Geometria analitica - Problema N.1
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Siano dati i tre punti del piano A(− 1;2 ) , B (2;1) e C − 1;− .
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a) Rappresentare graficamente il triangolo.
b) Determinare il baricentro G , l’ortocentro H e il circocentro O del triangolo ABC .
c) Verificare che i tre punti sono allineati e determinare le loro reciproche distanze.
d) Determinare l’area del triangolo.
Risoluzione di a).
La rappresentazione grafica di un triangolo è una questione banale se affrontata con carta e penna,
ma può diventare un problema più interessante se viene richiesto di farlo con la calcolatrice. Infatti
per risolvere il quesito a) occorre:
1) individuare le strutture dati adeguate a rappresentare i punti;
2) determinare e rappresentare l’equazione di un segmento.
Scelte tre variabili, che ovviamente chiameremo a, b e c (la TI 89 non fa distinzioni fra maiuscolo e
minuscolo) si assegneranno a queste i valori delle coordinate dei tre punti rappresentati come liste,
utilizzando l’operatore di assegnazione :
La retta passante per i punti A(x A ; y A ) e B (x B ; y B ) ha equazioni parametriche
x = x A + t (x B − x A )
y = y A + t(yB − y A )
t ∈ℜ
(1)
Le equazioni (1) ci consentono di rappresentare anche segmenti e semirette, restringendo il campo
di variabilità del parametro t .
Ad esempio le equazioni del segmento AB sono:
x = −1 + 3t
y = 2 − t
0 ≤ t ≤1
La TI 89 e 92 consentono la rappresentazione dei grafici in forma parametrica; per ottenerli occorre
selezionare con il tasto MODE l’opzione PARAMETRIC della voce GRAPH:
Utilizziamo ora la funzione rettap2p per calcolare le equazioni parametriche dei tre lati del
triangolo:
La risoluzione del quesito a) si completa con la definizione dei tre segmenti nell’ambiente
Y=EDITOR
e con il grafico ottenuto con l’applicazione GRAPH:
Le lettere sui vertici del triangolo sono state ottenute con lo strumento TEXT del menu F7.
Risoluzione di b) e c).
Cominciamo con il determinare il baricentro del triangolo ABC. I punti medi dei lati AB e AC sono
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rispettivamente M 1 ; e M 2 − 1; . Per determinare tali punti con la calcolatrice si possono
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2 2
utilizzare le leggi di composizione delle liste: somma di due liste (aventi la stessa dimensione) e
prodotto di una lista per un numero reale:
Occorre ora determinare le equazioni delle rette sostegno alle due mediane; per fare ciò
utilizzeremo la funzione rettac2p(a,b):
Si passa ora a determinare le coordinate del baricentro G , punto di intersezione delle due mediane:
Il calcolo dell’ortocentro del triangolo si ottiene in maniera analoga:
e così per il circocentro :
Verifichiamo ora che i tre punti sono allineati:
Valutiamo le tre distanze HO, HG e GO; a tale scopo si utilizzerà la funzione distanza che calcola,
indifferentemente, la distanza fra due punti o la distanza di un punto da una retta:
Abbiamo così verificato che, nel nostro triangolo, l’ortocentro H , il baricentro G e il circocentro
O sono tre punti allineati e tali che HG = 2 GO . Si tratta, ovviamente, di un risultato garantito dal
teorema di Eulero, e il docente può sfruttare l’occasione per presentare una dimostrazione.
I quesiti b) e c) sono ora completamente risolti.
Risoluzione di d).
È molto semplice in quanto sono già stati realizzati tutti gli strumenti necessari:
