Prova parziale di Geometria e Topologia I - 15 giu 2006 (U2-01, 14:30–16:30) 1/2 Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le risposte.) (1) Quali delle seguenti affermazioni sono vere per ogni possibile scelta di tre punti A, B e C in un piano affine (ricordiamo che il punto medio di un segmento AB 1 −→ 1 −→ 1 −→ 1 −→ è uguale a A + AB = B + BA; il baricentro è A + AB + AC = B + . . .; 2 2 3 3 le mediane sono i segmenti che congiungono i vertici con il punto medio del lato opposto)? (a) Il baricentro del triangolo ABC coincide con il baricentro del triangolo formato dai punti medi dei lati AB, BC e CA. (b) La retta che passa per i punti medi di AB e BC è parallela alla retta per A e C. (c) Se f è una affinità, l’immagine del baricentro del triangolo ABC mediante f è il baricentro del triangolo delle immagini f (A)f (B)f (C). (d) Le tre mediane del triangolo ABC passano per il suo baricentro. 1 1 0 − → 3 (2) Sia X = A (R) con coordinate x, y, z, v = 1, A = 0, B = 1 e 1 0 0 0 C = 0. 1 (a) Si determinino le immagini di A, B e C e del loro baricentro, proiettate sul piano di equazione z = 0 parallelamente a v. (b) Si scriva l’equazione del piano passante per A, B e C. 0 (c) Determinare la proiezione parallela a v del punto O di coordinate 0 sul 0 piano per A, B e C. −→ (d) Scrivere l’equazione della retta parallela a AB e passante per C. Prova parziale di Geometria e Topologia I - 15 giu 2006 (U2-01, 14:30–16:30) 2/2 (3) Sia E3 lo spazio euclideo. 1 (a) Calcolare la distanza tra il punto A = −1 di E3 e il piano π passante per 1 1 1 0 e ortogonale al vettore 1. 0 1 (b) Esiste una isometria f : E3 → E3 che manda A in uno dei punti di π e manda π in un piano che contiene A? Se sı̀, quale? (c) Si determini, se esiste, una isometria di E3 in sé che mandi sia A che π ad 0 una distanza dall’origine 0 di almeno 10 unità. 0 (4) Sia A = P2 (R) il piano proiettivo reale con coordinate proiettive omogenee [u : x : y] e retta impropria di equazione u = 0. Siano A = [1 : 1 : 0], B = [1 : 0 : 1], C = [0 : 1 : 1], D = [1 : 0 : 0], E = [0 : 1 : 0] e F = [0 : 0 : 1]. (a) Si scrivano le equazioni (omogenee, parametriche o no) delle rette per AF , CD e BE. (b) Si determinino le intersezioni tra le rette AF , CD e BE. (c) Si scrivano le rette AB, BC e CD nelle coordinate affini (x, y) della carta affine u 6= 0. (d) Si scriva l’equazione di una conica che passa per i quattro punti A, B, E e F. (e) Quante sono le coniche che passano per A, B, E e F ?