ANALISI MATEMATICA I: DOMANDE DI TEORIA SIMBOLI DI LANDAU, ASINTOTI Oltre alle definizioni richieste, fornire sempre degli esempi. Quando è richiesto di verificare se una proposizione è vera: • se la proposizione è vera, bisogna dimostrarla. Meglio poi proporre degli esempi. • se la proposizione è falsa, bisogna fornire almeno un controesempio che lo mostri. 1. Siano date due funzioni f, g : A → R, e sia c un punto di accumulazione di A. Scrivere le definizioni di f = O(g), f = o(g), f ∼ g, f equigrande a g, per x → c. 2. Dire se è vero o falso che: (a) f = o(g), per x → c =⇒ f = O(g), per x → c (b) f = o(g), per x → c =⇒ f ∼ g, per x → c (c) f equigrande a g, per x → c (d) f = o(g), per x → c =⇒ f ∼ g, per x → c f = o(1), per x → c =⇒ 3. Dato c un punto di accumulazione di A, date f, g : A → R tali che limx→c f (x) = limx→c g(x) = ∞, scrivere cosa significa che f ha ordine di infinito superiore, uguale o inferiore a g per x → c. Dire inoltre cosa significa che f e g sono infiniti non confrontabili per x → c. 4. In particolare, quando c = +∞ e g(x) = x, dare esempi di (a) f(x) con ordine di infinito 3 rispetto a x, per x → +∞, (b) f(x) con ordine di infinito superiore a xα , per ogni α > 0, per x → +∞, (c) f(x) infinito non confrontabile con x, per x → +∞, (d) f(x) con ordine di infinito inferiore a 1 rispetto a x, per x → +∞. 5. Dire se è vero o falso che: (a) f (x) = o(ex ), per x → +∞ =⇒ limx→+∞ f (x) = ∞. (b) e = o(f (x)), per x → +∞ =⇒ limx→+∞ f (x) = ∞. (c) f (x) = o(xn ), per x → +∞ =⇒ f (x) = o(xk ) per ogni k ≥ n, per x → +∞. x 6. Dato c un punto di accumulazione di A, date f, g : A → R tali che limx→c f (x) = limx→c g(x) = 0, scrivere cosa significa che f ha ordine di infinitesimo superiore, uguale o inferiore a g per x → c. Dire inoltre cosa significa che f e g sono infinitesimi non confrontabili per x → c. 7. Dire se è vero o falso che: (a) f (x) = o(x3 ), per x → 0 =⇒ + (b) f (x) = o(log x), per x → 0 limx→0 f (x) = 0. limx→0+ f (x) = ∞. =⇒ (c) f (x) ha ordine di infinitesimo α rispetto a x, per x → 0 per ogni ε ≥ 0, per x → 0. 1 =⇒ f (x) = o(xα+ε ) ASINTOTI 1. Data una funzione definita su una semiretta (a, +∞), dare le seguenti definizioni. (a) Definizione di asintoto orizzontale di f , per x → +∞. (b) Definizione di asintoto obliquo di f , per x → +∞. 2. Dire se è vero o falso che: (a) Una funzione può avere contemporaneamente asintoto orizzontale e asintoto obliquo per x → +∞. (b) Se f ha asintoto obliquo per x → +∞ a x, per x → +∞. =⇒ (c) Se f (x) = mx + q + o(x) per x → +∞ x → +∞. f è un infinito di ordine 1 rispetto =⇒ f (x) ha asintoto obliquo per (d) Se f ha ordine di infinito superiore a 1 rispetto a x, per x → +∞ ha asintoto orizzontale né obliquo per x → +∞. (e) Se f ha asintoto orizzontale per x → +∞ intorno di +∞. =⇒ =⇒ f non f è localmente limitata in un 3. Dimostrare che (a) Se f è una funzione dispari e y = mx + q è asintoto obliquo di f per x → +∞ =⇒ y = mx − q è asintoto obliquo di f per x → −∞. (b) Se f è una funzione pari e y = mx + q è asintoto obliquo di f per x → +∞ =⇒ y = −mx + q è asintoto obliquo di f per x → −∞. 4. Dimostrare che, se f è strettamente crescente in (a, +∞) e y = k è asintoto orizzontale di f per x → +∞ =⇒ esiste (b, +∞) tale che ∀x ∈ (b, +∞), f (x) < k. 2