Anteprima Estratta dall' Appunto di
Meccanica razionale
Università : Università Degli Studi Di Foggia
Facoltà : Ingegneria
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L' Appunto
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Universitµ
a di Modena e Reggio Emilia
Facoltµ
a di Ingegneria - sede di Modena
e.c
di
om
ESERCIZI
AB
Ct
rib
MECCANICA RAZIONALE A
Docente: Prof. Valter Franceschini
Corsi di Laurea in Ingegneria (NOD)
- a.a. 2005/06 -
ABCtribe.com - [Pagina 3]
1. ESERCIZI DI CALCOLO VETTORIALE
Esercizio 1.1 Dimostrare il teorema di Carnot.
Consideriamo un triangolo ABC di lati a = BC, b = AC,
d ¯ = ABC,
d ° = ACB.
d Si puµo
c = AB e angoli ® = BAC,
scrivere
B ¡ C = (B ¡ A) + (A ¡ C) :
(E1:1)
Facciamo il quadrato di ambi i membri (moltiplicando scalarmente ciascun membro per se stesso):
(B ¡ C) ¢ (B ¡ C) = (B ¡ A) ¢ (B ¡ A) + (A ¡ C) ¢ (A ¡ C) + 2(B ¡ A) ¢ (A ¡ C) ;
om
e quindi
(B ¡ C)2 = (B ¡ A)2 + (A ¡ C)2 + 2(B ¡ A) ¢ (A ¡ C)
e.c
+
a2 = c2 + b2 + 2cb cos(¼ ¡ ®)
rib
+
Ct
a2 = b2 + c2 ¡ 2bc cos ® :
AB
Si µe cosµ³ ottenuto il (ben noto) teorema di Carnot: in un triangolo il quadrato di un lato µe uguale
alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio del prodotto di questi due moltiplicato
per il coseno dell'angolo fra essi compreso.
Esercizio 1.2 Dimostrare il teorema dei seni.
Consideriamo ancora il triangolo ABC e l'equazione (E1:1). Moltiplicando vettorialmente a destra
ambo i membri per (A ¡ C) otteniamo
(B ¡ C) £ (A ¡ C) = (B ¡ A) £ (A ¡ C) + (A ¡ C) £ (A ¡ C) :
Osservato che il prodotto piµ
u a destra µe nullo, consideriamo i moduli dei due membri, che ovviamente sono uguali:
ab sin ° = cb sin(¼ ¡ ®) :
Essendo sin(¼ ¡ ®) = sin ®, ne segue
a
c
=
:
sin ®
sin °
Se invece si moltiplica vettorialmente la (E1:1) a destra per (B ¡ A), con calcoli del tutto analoghi
si ottiene
a
b
=
:
sin ®
sin ¯
163
ABCtribe.com - [Pagina 4]
Mettendo insieme i due risultati si ha il (ben noto) teorema dei seni
a
b
c
=
=
;
sin ®
sin ¯
sin °
ossia: in un triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
Esercizio 1.3 Dati due vettori a e b che formano un
angolo °, determinare il modulo della loro somma e
gli angoli ® e ¯ che essa forma con a e b.
Consideriamo il triangolo ABC con a = B ¡ A e
b = C ¡ B, per cui a + b = C ¡ A. Applicandovi il
teorema di Carnot si ha
om
¡
¢1
1
ja + bj = a2 + b2 ¡ 2ab cos(¼ ¡ °) 2 = (a2 + b2 + 2ab cos °) 2 :
Per il teorema dei seni
b
ja + bj
=
sin ®
sin(¼ ¡ °)
rib
Analogamente si ottiene
sin ® =
e.c
=)
b sin °
+
a sin °
(a2
+
b2
1
+ 2ab cos °) 2
b2
1
+ 2ab cos °) 2
:
:
Ct
sin ¯ =
(a2
AB
Esercizio 1.4 Il vettore a di modulo 3 forma con l'asse x l'angolo ® = ¼4 , con l'asse y l'angolo ¯ =
e con l'asse z un angolo acuto °. Determinare le componenti cartesiane di a e l'angolo °.
Si ha:
p
¼
2
ax = a ¢ i = a cos ® = 3 cos = 3
4
2
¼
3
ay = a ¢ j = a cos ¯ = 3 cos =
3
2
az = a ¢ k = a cos ° :
L'ultima relazione fornisce cos ° =
1
a2y ) 2 , si ha
¼
3
az
; inoltre, essendo a2 = a2x + a2y + a2z , da cui az = §(a2 ¡ a2x ¡
a
³
18 9 ´ 12
3
§ 9¡
¡
§
1
4
4
cos ° =
= 2 =§ :
3
3
2
Tenendo poi conto che ° µe acuto, ne consegue che cos ° µe positivo, il che elimina l'incertezza del
1
segno. Da cos ° = si deduce quindi
2
az =
3
;
2
°=§
¼
:
3
164
ABCtribe.com - [Pagina 5]
Notiamo che cos ° poteva ricavarsi anche attraverso la relazione cos2 ® + cos2 ¯ + cos2 ° = 1 ; da
cui, tenendo di nuovo conto del dato che ° µe acuto,
¡
¢1 ³
1 1 ´ 21
1
cos ° = 1 ¡ cos2 ® ¡ cos2 ¯ 2 = 1 ¡ ¡
= :
2 4
2
Esercizio 1.5 Siano Oxyz e O1 x1 y1 z1 due sistemi di riferimento cartesiani ortogonali, con le rispettive
terne di versori (i; j; k) e (i1 ; j 1 ; k 1 ). Indicate con (a; b; c) le coordinate di O1 rispetto ad Oxyz,
determinare le formule di trasformazione di coordinate da un sistema all'altro.
Siano (x; y; z) e (x1 ; y1 ; z1 ) le coordinate di un qualunque punto P rispetto ad Oxyz e O1 x1 y1 z1 rispettivamente. Il vettore P ¡ O1 , rappresentato rispetto
ad Oxyz, avrµa perciµo l'espressione
om
P ¡ O1 = (x ¡ a)i + (y ¡ b)j + (z ¡ c)k ;
P ¡ O1 = x1 i1 + y1 j 1 + z1 k1 :
e.c
mentre rispetto ad O1 x1 y1 z1 avremo
rib
Uguagliando i due membri destri di queste due relazioni si ottiene
(E1:2)
Ct
x1 i1 + y1 j 1 + z1 k 1 = (x ¡ a)i + (y ¡ a)j + (z ¡ a)k :
AB
Moltiplicando scalarmente ambo i membri di questa uguaglianza per il versore i1 si ottiene
x1 = (x ¡ a) cos xd
d
d
1 x + (y ¡ b) cos x
1 y + (z ¡ c) cos x
1z :
Analogamente, moltiplicando scalarmente per j 1 e k1 si ricavano
y1 = (x ¡ a) cos yd
d
y1 z ;
1 x + (y ¡ b) cos y
1 y + (z ¡ c) cos d
z1 = (x ¡ a) cos zd
1 x + (y ¡ b) cos zc
1 y + (z ¡ c) cos zc
1z :
Le tre relazioni appena ricavate rappresentano le formule di trasformazione dalle coordinate (x; y; z)
alle coordinate (x1 ; y1 ; z1 ). Determiniamo ora le formule inverse. A tal ¯ne, se moltiplichiamo
scalarmente la (E1:2) prima per il versore i, poi per j ed in¯ne per k, otteniamo
x = a + x1 cos xd
d
d
1 x + y1 cos y
1 x + z1 cos z
1x ;
y = b + x1 cos x
d
d
1 y + y1 cos y
1 y + z1 cos zc
1y ;
z = c + x1 cos x
d
y1 z + z1 cos zc
1 z + y1 cos d
1z :
165
ABCtribe.com - [Pagina 6]
2. ESERCIZI DI GEOMETRIA DELLE MASSE
Esercizio 2.1 Calcolare il baricentro del sistema rigido costituito dai tre punti materiali (P1 ; m),
(P2 ; 2m), (P3 ; 2m) con P1 , P2 e P3 formanti un triangolo equilatero di lato `.
Sia Oxy ilppiano del triangolo, con P1 ´O´(0; 0), P2 ´(`; 0)
e P3 ´( 2` ; 23` ). Applicando le (2.5), si ha
m ¢ 0 + 2m ¢ ` + 2m ¢ 2`
3
= `;
5m
5
p
p
3
m ¢ 0 + 2m ¢ 0 + 2m ¢ 2 `
3
=
`:
yG =
5m
5
xG =
e.c
om
Esercizio 2.2 Calcolare il baricentro del sistema costituito da tre aste rigide omogenee, di uguale
lunghezza `, ma di masse diverse: AB di massa 2m; BC di massa m; CA di massa 3m. Le tre
aste sono disposte in modo da formare il triangolo equilatero ABC.
Applicando le (2.5), si ha
AB
Ct
rib
Sia Oxy ilp piano del triangolo, con A´O´(0; 0), B´(`; 0)
e C´( 2` ; 23 `). Essendo ciascuna asta omogenea, il relativo baricentro sta nel punto medio. Di conseguenza, indicati con G1 , G2 e G3 i baricentri rispettivamente di AB,
BC e CA, il sistema materiale equivale al sistema di tre
punti materiali
(G1 ; 2m), (G
; m), (G3 ; 3m), con G1 ´( 2` ; 0),
p
p 2
3
3
1
3
G2 ´( 4 `; 4 `) e G3 ´( 4 `; 4 `).
+ m ¢ 34 ` + 3m ¢ 4`
5
=
`;
6mp
12
p
p
2m ¢ 0 + m ¢ 43 ` + 3m ¢ 43 `
3
yG =
=
`:
6m
6
xG =
2m ¢
`
2
Esercizio 2.3 Calcolare il baricentro di un arco omogeneo di raggio R ed ampiezza ®.
Osserviamo innanzitutto che, se M µe la massa dell'arco e
½0 la sua densitµa (ovviamente costante), avremo M =½0 ®R.
Osserviamo poi che, essendo l'arco omogeneo, l'asse della
corda AB µe un asse di simmetria. Di conseguenza il baricentro sta su tale asse. Sia Oxy il piano della circonferenza
contenente l'arco, con O centro della circonferenza, l'asse
y coincidente con l'asse di simmetria e l'asse x ¯ssato di
conseguenza.
166
ABCtribe.com - [Pagina 7]
In virtµ
u della scelta del riferimento Oxy, si ha
xG = 0 :
Per calcolare yG dobbiamo utilizzare la seconda delle (2.6). Indicato con P un generico punto
d , si ha ¡ ® · µ · ® . L'elemento in¯nitesimo di massa dm che
dell'arco e con µ l'angolo yOP
2
2
contiene il punto P vale ½0 Rdµ; inoltre: yP = R cos µ. Si ha quindi per yG il seguente integrale
curvilineo:
1
yG =
M
Z
B
1
y dm =
M
A
Z
®
2
½0 R2 cos µ dµ =
¡®
2
h
i ®2
2
1
®
½0 R2 sin µ ® =
½0 R2 sin :
M
M
2
¡2
In¯ne, tenendo conto che M = ½0 R®, si ha
yG =
2R sin ®2
:
®
Osserviamo che, nel caso di una semicirconferenza (®=¼), si ha:
yG =
2R
:
¼
om
Esercizio 2.4 Calcolare la massa ed il baricentro di un'asta AB di lunghezza ` e densitµa ½(x) =
k(` + x), con x distanza da A.
rib
e.c
Sia Ox l'asse delle ascisse, con O´A, come in ¯gura.
Osserviamo che, se P µe un generico punto dell'asta,
P ha ascissa x, con 0 · x · `. Inoltre dm = ½(x)dx.
Calcoliamo innanzitutto la massa M dell'asta.
`
Z
`
h
x2 i`
3
k(` + x)dx = k `x +
= k`2 :
2 0
2
Ct
M=
Z
½(x)dx =
0
AB
0
Applicando la prima delle (2.6) otteniamo:
xG =
1
M
Z
0
`
x½(x)dx =
1
M
Z
`
kx(` + x)dx =
0
k h x2
x3 i`
5k`3
5
` +
=
= `:
M 2
3 0
6M
9
Esercizio 2.5 Calcolare il baricentro di un settore circolare omogeneo di raggio R e ampiezza ®.
Osserviamo innanzitutto che, se M µe la massa del settore e ½0 la sua densitµa (costante), essendo
½0 ®R2
®R2
. Osserviamo poi che la retta contenente il raggio che divide
2 l'area del settore, si ha M =
2
il settore in due parti uguali µe un asse di simmetria. Di conseguenza il baricentro sta su tale asse.
Sia Oxy il piano del cerchio di cui fa parte il settore, con
O centro della circonferenza, l'asse y coincidente con l'asse
di simmetria e l'asse x ¯ssato di conseguenza. In base a
questa scelta del riferimento Oxy, si ha
xG = 0 :
Per calcolare yG dobbiamo utilizzare la seconda delle (2.6).
167
ABCtribe.com - [Pagina 8]
d , la
Indicato con P un generico punto del settore, con r la sua distanza da O e con µ l'angolo yOP
coppia (r; µ) descrive il settore quando 0 · r · R e ¡ ®2 · µ · ®2 . L'elemento in¯nitesimo di massa
dm che contiene il punto P µe quindi dato da ½0 rdrdµ. Si ha quindi per yG il seguente integrale di
super¯cie:
yG =
1
M
Z
d
AOB
y dm =
1
M
Z
R
Z
®
2
½0 r2 cos µdµdr =
¡®
2
0
i ®2
2½0 R3
1 h r 3 iR h
®
½0
sin µ ® =
sin :
M
3 0
3M
2
¡2
In¯ne, tenendo conto che M = 12 ½0 ®R2 , si ha
yG =
Caso del semicerchio:
®=¼
=)
4R
®
sin :
3®
2
yG =
4R
:
3¼
om
Esercizio 2.6 Calcolare il baricentro di un settore omogeneo di corona circolare di raggi R1 ed R2 ,
con R1 <R2 , ed ampiezza ®.
¡ R21 ) :
rib
1
2
2 ®(R2
e.c
Chiaramente, l'area del settore di corona circolare vale quella
del settore di raggio R2 meno quella del settore di raggio
R1 , ossia
Ct
Quindi, se M µe la massa del settore e ½0 la sua densitµa
(costante), l'area del settore di corona µe
M = 12 ½0 ®(R22 ¡ R12 ) :
1
yG =
M
=
Z
AB
Adottando poi come nell'esercizio precedente le coordinate (r; µ), con la di®erenza che ora R1 ·
r · R2 , e procedendo esattamente come prima, si ha ancora xG = 0, mentre per yG si ha
R2
R1
Z
®
2
½0 r 2 cos µ dr dµ =
¡®
2
i ®2
1 h r 3 iR2 h
½0
sin µ ® =
M
3 R1
¡2
2½0 3
®
4(R23 ¡ R31 )
®
(R2 ¡ R13 ) sin =
sin :
3M
2
3®(R22 ¡ R12 )
2
Esercizio 2.7 Calcolare il baricentro di un disco omogeneo
di raggio R con un "buco" circolare di raggio R2 con i
due centri a distanza R2 .
Siano C1 e C2 i centri del cerchio grande e del cerchio
piccolo. Assumiamo un riferimento Oxy con O coincidente con C1 e l'asse x coincidente con la congiungente
C1 e C2 , orientato verso C2 .
168
ABCtribe.com - [Pagina 9]
Consideriamo il buco come un disco omogeneo di massa negativa, con la stessa densitµa del disco pieno. In
questo modo si calcola il baricentro del sistema costituito da due dischi omogenei e con la stessa
densitµa ½0 : uno di baricentro C1 e massa M1 = ½0 ¼R2 , l'altro con baricentro in C2 e massa
³ ´2
M2 = ¡½0 ¼ R2 . Naturalmente: M = M1 + M2 = 34 ½0 ¼R2 .
Essendo Ox un asse di simmetria, si ha ovviamente
xG =
M1 xC1 + M2 xC2
M1 + M2
yG = 0 . Si ha poi
¡ ¢2
½0 ¼R2 ¢ 0 ¡ ½0 ¼ R2 ¢ R
1
2
=
= ¡ R:
3
2
6
4 ½0 ¼R
Esercizio 2.8 Dimostrare che il baricentro di un lamina triangolare omogenea coincide col baricentro
geometrico.
om
Sia ABC un triangolo qualunque e siano M1 , M2 ed M3 i
punti medi dei lati AB, BC e CA rispettivamente. Immaginiamo il triangolo suddiviso in in¯nite strisce parallele al
lato AB e di spessore in¯nitesimo ds. La generica striscia
puµo essere riguardata come un'asta Ps Qs omogenea, il cui
baricentro coincide col punto medio Ms .
AB
Ct
rib
e.c
Per una proprietµa delle mediane, Ms appartiene alla mediana CM1 relativa ad AB. Il triangolo
puµo dunque essere suddiviso in in¯nite strisce parallele ad AB i cui baricentri stanno tutti sulla
mediana CM1 . Ne consegue che anche il baricentro G del triangolo sta su CM1 .
Ovviamente il ragionamento puµo essere ripetuto anche pensando il triangolo suddiviso in strisce
parallele a BC o CA, nel qual caso si deduce che G deve appartenere anche alle altre due mediane
AM2 e BM3 .
Pertanto il baricentro, dovendo stare su tutte tre le mediane, necessariamente coincide col loro
punto d'intersezione, che per de¯nizione µe il baricentro geometrico del triangolo.
Sembra utile ricordare una importante proprietµa geometrica
del baricentro di un triangolo: il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella che contiene il vertice µe doppia
dell'altra. Ad esempio, facendo riferimento alla ¯gura accanto, si ha: AG = 2GM2 .
Esercizio 2.9 Calcolare il momento d'inerzia di un'asta omogenea di massa m e lunghezza ` rispetto
ad un asse normale e baricentrico.
Sia AB l'asta ed Ox un asse che la contiene, con O´G,
punto medio di AB. Indicata con ½0 la densitµa (costante) di massa, si ha dm = ½0 dx. Pertanto (2.8), che
in questo caso µe un integrale curvilineo, diventa:
Z 2`
£ x3 ¤ 2`
1
IG =
x2 ½0 dx = ½0
=
½0 `3 :
¡ 2`
`
3
12
¡e
Tenendo poi conto che m = ½0 `, si ha:
IG =
1
m`2 :
12
169
ABCtribe.com - [Pagina 10]
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