Verica di Matematica sull'Integrale indenito [1] 1. Calcolare i seguenti integrali indeniti: (a) Z x ln(x2 )dx (b) Z (c) 2 (x) 2 sin(x)etan cos3 (x) Z dx x dx x2 − 5x + 6 2. Rispondere alle seguenti richieste: (d) dare la denizione di primitiva di una funzione f (x) nell'intervallo [a, b]; (e) scrivere la denizione di integrale indenito di una funzione; (f) calcolare una primitiva della funzione f (x) = e2x + 2. Valutazione esercizi: 1. punti 5 2. punti 3 3. punti 2 1 Verica di Matematica sull'Integrale indenito [2] 1. Calcolare i seguenti integrali indeniti: (a) Z x3 ln(x)dx (b) Z 2 2 2 4xex sin(ex ) cos(ex )dx (c) Z x2 x+2 dx + 2x + 4 2. Rispondere alle seguenti richieste: (d) quale condizione è necessaria e suciente anché una funzione f (x) ammetta primitive nell'intervallo [a, b]? (e) cosa s'intende per funzioni non elementarmente integrabili? (f) calcolare una primitiva della funzione f (x) = x5 − 4. Valutazione esercizi: 1. punti 5 2. punti 3 3. punti 2 2 Parte I Correzione Compito [1] 1. (a) Posto Z x ln(x2 )dx Γ= possiamo procedere ad una integrazione per parti di Γ prendendo come fattore nito g(x) = ln(x2 ) =⇒ g 0 (x) = 2/x e, come fattore dierenziale, f 0 (x) = x =⇒ g(x) = x2 /2. Ricordiamo la formula d'integrazione per parti: Z Z f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g 0 (x)dx (1) Applicando la (1) al calcolo di Γ, si ha: Z 2 Z x2 x 2 x2 x2 x2 Γ= ln(x) − · dx = ln(x) − xdx = ln(x) − 2 2 x 2 2 2 da cui, mettendo x2 /2 in evidenza, si ha: i x2 h ln(x2 ) − 1 . 2 Γ= (b) Procediamo ad una integrazione per sostituzione. Posto t = tan2 (x) da cui dt = Z 2 tan(x) dx, cos2 (x) Z 2 (x) 2 sin(x)etan cos3 (x) si ha Z 2 sin(x)etan (x) 2 tan(x)etan dx = cos(x) cos2 (x) cos2 (x) 2 dx = 2 (x) Z 2 (x) et dt = (et + c)|t=tan2 (x) = etan = dx = +c In denitiva, Z 2 (x) 2 sin(x)etan cos3 (x) 2 (x) dx = etan + c. Si noti che l'integrale dato può considerarsi anche quasi immediato. Infatti: Z Z 2 (x) 2 sin(x)etan cos3 (x) dx = Z = 2 (x) d(etan 3 2 (x) 2 tan(x)etan cos2 (x) 2 (x) ) = etan +c dx = (c) La funzione integranda è algebrica razionale fratta. Il denomina- tore si fattorizza come x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Scriviamo la funzione integranda come x2 da cui x A B = + − 5x + 6 x−2 x−3 x Ax − 3A + Bx − 2B = x2 − 5x + 6 x2 − 5x + 6 ovvero x = (A + B)x − 3A − 2B Da ciò segue, per il principio d'identità dei polinomi, ( A+B =1 =⇒ −3A − 2B = 0 Dunque, x2 ( A+B =1 =⇒ 3A + 2B = 0 ( A = −2 B = +3 x 2 3 =− + − 5x + 6 x−2 x−3 per cui Z Z Z x 1 1 dx = −2 dx + 3 dx = 2 x − 5x + 6 x−2 x−3 |x − 3|3 +c (x − 2)2 avendo sfruttato la proprietà di linearità dell'integrale nello scrivere la seconda uguaglianza e le proprietà dei logaritmi nello scrivere l'ultima. = −2 ln |x − 2| + 3 ln |x − 3| + c = ln 2. (d) Sia f (x) una funzione denita nell'intervallo [a, b]. Una primitiva di f è una funzione F (x) tale che risulti F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ [a, b]. R (e) L'integrale indenito di una funzione f (x), in simboli f (x)dx, è dato da una famiglia di primitive di f ovvero da innite primitive dierenti per una costante: Z f (x)dx = F (x) + c dove F 0 (x) = f (x) e c è una costante detta costante d'integrazione. (f) Una primitiva della funzione f (x) = e2x + 2 è, ad esempio, 1 F (x) = e2x + 2x. 2 4 Parte II Correzione Compito [2] 1. (a) Posto Z x ln(x2 )dx Φ= procediamo ad una integrazione per parti di Φ prendendo come fattore nito g(x) = ln(x) =⇒ g 0 (x) = 1/x e, come fattore dierenziale, f 0 (x) = x3 =⇒ g(x) = x4 /4. Applicando la 1 al calcolo di Φ, si ha: Z 4 x4 x 1 x4 1Z 3 x4 x4 Φ= ln(x) − · dx = ln(x) − x dx = ln(x) − 4 4 x 4 4 4 16 da cui, mettendo x4 /4 in evidenza, si ha: · ¸ 1 x4 ln(x) − + c. Φ= 4 4 (b) Procediamo ad una integrazione per sostituzione. Posto u = ex 2 2 da cui du = 2xex dx, si ha Z x2 x2 Z x2 4xe sin(e ) cos(e )dx = Z 2 sin(u) cos(u)du = 2 sin(u) cos(u)du L'ultimo integrale è del tipo Z [f (u)]n f 0 (u)du = [f (u)]n+1 +c n+1 con [f (u)]n = sin(u), f (u) = cos(u). Dunque, Z 2 sin(u) cos(u)du = 2 sin2 (u) + c = sin2 (u) + c 2 e, in denitiva, Z 2 2 2 2 4xex sin(ex ) cos(ex )dx = sin2 (ex ) + c. Si noti che l'integrale dato può considerarsi anche quasi immediato. Infatti: Z 2 2 Z 2 4xex sin(ex ) cos(ex )dx = 5 2 2 2 2 sin(ex )d(sin(ex )) = sin2 (ex )+c (c) La funzione integranda è algebrica razionale fratta. Il denomina- tore non possiede zeri reali: x2 + 2x + 4 6= 0 per ogni x reale. Scrivendo 2 come 1 + 1 al numeratore della funzione integranda e chiamando = l'integrale, si ha: Z Z Z x+2 x+1+1 (x + 1) + 1 dx = dx = dx = x2 + 2x + 4 x2 + 2x + 4 x2 + 2x + 4 ¶ Z µ x+1 1 + dx = x2 + 2x + 4 x2 + 2x + 4 Z Z x+1 1 dx + dx 2 2 x + 2x + 4 x + 2x + 4 Per quanto riguarda il primo degli ultimi due integrali scritti, moltiplicando e dividendo per 2, si ha: == Z x+1 1Z 2x + 2 dx = dx = ln |x2 + 2x + 4| + c 2 2 x + 2x + 4 2 x + 2x + 4 mentre per il secondo, essendo x2 + 2x + 4 = x2 + 2x + 1 + 3 = (x + 1)2 + 3, si ha: Z Z 1 1 1Z 1 dx = dx = dx = 2 (x+1) 2 2 x + 2x + 4 (x + 1) + 3 3 + 1 3 √ ! Ã Z 1 3 1 x+1 = arctan √ +c dx = ³ ´2 x+1 3 3 3 √ + 1 3 Ne segue √ Ã ! x+1 3 +c arctan √ = = ln |x2 + 2x + 4| + 3 3 2. (d) Sia f (x) una funzione denita nell'intervallo [a, b]. Una primitiva di f è una funzione F (x) tale che risulti F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ [a, b]. R (e) L'integrale indenito di una funzione f (x), in simboli f (x)dx, è dato da una famiglia di primitive di f ovvero da innite primitive dierenti per una costante: Z f (x)dx = F (x) + c dove F 0 (x) = f (x) e c è una costante detta costante d'integrazione. (f) Una primitiva della funzione f (x) = e2x + 2 è, ad esempio, 1 F (x) = e2x + 2x. 2 6