il secondo, essendo x2 + 2x + 4 = x2 + 2x + 1 + 3 =
(x + 1)2 + 3, si ha:
Z
Z
1
1
1Z
1
dx =
dx
=
dx
=
2
(x+1)
2
2
x + 2x + 4
(x + 1) + 3
3
+
1
3
√
!
Ã
Z
1
3
1
x+1
=
arctan √
+c
dx =
³
´2
x+1
3
3
3
√
+
1
3
Ne segue
√
Ã
!
x+1
3
+c
arctan √
= = ln |x2 + 2x + 4| +
3
3
2. (d) Sia f (x) una funzione denita nell'intervallo [a, b]. Una primitiva
di f è una funzione F (x) tale che risulti F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ [a, b].
R
(e) L'integrale indenito di una funzione f (x), in simboli f (x)dx, è
dato da una famiglia di primitive di f ovvero da innite primitive
dierenti per una costante:
Z
f (x)dx = F (x) + c
dove F 0 (x) = f (x) e c è una costante detta costante d'integrazione.
(f) Una primitiva della funzione f (x) = e2x + 2 è, ad esempio,
1
F (x) = e2x + 2x.
2
6