Logiche Modali Proposizionali

Logiche Modali
Proposizionali
Corso di Logica (1)
a.a. 2005-2006
Prof.ssa Giovanna Corsi
Appunti redatti da
Wilmer Ricciotti - [email protected]
Francesco Spegni - [email protected]
Alessia Tosi - [email protected]
19 ottobre 2006
2
Indice
1
Logiche modali proposizionali
1.1 Livello sintattico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definizioni e dimostrazioni per induzione
1.2 Livello semantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 I modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Verità e validità . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Formule sempre valide . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Regole che conservano la validità . . . . . . . . . .
1.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
9
9
13
13
14
14
15
16
Corrispondenza
2.1 Corrispondenza e Validità . . .
2.2 Chiusura riflessiva e transitiva
2.3 Teoremi di corrispondenza . . .
2.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . .
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17
17
17
18
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3
Manipolazione di modelli
3.1 Sottomodelli generati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 P-morfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Proprietà non esprimibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
28
30
4
Teoria della dimostrazione
4.1 Logiche modali normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Insiemi massimali e consistenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Il modello canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
34
36
5
Completezza
5.1 Strumenti .
5.2 Metodo . .
5.3 Logiche . .
5.4 Esercizi . .
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39
39
39
40
46
6
Modelli finiti
6.1 Filtrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Proprietà del Modello Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
52
52
7
KW
7.1 La logica KW . . . .
7.2 PA . . . . . . . . . .
7.3 Completezza di KW
7.3.1 Definizioni .
53
53
54
55
55
2
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4
INDICE
7.3.2
Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
A Relazioni ed ordini
A.1 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Ordini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Induzione transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
57
57
58
B Mappe concettuali
61
C Licenza
65
Bibliografia
65
Elenco delle figure
1.1
Tre semplici strutture relazionali d’esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1
2.2
Corrispondenza e validità in breve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il sottomodello di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
25
3.1
3.2
3.3
3.4
La simmetria della condizione 2.
Back-condition . . . . . . . . . . .
Un p-morfismo da N a {0} . . . .
Un p-morfismo da N a {a, b} . . .
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28
28
30
31
5.1
5.2
5.3
Una gerarchia delle logiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relazione densa debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relazione diretta debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
42
44
A.1 Proprietà e relazioni d’ordine - una topologia riassuntiva . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 L’insieme 2 × N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
B.1
B.2
B.3
B.4
61
62
63
64
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Manipolazioni di modelli . . . . . . . . . . . .
Teoria della dimostrazione e modello canonico
Filtrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KW e PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
ELENCO DELLE FIGURE
Elenco delle tabelle
A.1 Le comuni proprietà di una relazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Una topologia degli ordinamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
58
8
ELENCO DELLE TABELLE
Capitolo 1
Logiche modali proposizionali
Le logiche modali proposizionali che noi considereremo sono estensioni della logica classica proposizionale che assumiamo già nota. Lo studio delle logiche modali avverrà sotto due aspetti: sintattico e
semantico.
1.1
1.1.1
Livello sintattico
Definizioni e dimostrazioni per induzione
Definizione 1.1. L’alfabeto di un linguaggio enunciativo modale LΦ
A è costituito da:
• un insieme Φ al massimo numerabile di variabili enunciative: p0 , p1 , p2 . . .
• la costante logica 0-aria ⊥,
a per ogni a ∈ A, ove A è insieme non vuoto, al massimo numerabile,
• costanti logiche unarie ¬ e 2,
di indici ,
• costanti logiche binarie ∨, ∧, →
• le parentesi (, ).
Φ
Definizione 1.2. Definizione induttiva dell’insieme Fm Φ
A , delle formule ben formate di LA .
1. pi ∈ Fm Φ
A , i ∈ N,
2. ⊥ ∈ Fm Φ
A,
Φ
a
3. se A ∈ Fm Φ
A e a ∈ A, allora (¬A), (2A) ∈ Fm A
Φ
Φ
4. se A ∈ Fm Φ
A e B ∈ Fm A , allora (A ∨ B), (A ∧ B), (A → B) ∈ Fm A
5. nient’altro è in Fm Φ
A.
Le prime due clausole stabiliscono quali sono gli elementi iniziali di Fm Φ
A , le seconde due clausole
stabiliscono le operazioni con le quali si ottengono nuovi elementi a partire da elementi già dati e
l’ultima clausola esprime una condizione di chiusura.
10
Logiche modali proposizionali
Definizione 1.3.
> , ¬⊥
a
a
3A
, ¬2¬A
A↔B
, (A → B) ∧ (B → A).
Dato un insieme X definito per induzione, possiamo dimostrare proprietà degli elementi di X facendo
appello a come tali elementi sono stati costruiti.
Teorema 1.4 (Principio di induzione sulla costruzione delle formule). Sia φ una proprietà (espressa nel
metalinguaggio). Allora φ[A] vale per ogni A ∈ Fm Φ
A , se
φ[pi ], per ogni i ∈ N,
φ[⊥],
a
se φ[A], allora φ[(¬A)] e φ[(2A)]
se φ[A] e φ[B], allora φ[(A ∨ B)], φ[(A ∧ B)] e φ[(A → B)].
Dimostrazione.
Φ
Sia X = {A ∈ Fm Φ
A : φ(A)}. Banalmente X ⊆ Fm A . X soddisfa tutte le condizioni della definizione
Φ
Φ
1.2, pertanto Fm A ⊆ X, quindi X = Fm A .
Chiameremo una applicazione del teorema appena enunciato, una dimostrazione per induzione su A
o sulla costruzione di A.
Diamo ora un esempio banale di dimostrazione per induzione sulla costruzione di A. In pratica
verificheremo solo le clausole della dimostrazione per induzione e lasciamo la conclusione al lettore.
Teorema 1.5. Ogni formula ben formata ha un numero pari di parentesi.
Dimostrazione.
1. Ogni atomo ha zero parentesi e zero è pari
2. ⊥ ha zero parentesi e zero è pari.
a
3. Supponi che A abbia 2n parentesi, allora (¬A), (2A)
hanno 2n + 2, ovvero 2(n + 1) parentesi.
4. Supponi che A abbia 2n parentesi e B abbia 2m parentesi, allora (A ? B) ha 2(n + m + 1) parentesi,
ove ? ∈ {∧, ∨, →}.
Per il teorema 1.4, ogni fbf ha un numero pari di parentesi.
Dato un insieme X definito per induzione, possiamo definire funzioni sugli elementi di X facendo appello a come tali elementi sono stati costruiti. Siffatte funzioni sono dette definite per ricorsione.
Seguono alcuni esempi.
Esempio 1. Definiamo la funzione π[A] che computa quante sono le parentesi di A. Basta porre:
π[pi ] = 0, per ogni atomo pi ,
π[⊥] = 0,
a
π[(¬A)] = π[(2A)]
= π[A] + 2,
1.1 Livello sintattico
11
π[(A ? B)] = π[A] + π[B] + 2.
Esempio 2. Definiamo la funzione che ad ogni formula A associa il suo l’albero di formazione (parsing
tree) T [A].
T [pi ] = • , per ogni atomo pi
T [⊥] = •
T [(¬A)] =
(¬A)
•
T [A]
T [(2A)] =
(2A)
•
T [A]
T [(A ? B)] =
(A?B)
yy
yy
y
y
yy
T [A]
• E
EE
EE
EE
E
T [B]
Esempio 3. La lunghezza (size) di una formula A è così definita:
lg[pi ] = 0, per ogni atomo pi ,
lg[⊥] = 0,
lg[(¬A)] = lg[(2A)] = lg[A] + 1,
lg[(A ? B)] = lg[A] + lg[B] + 1.
Esempio 4. La profondità (height) di una formula A è così definita:
h[pi ] = 0, per ogni atomo pi ,
h[⊥] = 0,
h[(¬A)] = h[(2A)] = h[A] + 1,
h[(A ? B)] = max[h(A), h(B)] + 1.
Esempio 5. L’insieme delle sottoformule di una formula A è così definito:
Sf[pi ] = {pi }, per ogni atomo pi ,
Sf[⊥] = {⊥},
Sf[(¬A)] = Sf[A] ∪ {¬A},
Sf[(2A)] = Sf[A] ∪ {(2A)},
12
Logiche modali proposizionali
Sf[(A ? B)] = Sf[A] ∪ Sf[B] ∪ {(A ? B)}.
Diciamo che B è sottoformula di A se B ∈ Sf(A).
Osservazione 1. Che questa definizione sia matematicamente ben fondata è garantito dalla teoria delle
funzioni ricorsive.
L’introduzione delle funzioni lunghezza e profondità non è una mera illustrazione della “definizione per ricorsione”: ci permette anche di dimostrare fatti sulle formule per mezzo del principio di
induzione matematica. Infatti grazie alla nozione di lunghezza siamo in grado di suddividere tutte
le formule in una successione infinita di insiemi di formule: l’insieme delle formule di lunghezza 0,
l’insieme delle formule di lunghezza 1, l’insieme delle formule di lunghezza 2, ... Analogamente per la
profondità.
Proposizione 1.6 (Principio di induzione sulla lunghezza delle formule). Sia φ una proprietà sulle formule
ben formate (d’ora in avanti: fbf). Se:
• φ(B) vale per tutte le fbf B tali che lg(B) = 0;
• supponendo che φ(B) valga per tutte le fbf B tali che lg(B) < lg(A), segue che vale anche φ(A);
allora φ(A) vale per ogni A ∈ Fm Φ
A.
Proposizione 1.7 (Principio di induzione sulla profondità delle formule). Sia φ una proprietà sulle fbf.
Se:
• φ(B) vale per tutte le fbf B tali che h(B) = 0;
• supponendo che φ(B) valga per tutte le fbf B tali che h(B) < h(A), segue che vale anche φ(A);
allora φ(A) vale per ogni A ∈ Fm Φ
A.
Si può mostrare facilmente che il principio di induzione sulla costruzione di A ed il principio di
induzione sulla profondità di A sono equivalenti (vedi [vD], p.13).
Convenzione notazionale sulle parentesi Per semplificare la notazione economizziamo sulle parentesi
sulla base delle seguenti regole:
1. non scriviamo le parentesi più esterne
2. non scriviamo le parentesi nel caso di ¬ e di 2
3. ∧ e ∨ legano più fortemente di →
4. ¬ e 2 legano più fortemente di ogni altro connettivo.
Esempio 6.
¬p ∨ p
sta per ((¬p) ∨ p)
¬(¬¬¬p ∧ ⊥) sta per (¬((¬(¬(¬p))) ∧ ⊥))
p∨q →p
sta per ((p ∨ q) → p)
Definizione 1.8 (sostituzione uniforme). Sia p una lettera enunciativa e D una formula. Definiamo per
ricorsione l’operazione A[D/p] (sostituzione uniforme di p in D):
p[D/p] = D
q[D/p] = q, se q 6= p
⊥[D/p] = ⊥
(¬A)[D/p] = ¬(A[D/p]),
(2A)[D/p] = 2(A[D/p]),
(A ? B)[D/p] = A[D/p] ? B[D/p].
A[D/p] denota quindi la formula ottenuta per sostituzione uniforme da A, ove ogni occorrenza di p
è stata sostituita con D.
1.2 Livello semantico
1.2
13
Livello semantico
Iniziamo con l’introdurre la cosiddetta semantica relazionale (a volte detta anche semantica dei mondi
possibili), introdotta da Kripke nel 1959 e che si è dimostrata subito un modello naturale per attribuire
un significato ai linguaggi modali.
Definizione 1.9. (struttura relazionale) Chiamiamo struttura relazionale una coppia del tipo:
hW, {Ra }a∈A i
ove la prima componente è un insieme non vuoto, chiamato universo dei mondi W, mentre la seconda
componente è un insieme di relazioni di accessibilità (o più semplicemente: insieme di relazioni) Ra , ove
a ∈ A e A è un insieme di indici, al massimo numerabile.
Se w ∈ W diciamo che w è un mondo dell’universo W o che w è un punto dell’universo (o spazio)
W.
Per ragioni storiche, chiameremo frame una struttura che contenga una sola relazione R, e la indicheremo come:
hW, Ri.
1.2.1
I modelli
Data una struttura hW, {Ra }a∈A i, un modello basato su essa è una tripla:
hW, {Ra }a∈A , Ii
ove I è una funzione di interpretazione che associa ad ogni variabile enunciativa un sottoinsieme di W:
I : Φ → P(W)
dove P è l’operatore che, dato un insieme, ritorna l’insieme delle sue parti (ovvero: l’insieme dei suoi
sottoinsiemi possibili).
w
•
a)
•
b)
w
•
w1
)
'
w2
•
w3
•
s
w4
•
c)
Figura 1.1: Tre semplici strutture relazionali d’esempio
Vediamo ora alcune strutture molto semplici. La prima è:
F = h{w}, ∅i,
graficamente rappresentata dalla Figura 1.1 (a). Il secondo caso è molto simile al primo, dove però la
relazione R è riflessiva. Formalmente la struttura che abbiamo in mente è così descritta:
F = h{w}, {hw, wi}i,
graficamente essa sarà rappresentata come in fig. 1.1 (b). Una terza struttura è quella rappresentata
nella fig. 1.1 (c), ed è formalmente definita da:
F = h{w1 , w2 , w3 , w4 }, {hw1 , w2 i, hw1 , w3 i, hw3 , w3 i, hw4 , w1 i}i
14
1.2.2
Logiche modali proposizionali
Verità e validità
Esplicitiamo ora la semantica delle formule modali. Per indicare che un enunciato A è vero in un mondo
w del modello M, scriviamo
M w A.
Definizione 1.10. (verità in un mondo) La nozione di verità in un mondo è definita per induzione
come segue:
M w
M 2w
M w
M w
M w
M w
M w
pi
⊥
¬B
B1 ∧ B2
B1 ∨ B2
B1 ⇒ B2
a
2B
sse
sse
sse
sse
sse
sse
sse
w ∈ I(pi )
M2B
M B1 ed M w B2
M B1 oppure M w B2
M 2 B1 oppure M w B2
∀v ∈ W.w Ra v ⇒ M v B]
Possiamo introdurre un ulteriore operatore modale, l’operatore di possibilità, da intendersi come
segue:
a
M w 3B
sse
∃v ∈ W.wRa v e M v B]
Preferiamo però considerare, da qui in avanti, l’operatore di possibilità come derivabile da quello di
necessità, e cioè:
a
M w 3B
sse
a
M w ¬2¬B
Definizione 1.11. (verità in un modello) Diciamo invece che una formula A è vera in un modello M se e
solo se essa è vera in ogni punto del modello stesso. Formalmente:
M A sse ∀w ∈ W [M w A].
Definizione 1.12. (validità) Infine, una formula è valida su una struttura F se e solo se essa è vera in
ciascun modello basato su di essa:
F A sse ∀M basato su F [M A].
Con l’espressione F-modello indichiamo un modello basato su F.
1.3
Formule sempre valide
Teorema 1.13. (formula di Kripke)
F 2(A → B) → (2A → 2B)
Dimostrazione.
Esercizio.
Teorema 1.14. (distributività di 2 su ∧)
F 2(A ∧ B) ↔ 2A ∧ 2B
Dimostrazione.
Esercizio.
1.4 Regole che conservano la validità
15
Teorema 1.15. (distributività di 3 su ∨)
F 3(A ∨ B) ↔ 3A ∨ 3B
Dimostrazione.
Esercizio.
1.4
Regole che conservano la validità
Facciamo vedere ora che le regole di Modus Ponens, Necessitazione e Sostituzione conservano la validità
su una struttura. Cominciamo dalla prima.
Teorema 1.16. (MP conserva la validità) In qualsiasi struttura relazionale F, vale quanto segue:
F A
F A → B (MP )
F B
Dimostrazione.
È facile vedere, sulla base della definizione di verità delle formule implicative, che la regola del Modus
Ponens conserva la verità in un punto di un modello:
M w A
M w A → B
M w B
Ne segue che per ogni M
MA
MA→B
MB
F A
F A→B
F B
e per ogni F
Teorema 1.17. (NEC conserva la validità) In qualsiasi struttura relazionale F vale quanto segue:
F A (N EC)
F 2A
Dimostrazione.
È possibile dimostrare (esercizio) che N EC conserva la verità in un modello, ovvero per ogni M vale:
MA
M 2A
Generalizzando, per ogni F
F A
F 2A
Osservazione 2. N EC non conserva la verità in un punto di un modello, infatti possiamo avere che
M w A e contemporaneamente M 2w 2A. Lasciamo come esercizio al lettore il trovare un modello
che evidenzi questo.
16
Logiche modali proposizionali
Teorema 1.18. (la sostituzione uniforme conserva la validità) In qualsiasi struttura relazionale F vale
quanto segue:
F A
F A[B/p],
Dimostrazione.
La dimostrazione procede per assurdo. Supponiamo che si abbia
F A
e F 2 A[B/p].
Questo equivale ad affermare le seguenti due cose:
A
M.M A
(†)
EM.Ew ∈ M.M 2w A[B/p]
Consideriamo il sottoinsieme di W così definito:
HB = {w ∈ W : M w B}.
Costruiamo ora il seguente F-modello M? = hW, R, I ? i, ove:
I(q) se q 6= p
?
I (q) =
HB se q = p
È possibile dimostare (esercizio) che per ogni fbf D e per ogni w,
M w D[B/p] sse M? w D
Poiché per ipotesi M 2w A[B/p], segue che M? 2w A. Questo è in contraddizione con quanto affermato
in (†) perché M? è un modello di F.
Osservazione 3. La regola di sostituzione non conservi la verità in un modello (e quindi tanto meno in
un mondo). Possiamo infatti avere che:
M p e M 2 p[p/q]
Anche in questo caso, lasciamo come esercizio al lettore il trovare un modello che evidenzi questo.
1.5
Esercizi
Esercizio 1.1. Completare le dimostrazioni dei seguenti Teoremi: 1.13, 1.14 e 1.15.
Esercizio 1.2. Completa la dimostrazione 1.4 e fornisci il contro-esempio come suggerito nell’osservazione 2.
Esercizio 1.3. Completa la dimostrazione 1.4 e fornisci il contro-esempio come suggerito nell’osservazione 3.
Capitolo 2
Corrispondenza
2.1
Corrispondenza e Validità
In questo capitolo ci chiediamo se una classe di strutture relazionali H opportunamente scelta corrisponda ad una formula modale, ovvero se per qualche fbf A, si abbia che
A
F[F A sse F ∈ H ]
La classe H può in molti casi lasciarsi descrivere da condizioni sulle relazioni di accessibilità, esempio
H = {hW, {Ra }a∈A i :Ra è riflessiva}
nel qual caso ci chiediamo se esiste qualche A per cui valga:
A
F[ F A sse F ∈ H ]
Se ciò accade, potremo esprimere quanto sopra anche in questo modo:
A
F[F A sse F ∀x.x R x]
Definizione 2.1. (corrispondenza) Generalizziamo quanto detto sopra per qualsiasi predicato P di
nostro interesse. Se riusciamo a dimostrare che:
A
F[F A sse F P ]
diremo allora che A corrisponde a P.
La proprietà P può essere una qualunque formula di un linguaggio del primo ordine con identità
contenente simboli per le relazioni di accessibilità Ra , a ∈ A.
Definizione 2.2. (validità) Diciamo che A è valida su P se vale l’implicazione:
A
F[F P ⇒ F A]
2.2
Chiusura riflessiva e transitiva
Definizione 2.3. (elevamento a potenza di 2) La definizione procede per induzione:
a 0 A=A
2
a 2
a n A)
2
A=2(
a n+1
18
'
'
Corrispondenza
$
$
corrispondenza
&
&
validità
%
%
Figura 2.1: Corrispondenza e validità in breve
Definizione 2.4. (elevamento a potenza di 3) Ancora induttivamente, definiamo:
3
a
a 0A = A
3
a 2
a n A)
A = 2(
n+1
Definizione 2.5. (elevamento a potenza di R) Sia data la relazione binaria R. Definiamo:
s R0 t
s R n+1 t
⇔ s=t
⇔ ∃z.s R n z ∧ z R t
Definizione 2.6. (chiusura riflessiva e transitiva di R) Data una relazione binaria R, la relazione R?
resta così definita:
sR? t ⇔ ∃n.sRn t
R? è detta chiusura riflessiva e transitiva di R.
Lemma 2.7. Sia R1 una relazione riflessiva e transitiva tale che R⊆R1 . Allora R ? ⊆R1 .
Dimostrazione.
Dobbiamo mostrare che se w R ? s allora w R1 s. Sia w R ? s, allora per qualche n, w R n s. Per induzione su n, fai vedere che w R1 s. (esercizio).
Osservazione 4. Il lemma ci dice che R ? è la più piccola relazione riflessiva e transitiva che estende R.
Lemma 2.8.
a nB
M w 2
a nB
M w 3
sse ∀v ∈ W [ wRan v ⇒ M v B]
sse ∀v ∈ W [ wRan v ⇒ M v B]
Dimostrazione.
Esercizio.
2.3
Teoremi di corrispondenza
Dimostreremo di seguito alcuni teoremi di corrispondenza fra proprietà strutturali note dall’algebra ed
opportune formule modali. Per comodità, le definizioni circa le proprietà che andremo ad analizzare
sono state riassunte in Appendice A.
Teorema 2.9. (riflessività)
a
F 2B
→B
Dimostrazione.
sse F ∀s.s Ra s
2.3 Teoremi di corrispondenza
19
⇐)
a
M s 2B
∀t.s Ra t : M t B
M s B
a
M s 2B
→B
a
→B
F 2B
(ipotesi)
(poiché s Ra s)
⇒)
Procediamo per assurdo:
a
F 2B
→B
∃s.¬(s Ra s)
(† − ipotesi assurda)
Consideriamo ora un F-modello: M = hW, {Ra : a ∈ A}, Is i, tale che:
Is (p) = {t ∈ W : s Ra t}.
Questo equivale a dire che:
Allora
M t p sse s Ra t
a
M s 2p
a
M s 2p
→p
M s p
(?)
a
poiché F 2B
→B
per MP
Per (?) dobbiamo concludere che w Ra w, in contraddizione con (†). Possiamo dunque concludere che ∀w.w Ra w.
Teorema 2.10. (transitività)
a
a 2B
a
F 2B
→2
sse F ∀s, t, u.s Ra t ∧ t Ra u → s Ra u
Dimostrazione.
⇐)
∀s, t, u.s Ra t ∧ t Ra u → s Ra u
a
Ms 2B
M t B
M u B
a
Mt 2B
a 2B
a
Ms 2
a
a 2B
a
Ms 2B
→2
a
a 2B
a
F 2B
→2
(∀t.s Ra t)
(∀u.t Ra u ⇒ s Ra u)
⇒)
Procediamo per assurdo:
a
a 2B
a
F 2B
→2
∃s, t, u.s Ra t ∧ t Ra u ∧ ¬(s R u) († - ipotesi assurda)
Consideriamo ora un F-modello M = hW, {Ra : a ∈ A}, Is i, tale che:
Is (p) = {t ∈ W : s Ra t}.
20
Corrispondenza
Questo equivale a dire che:
Allora
M t p ⇔ s Ra t
a
M s 2p
a
a 2p
a
M s 2p
→2
a
a
M s 22p
a
M t 2p
M u p
(?)
a
a 2B
a
poiché F 2B
→2
per MP
(s Ra t)
(t Ra u)
Per (?) segue che s Ra u, in contraddizione con (†). Possiamo dunque concludere che F è
transitiva.
Teorema 2.11. (serialità)
a
a
F 2B
→ 3B
sse F ∀s∃t.s Ra t
Dimostrazione.
⇐)
Esercizio.
⇒)
Procediamo per assurdo:
a
a
F 2B
→ 3B
∃s∀t.¬(s Ra t)
Allora:
(† - ipotesi assurda)
a
M s 2p
a
a
M s 2p
→ 3p
a
M s 3p
∃t ∈ W.s R t e M t A
contrariamente a quanto affermato da (†). Possiamo dunque concludere che la struttura è seriale.
Teorema 2.12. (simmetria)
a 3B
a
F B→2
sse
F ∀s, t.s Ra t ⇒ t Ra s
Dimostrazione.
⇐)
Esercizio.
⇒)
Procediamo anche in questo caso per assurdo:
a 3B
a
F B→2
∃s, t.s Ra t ∧ t Ra s († - ipotesi assurda)
Consideriamo ora un F-modello: M = hW, {Ra : a ∈ A}, Is i, tale che:
Is (p) = {t ∈ W : s = t}.
2.3 Teoremi di corrispondenza
21
Questo equivale a dire che:
M t p ⇔ s = t
Allora:
M s p
a 3p
a
M s p → 2
a
a
M s 23p
a
∀t : s Ra t.M t 3p
∃u.t Ra u e M u p
u=s
∀t.s Ra t ⇒ t Ra s
(?)
per MP
(per ?)
Ma quest’ultima affermazione è in contraddizione con (†), per cui possiamo concludere che F è
simmetrica.
Teorema 2.13. (euclidea)
a
a 3B
a
F 3B
→2
sse F ∀s, t, u.s Ra t ∧ s Ra u ⇒ t Ra u
Dimostrazione.
⇐)
Esercizio.
⇒)
Procediamo per assurdo:
a
a 3B
a
F 3B
→2
∃s, t, u.s Ra t ∧ s Ra u ∧ ¬(t Ra u)
(† - ipotesi assurda)
Costruiamo il “solito” (contro)modello su F ponendo:
Iu = {v : v = u}
che equivale a dire:
M v p ⇔ v = u
Allora:
s Ra u ∧ s Ra t
a
M s 3p
a
a 3p
a
→2
M s 3p
a
a
M s 23p
a
M t 3p
∃v ∈ W : t Ra v e M v p
v=u
t Ra u
(?)
(per ?)
Ma quest’ultima conclusione contraddice quanto affermato in (†). Possiamo dunque concludere
che F è euclidea.
Teorema 2.14. (convergenza debole)
a 2B
a
a 3B
a
F 3
→2
sse
F ∀s, t, u.s Ra t ∧ s R u ⇒ ∃v.t Ra v ∧ u Ra v
22
Corrispondenza
Dimostrazione.
⇐)
Esercizio.
⇒)
Procediamo per assurdo:
a 2B
a
a 3B
a
F 3
→2
∃s, t, u.s Ra t ∧ s Ra u ∧ ∀v.¬(t Ra v ∧ u Ra v)
(† - ipotesi assurda)
Costruiamo il seguente (contro)modello su F in cui:
Iv (p) = {s : v Ra s}.
Questo equivale a dire che
Allora:
M s p ⇔ v Ra s
s Ra t ∧ s Ra u
a
M t 2p
a 2p
a
M s 3
a 2p
a
a 3p
a
M s 3
→2
a 3p
a
M s 2
a
M u 3p
∃v1 .u Ra v1 ∧ M v1 p
a
M t 3p
∃v2 .t Ra v2 ∧ M v2 p
v1 = v2 = v
u Ra v ∧ t Ra v
(?)
(per ?)
Quest’ultima affermazione, ancora una volta, contraddice (†). Possiamo perciò concludere che F è debolmente convergente.
Teorema 2.15. (connessione debole)
a 2B
a
a 2C
a
F 2(
∧ B → C) ∨ 2(
∧ C → B) sse F connessione debole
Dimostrazione.
⇐)
Esercizio.
⇒)
Supponiamo che F non sia debolmente lineare. Allora
∃w, v, z[w R v ∧ w R z ∧ ¬v R z ∧ ¬z R v ∧ z 6= v]
Costruiamo l’F-modello M per cui
I(p) = {t ∈ W : v R t ∨ v = t}
I(q) = {t ∈ W : z R t ∨ z = t}
Allora per casi:
2.3 Teoremi di corrispondenza
23
• Se M w 2(2p ∧ p → q) allora
M v 2p ∧ p → q.
Valgono inoltre
M v p
M v 2p
(perché v ∈ I(p))
(perché t ∈ I(p) per ogni mondo t relato a v)
Ma allora per MP ricaviamo
M v q
pertanto z R v ∨ z = v, contro le ipotesi.
• Se M 2(2q ∧ q → p), si procede simmetricamente al caso precedente, scambiando p e q.
Teorema 2.16. (funzionalità parziale)
a
a
F 3B
→ 2B
sse F ∀s, t.s Ra t ⇒ ∃!u.s Ra u
Dimostrazione.
⇐)
Esercizio.
⇒)
Supponiamo per assurdo che F non sia parzialmente funzionale. Allora
∃w, v, u[w R v ∧ w R u ∧ v 6= u]
a
a
a
a
Poiché F 3B
→ 2B,
per ogni F-modello M vale M w 3B
→ 2B.
Sia I(p) = {v}. Allora
M v p
a
⇒ M w 3p
a
⇒ M w 2p
⇒ M u p
(per MP )
Ma allora u ∈ I(p), contro le ipotesi.
Teorema 2.17. (funzionalità)
a
a
F 3B
↔ 2B
sse F ∀s∃!t.s Ra t
Dimostrazione.
⇐)
Esercizio.
⇒)
Supponiamo per assurdo che Fnon sia funzionale. Allora per qualche w:
¬∃v(w Ra v) ∨ ∃u, v(u 6= v ∧ w Ra u ∧ w Ra v)
Per casi:
24
Corrispondenza
a
1. se ¬∃v(w Ra v) allora per ogni F-modello Mvale M w 2B.
Dalla formula data ricaviamo
a
quindi M w 3B. Ma allora
∃v(w Ra v ∧ M v B)
il che contraddice l’ipotesi;
2. se ∃u, v(u 6= v ∧ w Ra u ∧ w Ra v) si procede come nel caso della funzionalità parziale.
Teorema 2.18. (proprietà di Sahlqvist)
a jB
a nB → 2
a k3
a m2
sse
F 3
m
F s R t ∧ s R k u → ∃v.t R n v ∧ u R j v
Dimostrazione.
⇐)
Esercizio.
⇒)
Procediamo per assurdo:
s Ram t ∧ s Rak u
∀v.¬(t Ran v ∧ u Raj v) († - ipotesi assurda)
Costruiamo il seguente F-(contro)modello M = hW, {Ra }a∈A , It i, ponendo:
It (p) = {v : t Ran v}
Questo equivale a dire che:
Allora
M v p ⇔ t Ran v
a np
M t 2
a m2
a np
M s 3
m
a
a np → 2
a k3
a jp
M s 3
2
k
j
a 3
a p
M s 2
a jp
M u 3
∃v : u Raj v ∧ M v p
∃v : u Raj v ∧ t Ran v
(?)
(per ?)
Ma questo contraddice quanto affermato in (†), per cui possiamo concludere che F soddisfa la
proprietà di Sahlqvist.
Esercizio Si faccia vedere che tutte pe proprietà considerate in questo capitolo sono casi particolari
della proprietà di Sahlqvist.
Teorema 2.19. (ordine dualmente ben fondato)
F 2(2B → B) → 2B
Dimostrazione.
⇐)
Esercizio.
sse F dualmente ben fondato
2.4 Esercizi
25
Figura 2.2: Il sottomodello di riferimento
⇒)
Procediamo come al solito per assurdo.
F 2(2B → B) → 2B
F non è dualmente ben fondata († - ipotesi assurda)
Se Ra non è dualmente ben fondata esiste una successione infinita crescente. Sia X l’insieme di
tali elementi e sia w ∈ X tale che wRv per ogni v ∈ X, v 6= w. Consideriamo il seguente modello
in cui
IX (p) = {v : v ∈
/ X}.
Equivale a dire:
v 6∈ X ⇔ M v p.
Si veda la Figura 2.2.
Poiché M 2w 2p per definizione di I, segue che:
M 2w 2(2p → p)
M w 3(2p ∧ ¬p)
∃x.w Ra x ∧ M x 2p ∧ M x ¬p
Per definizione di X (e per il fatto che M x ¬p), possiamo affermare che x ∈ X. Ma allora per
tutti gli elementi y ∈ X tali che xRy M y ¬p, in contraddizione col fatto che M x 2p.
Adesso mostriamo invece che:
F 2(2p → p) → 2p =⇒ F è transitiva.
Per farlo, definiamo un’interpretazione I ad hoc, come segue. Chiamiamo x un generico mondo in
cui valga l’enunciato p, e prendiamo poi un secondo punto, che chiameremo a (definito come?).
Sapendo che R? denota la chiusura riflessiva e transitiva di R, relazioniamo i punti ad a come segue:
Ia (p) = {x : ∀y.x R ? y → a R y}
Ovvero, per ogni x in cui valga l’enunciato p, stabiliamo che tutti i punti ad esso relati (direttamente o indirettamente) sono relati anche al punto a. Notiamo che l’interpretazione permette ad
a di essere relato anche ad altri mondi.
Si dimostra quindi che a 2(2p → p) da cui a 2p quindi b p per un generico b tale che aRb. Da
questo deriviamo che b è uno degli x usati nella definizione del diagramma (perché in esso vale
p). Ne consegue che bRc (chi è c?) quindi, per cui c p (da cosa?). Da ciò deriviamo che c è uno
degli y relati ad x per cui (per costruzione) aRc.
2.4
Esercizi
Esercizio 2.1. Dimostrare le seguenti uguaglianze (suggerimento: procedere per induzione su n):
26
Corrispondenza
a 1 A = 2A
a
2
1
a
a
3 A = 3A
n am
a
a
2 (2 A) = 2n+m A
a n (3
a m A) = 3
a n+m A
3
Esercizio 2.2. Dimostrare che:
s R1 t
s R t ∧ t Rm y
n
⇔
⇒
sRt
s R n+m
Esercizio 2.3. Mostra che R ? è riflessiva e transitiva. (Suggerimento: sfrutta l’ esercizio 2.2)
Esercizio 2.4. Completa la dimostrazione del seguenti Lemmi : 2.7 e 2.8.
Esercizio 2.5. Completa le dimostrazioni dei teoremi di caratterizzazione: da Teorema 2.9 a Teorema
2.19
Capitolo 3
Manipolazione di modelli
Presentiamo sotto due tecniche per trasformare modelli o per metterli in relazione con altri che potremmo dire “simili”. Queste due tecniche prendono il nome di generazione di sottomodelli e p-morfismi
fra modelli.
3.1
Sottomodelli generati
Un sottomodello è una “restrizione” di un modello, creata ad-hoc per valutare la verità di una formula in un singolo punto t. Per fare questo, dunque, possiamo concentrare l’attenzione sui soli punti
collegati al punto t cui siamo interessati attraverso una o più “salti” delle relazioni Ra .
Definizione 3.1. (A-chiusura) Sia A un insieme di indici di relazioni, diciamo che un sottinsieme X ⊆ W
è A-chiuso se soddisfa la seguente condizione:
u ∈ X ⇒ (∃a ∈ A, v ∈ W.u Ra v ⇒ v ∈ X)
Proposizione 3.2. Sottolineiamo che l’intersezione di due insiemi A-chiusi è a sua volta un insieme A-chiuso.
Definizione 3.3. (sottomodello generato) Dato un generico modello:
M = hW, {Ra }a∈A , Ii,
chiamiamo suo sottomodello generato da t il seguente modello:
Mt = hW t , {Rat }a∈A , I t i,
dove:
• W t è il più piccolo sottoinsieme A-chiuso di W che contenga t;
• Rat =Ra ∩(W t × W t )
• I t (p) = I(p) ∩ W t
t
Lemma 3.4. (del sottomodello generato) Dati A ∈ Fm Φ
A e s ∈ W , allora:
Mt s A ⇔ M s A
Dimostrazione.
Esercizio. (Suggerimento: si proceda per induzione sulla struttura di A).
Attraverso l’utilizzo di opportuni sottomodelli generati è possibile mostrare che le proprietà di
convergenza e linearità non corrispondono ad alcuna formula modale.
28
Manipolazione di modelli
3.2
P-morfismi
In questa sezione limitiamo la nostra discussione a strutture relazionali contenenti una sola relazione
di accessibilità. Date due tali strutture relazionali, vogliamo definire una procedura per metterle a
confronto sí da poter stabilire se e come viene conservata la validità delle formule in tali strutture.
Definizione 3.5. Date due strutture relazionali F1 = hW1 , Ri e F2 = hW2 , Si, chiamiamo p-morfismo1
una funzione f che goda delle seguenti proprietà:
1. f : W1 → W2
2. ∀w, z ∈ W1 [wRz =⇒ f (w)Sf (z)]. Questa proprietà è descritta graficamente dalla Figura 3.1.
zO
f
S
R
w
/ f (z)
O
f
/ f (w)
Figura 3.1: La simmetria della condizione 2.
3. (back condition)
∀w ∈ W1 , ∀y ∈ W2 [f (w)Sy =⇒
graficamente dalla Figura 3.2.
B
R
w
∃v ∈ W1 .[wRv ∧ f (v) = y]]. Questa proprietà è descritta
Z y
6
S
- f (w)
Figura 3.2: Back-condition
La condizione 3. dice che y è immagine sotto la funzione f di almeno un mondo relato a w. Ovviamente possono esserci altri mondi relati allo stesso w che non vengono mappati sull’elemento y del
codominio, come possono esserci mondi di W1 non relati a w che vengono mappati su y.
Definizione 3.6. Un p-morfismo f è un p-morfismo fra modelli se vale anche la seguente condizione: dati
i due modelli M =< W1 , R, I1 > e M2 =< W2 , S, I2 >,
1 anziché
p-morfismo, alcuni chiamano questa particolare funzione morfismo limitato (dall’inglese: bounded morphism)
3.2 P-morfismi
29
4. ∀w ∈ W [w ∈ I1 (p) ⇔ f (w) ∈ I2 (p)]
Lemma 3.7. Dati M1 = hW1 , R1 , I1 i e M2 = hW2 , R2 , I2 i ed un p-morfismo f : M1 → M2 , allora per
ogni w ∈ W1 , vale che:
M1 w A sse M2 f (w) A
Dimostrazione.
Procediamo per induzione sulla costruzione della formula A.
• A = p: è il caso banale perché deriva direttamente dalla condizione 4 del p-morfismo;
• . . . (completare la dimostrazione, v. pag 11 libro Goldblatt)
Osservazione 5. Quando il lemma vale i due modelli conservano la verità punto per punto e quindi li
possiamo considerare a tutti gli effetti indistinguibili.
Osservazione 6. La condizione 4. è molto forte ed in genere l’esistenza di un p-morfismo fra due strutture non implica che possa essere esteso ad un p-morfismo fra modelli basati sulle strutture stesse.
Richiamiamo alla mente la definizione di funzione suriettiva, dall’algebra.
Definizione 3.8. (funzione suriettiva) Data una funzione f : A → B, diciamo che essa è suriettiva se
vale quanto segue:
∀y ∈ B.∃x ∈ A.f (x) = y
Definizione 3.9. (p-morfismo suriettivo) Dati i due modelli M1 = hW1 , R1 , I1 i e M2 = hW2 , R2 , I2 i
ed un p-morfismo f : M1 → M2 fra loro, diciamo che f è suriettivo se la funzione f : W1 → W2 su cui
esso si basa è a sua volta suriettiva.
Definizione 3.10. (immagine p-morfa) Se f : F1 → F2 è un p-morfismo suriettivo tra due strutture,
allora diremo che F2 è un’immagine p-morfa di F1 .
Lemma 3.11. (lemma del p-morfismo suriettivo su modelli) Dati due modelli ed un p-morfismo f : M1 →
M2 fra loro, se f è suriettivo vale che:
M1 A ⇔ M2 A
Dimostrazione.
Esercizio.
Lemma 3.12. (lemma del p-morfismo suriettivo su strutture) Dati due modelli ed un p-morfismo f : F1 →
F2 fra loro, se f è suriettivo vale che:
F1 A ⇒ F2 A
Dimostrazione.
La dimostrazione procede per contrapposizione, ovvero mostriamo che:
F2 2 A ⇒ F1 2 A.
Vale che:
F2 = hW2 , R2 i
F2 2 A
∃t ∈ W2 , M2 .M2 2t A
∃s ∈ W1 .t = f (s)
M2 2f (s) A
M1 2s A
(M2 è un F2 -modello)
(f è suriettivo)
(per il lemma 3.7)
Osservazione 7. Notiamo che passando dal livello dei modelli a quello delle strutture, passiamo da una
equivalenza della verità ad una implicazione della validità. Quindi la struttura p-morfa ad F conserva
tutto ciò che era valido su F (e, in genere rende valide altre formule).
30
Manipolazione di modelli
3.3
Proprietà non esprimibili
Vedremo in questa sezione alcune proprietà che non sono esprimibili (ovvero che non sono caratterizzabili) per mezzo di formule modali. Per farlo utilizzeremo gli strumenti appena introdotti: i
sottomodelli generati ed i p-morfismi.
Teorema 3.13. (la direzione non è esprimibile) La seguente congettura è falsa: per qualche A ∈ Fm Φ
A,
F A ⇒ F diretta
Dimostrazione.
Chiamiamo RD la classe delle relazioni dirette e RDD la classe delle relazioni debolmente dirette. È ovvio
che RD ⊆ RDD. Inoltre, è possibile
Teorema 3.14. (la connessione non è esprimibile) a
Dimostrazione.
d
Teorema 3.15. (l’irriflessività non è esprimibile) La seguente congettura è falsa:
per qualche fbf A, F A sse F è irriflessiva.
Dimostrazione.
R è irriflessiva =df : ∀x.¬(xRx)
Si consideri la struttura F2 = h{0}, {h0, 0i}i che è immagine p-morfa di hN, <i secondo la funzione
f (n) = 0, per qualsiasi n ∈ N.
Verifichiamo che le tre proprietà dei p-morfismi siano soddisfatte:
• f : N → {0}
• ∀n, m ∈ N.n < m ⇒ f (n) R f (m) ⇔ 0 R 0
• la back-condition vale, poiché banalmente
f (n)Ry
∃m.(n < m ∧ f (m) = y)
La situazione è sintetizzata graficamente nella Figura 3.3.
0
•
/
1
•
/
2
•
/
) %
3
•
/
4
•
/ ...
0 x
•X
Figura 3.3: Un p-morfismo da N a {0}
Supponiamo che per qualche fbf A, F A sse F è irriflessiva. Ma hN, <i è irriflessiva, dunque
hN, <i A, allora F2 A (per l’esistenza del p-morfismo), per cui F2 sarebbe irriflessiva, in contraddizione con la definizione data di F2 . Da qui l’assurdo.
Mostriamo ora che anche la proprietà di antisimmetria non è esprimibile attraverso una formula
modale.
3.3 Proprietà non esprimibili
31
Teorema 3.16. (l’antisimmetria non è esprimibile) La seguente congettura è falsa: per qualche A ∈ Fm Φ
A:
F A
sse F è antisimmetrica.
Dimostrazione.
Si consideri la struttura:
F2 = h{a, b}, {ha, ai, ha, bi, hb, bi, hb, ai}i,
che è immagine p-morfa della struttura hN, <i (la quale è antisimmetrica) attraverso la funzione seguente:
a, se n è pari
f (n) =
b, se n è dispari
Anche in questo caso si può verificare semplicemente (esercizio) come f soddisfi i tre criteri che definiscono un p-morfismo. Graficamente la situazione è descritta dalla Figura 3.4.
Supponiamo che per qualche fbf A, F A sse F è antisimmetrica. Ma hN, <i è antisimmetrica, dunque hN, <i A, allora F2 A (per l’esistenza del p-morfismo), da cui deriviamo che F2 è
antisimmetrica. Questo però contraddice la definizione data di F2 e genera l’assurdo che dimostra il
teorema.
Osservazione 8. Notiamo che nella Figura 3.4 non sono disegnate le frecce n → m dove n ed m differiscono di 2 o più. Tali frecce sono comunque da intendersi come presenti, e non rappresentate solo per
non “sporcare” il diagramma.
Osservazione 9. Sempre nella Figura 3.4, notiamo che la freccia riflessiva a → a (risp. b → b) in F2 è
ancora necessaria, perché corrisponde alla freccia n < m in F1 dove n ed m sono entrambi pari (risp.
dispari).
0
•
/
/
1
•
%
2
•
yo
aX
•
/
/
3
•
%/
•
Eb
4
•
/
5
•
y
Figura 3.4: Un p-morfismo da N a {a, b}
/ ...
32
Manipolazione di modelli
Capitolo 4
Teoria della dimostrazione
4.1
Logiche modali normali
Definizione 4.1. 7.1 Si definisce logica modale normale in un linguaggio LΦ
A qualunque insieme L di
formule tale che
• L contiene tutte le tautologie,
• L è chiuso rispetto al modus ponens (MP ),
a
a
a
• L contiene le formule Ka : 2(A
→ B) → (2A
→ 2B)
con a ∈ A,
a
• L è chiuso rispetto alla regola di necessitazione NEC : B ` 2B
con a ∈ A.
La definizione di logica modale normale data sopra suggerisce immediatamente di formalizzare
le dimostrazioni in sistemi deduttivi alla Hilbert. Si tratta quindi di adattare l’assiomatizzazione della
logica proposizionale al caso delle logiche modali normali: sarà sufficiente aggiungere agli assiomi
classici l’assioma K. Inoltre assumeremo come regola d’inferenza primitiva non soltanto il MP , ma
anche la necessitazione NEC . In questo modo otteniamo l’assiomatizzazione della logica KA :
(1.1)
(1.2)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(5.1)
(Ka )
A → (B → A)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
A∧B →A
A∧B →B
(A → B) → (A → C) → (A → B ∧ C)
A→A∨B
B →A∨B
(A → B) → (C → B) → (A ∨ C → B)
(A → B) → ((A → ¬B) → ¬A)
A → (¬A → B)
¬¬A → A
⊥ → (A ∧ ¬A)
a
a
a
2(A
→ B) → (2A
→ 2B)
con a ∈ A
Definizione 4.2. (L-deduzione) Sia Γ un insieme di enunciati. Si scrive
Γ `L B
e diciamo che da Γ si deduce B in L se e solo se B:
• appartiene a Γ; oppure
• è (una istanza di) un assioma di L; oppure
34
Teoria della dimostrazione
• è stata ottenuta partendo da due formule deducibili da Γ in L e applicando MP ; oppure
• è stata ottenuta partendo da una formula deducibile da Γ in L e applicando NEC .
Definizione 4.3. (teorema) B è un teorema di L se e solo se `L B, cioè se B si deduce dall’insieme vuoto
in L.
Si mostra facilmente che l’insieme dei teoremi di KA è una logica modale normale: in particolare, si
tratta della più piccola logica normale.
Osservazione 10. Nel seguito, con L si indicherà una qualunque logica nel linguaggio LΦ
A che estenda
KA (vale a dire: qualunque logica normale).
4.2
Insiemi massimali e consistenti
Definizione 4.4. (L-consistenza) Sia L una logica. Γ è un insieme di formule L-inconsistente se e solo se
esistono enunciati B1 , . . . , Bn ∈ Γ tali che
`L B1 ∧ . . . ∧ Bn → ⊥
Γ è L-consistente se e solo se non è L-inconsistente.
Definizione 4.5. (insieme massimale) Un insieme Γ di formule di Fm Φ
A si dice massimale se e solo se
per ogni enunciato B in Fm Φ
A si ha B ∈ Γ oppure ¬B ∈ Γ.
Proposizione 4.6. Si mostra facilmente (esercizio) che se Γ è L-consistente e massimale, allora
• B 6∈ Γ ⇒ Γ ∪ {B} è L-inconsistente.
• se Γ ⊆ ∆ e ∆ è L-consistente, allora Γ = ∆ (da cui l’uso dell’aggettivo “massimale”).
• L⊆Γ
• ⊥ 6∈ Γ
• ¬B ∈ Γ ⇔ B 6∈ Γ
• (B → C) ∈ Γ ⇔ (B ∈ Γ ⇒ C ∈ Γ)
• (B ∧ C) ∈ Γ ⇔ (B ∈ Γ e C ∈ Γ)
• (B ∨ C) ∈ Γ ⇔ (B ∈ Γ oppure C ∈ Γ)
• (B ↔ C) ∈ Γ ⇔ (B ∈ Γ ⇔ C ∈ Γ)
Lemma 4.7. (di Lindenbaum) Sia Γ un qualunque insieme L-consistente,
Γ ⊆ ∆,
dove ∆ è un insieme L-consistente e massimale.
Dimostrazione.
Mostriamo costruttivamente che un tale insieme L-consistente e massimale esiste sempre, partendo da
qualsiasi insieme L-consistente.
1
Si enumerano le formule di Fm Φ
A
B0 , B1 , . . . , Bn , . . .
Si costruisce induttivamente la seguente catena di insiemi di formule:
Si pone infine ∆ =
1 L’operazione
S
∆0
=
∆n+1
=
Γ
∆n ∪ {Bn }
∆n ∪ {¬Bn }
se questo è L-consistente
altrimenti
{∆n : n ≥ 0}. Mostriamo che ogni ∆n è L-consistente. Per induzione su n:
è descritta da un algoritmo, pertanto non è richiesto l’assioma della scelta.
4.2 Insiemi massimali e consistenti
35
n = 0: ∆0 = Γ, e Γ è L-consistente per ipotesi
n = k + 1: se ∆k+1 = ∆k ∪ {Bk }, allora ∆k+1 è L-consistente per costruzione; se invece ∆k+1 =
∆k ∪ {¬Bk }, allora per costruzione ∆k ∪ {Bk } non è L-consistente, quindi
`L D1 ∧ . . . ∧ Dj ∧ Bk → ⊥
con {D1 , . . . , Dj } ⊆ ∆k
`L D1 ∧ . . . ∧ Dj → (Bk → ⊥)
Se ∆k ∪ {¬B} fosse L-inconsistente avremmo, per qualche {E1 , . . . , Ei } ⊆ ∆k :
`L
`L
`L
`L
`L
E1 ∧ . . . ∧ Ei ∧ ¬Bk → ⊥
E1 ∧ . . . ∧ Ei → (¬Bk → ⊥)
D1 ∧ . . . ∧ Dj ∧ E1 ∧ . . . ∧ Ei → [(B → ⊥) ∧ (¬B → ⊥)]
D1 ∧ . . . ∧ Dj ∧ E1 ∧ . . . ∧ Ei → ((B ∨ ¬B) → ⊥)
D1 ∧ . . . ∧ Dj ∧ E1 ∧ . . . ∧ Ei → ⊥
contrariamente al fatto che ∆k è L-consistente per ipotesi induttiva.
Bisogna ora mostrare che ∆ è L-consistente. Se non lo fosse, esisterebbero formule {D1 , . . . , Dj } ⊆ ∆
tali che `L D1 ∧. . .∧Dj → ⊥. Siano ∆f (1) , . . . , ∆f (j) gli insiemi della catena tali che D1 ∈ ∆f (1) , . . . , Dj ∈
∆f (j) . Sia k = max{f (1), . . . , f (j)}. Poiché ∆k ⊇ ∆f (i) per ogni i ≤ j, ∆k è L-inconsistente contro
quanto fatto vedere precedentemente.
Si mostra infine che ∆ è massimale. Sia B ∈ Fm Φ
A . B occorrerà con un certo indice, diciamo k,
nell’enumerazione delle formule data all’inizio. Dunque B ∈ ∆k+1 oppure ¬B ∈ ∆k+1 . Ne segue che
B ∈ ∆ oppure ¬B ∈ ∆.
Corollario 4.8. Per ogni formula A vale quanto segue:
`L A ⇔ ∀w ∈ W L , A ∈ w.
Dimostrazione.
• ⇐)
Si vede subito che se 6`L A allora {¬A} è L-consistente, infatti se così non fosse avremmo
⇒
⇒
`L ¬A → ⊥
`L ¬¬A
`L A
contro l’ipotesi che A non sia dimostrabile. Poiché {¬A} è L-consistente, per il lemma di Lindenbaum esiste un w ∈ W L tale che ¬A ∈ w, quindi A 6∈ w perché Γ è L-consistente.
• ⇒)
Lo dimostriamo per induzione sulla forma di A:
`L >: > ∈ w;
`L p: . . .
`L B ∧ C:
`L B e `L C
B ∈weC ∈w
B∧C ∈w
. . . esercizio
(ip. induttiva)
(Proposizione 4.6)
36
Teoria della dimostrazione
4.3
Il modello canonico
Definizione 4.9. (modello canonico) Il modello canonico di una logica L è indicato con:
ML = hW L , R L , I L i,
dove:
• W L è la classe di tutti gli insiemi Γ che siano sottinsiemi L-consistenti massimali di Fm Φ
A.
• s R L t ⇔ (∀2B ∈ s.∃B ∈ t)
• I L è tale che I L (p) = {w ∈ W L : p ∈ w}.
Lemma 4.10. (box-lemma)
L
∀s, t ∈ W L , C ∈ Fm Φ
A .(2C ∈ s ⇔ s Ra t ⇒ C ∈ t)
Dimostrazione.
⇒)
Si può mostrare (esercizio) che deriva direttamente dalla definizione di RaL .
⇐)
Per contrapposizione: supponiamo che 2C 6∈ s e costruiamo un t ∈ W L tale che C ∈
/ t. Poniamo
Γ = {D ∈ Fm Φ
A : 2D ∈ s}
Mostriamo che Γ ∪ {¬C} è L-consistente: se non lo fosse, esisterebbero formule D1 , . . . , Dn ∈ Γ
tali che
`L D1 ∧ . . . ∧ Dn ∧ ¬C → ⊥
`L D1 ∧ . . . ∧ Dn → (¬C → ⊥)
`L D1 ∧ . . . ∧ Dn → C
`L 2D1 ∧ . . . ∧ 2Dn → 2C
2D1 , . . . , 2Dn ∈ s
2C ∈ s
(s è massimale, per def. di modello canonico)
Quello che abbiamo derivato, però, contraddice l’ipotesi, da cui l’assurdo.
Per il lemma di Lindenbaum segue che esiste t ∈ W L tale che Γ ∪ {¬C} ⊆ t. Allora essendo anche
Γ ⊆ t, si ha s R L t ed essendo ¬C ∈ t, concludiamo che C 6∈ t, come desiderato.
Lemma 4.11. (diamond-lemma)
∀s, t ∈ W L .s R L t ⇔ ∀B ∈ t.∃3B ∈ w
Dimostrazione.
⇒)
Supponiamo che w R L v e C ∈ v: per il lemma fondamentale 4.14, ML v C e quindi, per
definizione (di modello canonico) ML w 3C. Ma allora, di nuovo per il lemma fondamentale,
3C ∈ w, come richiesto.
4.3 Il modello canonico
37
⇐)
Per contrapposizione, dimostriamo che
/w
¬(wR L v) ⇒ EC ∈ v : 3C ∈
Per definizione di R L , se ¬(w R L v), esiste una formula B tale che 2B ∈ w e B ∈
/ v. Essendo w e
v massimali, segue che ¬2B ∈
/ w e ¬B ∈ v. Equivalentemente, 3¬B ∈
/ w e ¬B ∈ v. Ma allora ¬B
è proprio la proposizione C che cercavamo.
Osservazione 11. Notiamo quanto la formulazione del diamond-lemma sia simile alla definizione della
relazione canonica (a parte la posizione invertita degli operatori modali).
Definizione 4.12. (valida, completa, determinata) Sia H una classe di frame o di modelli. Una logica
L è valida su H se per ogni A:
`L A ⇒ H A.
Una logica L è completa rispetto a H se per ogni A:
H A⇒ `L A.
L è determinata da H se è sia valida sia completa rispetto a H, ossia:
H A⇔ `L A.
Definizione 4.13. (strutture per la logica) Diciamo che la struttura F è una struttura per la logica L se
e solo se L è valida su F.
Vorremmo ora dimostrare che una logica L è determinata dal corrispondente modello canonico.
Questo risultato è immediata conseguenza del seguente lemma.
L
Lemma 4.14. (fondamentale del modello canonico) Per ogni B ∈ Fm Φ
A ed ogni w ∈ W :
ML w B ⇔ B ∈ w
Dimostrazione.
Per induzione sulla costruzione di B.
B ≡ p: il lemma vale per la definizione di ML .
B ≡ ¬C: ML w ¬C ⇔ ML 6w C ⇔ C ∈
/ w ⇔ ¬C ∈ w.
B ≡ C ∧ D: ML w C ∧ D ⇔ ML w C e ML w D. Per ipotesi induttiva, questo equivale a dire che
C ∈ w e D ∈ w: ma allora anche C ∧ D ∈ w, essendo w massimale.
B ≡ C ∨ D: ML w C ∨ D ⇔ ML w C oppure ML w D. Per ipotesi induttiva ciò equivale a dire
che C ∈ w oppure D ∈ w: ma allora anche C ∨ D ∈ w, essendo w massimale.
B ≡ C → D: ML w (C → D) ⇔ ML 6w C oppure ML w D ⇔ C ∈
/ w oppure D ∈ w ⇔ (C →
D) ∈ w
A
B ≡ 2C: ML w 2C ⇔ v : w R L v, ML v C. Per ipotesi induttiva, questo è equivalente a dire che
v : w R L v, C ∈ v: ma allora, per il box-lemma (??), 2C ∈ w.
A
38
Teoria della dimostrazione
Corollario 4.15. Ogni logica L è determinata dal modello canonico, ossia per ogni A ∈ Fm Φ
A
`L A ⇔ ML A.
Dimostrazione.
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
`L A
A∈w
∀w.ML w A
ML A
(Corollario 4.8)
(Lemma 4.14)
Osservazione 12. Dal corollario segue che L è completa rispetto alla struttura F L = hW L , R L i, cioè
F L A ⇒`L A
Ma L non è necessariamente valida rispetto a F L : infatti nulla ci autorizza a dire che una proposizione
vera sul modello canonico sia vera anche in tutti i modelli che condividono la struttura canonica.
Capitolo 5
Completezza
Abbiamo introdotto il concetto di completezza con la Definizione 4.12. In questo capitolo ci concentriamo su come possiamo dimostrare che alcune logiche sono complete rispetto a certe classi di strutture.
Per farlo, inizieremo introducendo alcune definizioni che risulteranno utili. In un secondo momento delineiamo il metodo che utilizzeremo per condurre la maggior parte delle dimostrazioni. Infine
presenteremo la carrellata dei teoremi di completezza.
5.1
Strumenti
Definizione 5.1. (logica canonica) Una logica L è canonica se la struttura relazionale F L sui cui è basato
il modello canonico ML è una struttura per L, ovvero tale che
`L A
FL A
⇒
Se indichiamo con CL la classe delle strutture relazionali per L, ed inoltre L è canonica, allora L è
determinata dalla classe CL delle strutture per L:
CL A
⇔
`L A
Osservazione 13. Si noti che esistono logiche canoniche che non sono complete rispetto ad alcuna classe
di strutture relazionali: in questo caso si ha che per qualche fbf A
CL A
e 6`L A
Definizione 5.2. Introduciamo qui due operatori insiemistici che utilizzeremo ampiamente in seguito.
Per ciascun w ∈ W L :
2− (w) = {B ∈ Fm Φ
A : 2B ∈ w}
3+ (w) = {3B ∈ Fm Φ
A : B ∈ w}
Nelle dimostrazioni successive, potremo quindi dire che w R L v se e solo se v ⊇ 2− (w) (per come
abbiamo definito la relazione canonica nella Definizione 4.9) oppure, equivalentemente, se e solo se
w ⊇ 3+ (v) (per il Lemma 4.11).
5.2
Metodo
Abbiamo dimostrato che una logica L è determinata dal corrispondente modello canonico (v. Corollario 4.15). Dunque tale logica è anche completa rispetto ad esso; tuttavia ciò che più ci interessa è
dimostrare che una logica è completa rispetto a qualche classe di strutture relazionali, specificata da una
determinata proprietà. Conoscendo le proprietà del modello canonico, possiamo ora seguire questo
schema d’azione:
40
Completezza
1. vogliamo dimostrare che C A⇒ `L A;
2. per contrapposizione, mostriamo che 0L A ⇒ C 2 A;
3. da 0L A ricaviamo ML 2 A e quindi F L 2 A;
4. Cerchiamo di dimostrare che F L ∈ C;
5. F L ∈ C ⇒ C 2 A.
Pertanto per dimostrare la completezza di una logica rispetto a una certa classe di strutture, è sufficiente
dimostrare che la struttura su cui è basato il modello canonico appartiene a quella classe (passo 4). Gli
altri passi del metodo appena delineato, sono garantiti veri dalle proprietà già presentate del modello
canonico.
Quanto appena detto dimostra il seguente teorema:
Teorema 5.3.
F L ∈ C ⇒ L è completa
o, equivalentemente:
L è incompleta ⇒ F L 6∈ C
5.3
Logiche
In questa sezione presentiamo gerarchicamente alcune logiche, mostrate nella Figura 5.1, e per ciascuna
di esse ricaveremo un teorema di completezza rispetto ad opportune classi di strutture.
Teorema 5.4. La logica K è completa rispetto alla classe delle strutture relazionali, ossia per qualunque C
C A⇒ `K A.
Triv
O
S5
K cFF
FF
FF
FF
S4.3
O
S4.2
O
KW
; S4
O
xx
x
x
x
xx
xx
g PP B aC
DP
TO
5 K4
x; X
kkk
PPP CC
xx kkkkk
PPP CC
x
x kk
PPP CC
PPPC xxkxkxkkkk
k
K
Figura 5.1: Una gerarchia delle logiche
5.3 Logiche
41
Dimostrazione.
In questa dimostrazione non faremo uso del metodo presentato, ma mostreremo per contrapposizione
come: 6`K A ⇒ C 6 A.
6`K B
MK 6 B
F K 6 B
C
6 B
(F K è una struttura relazionale)
Teorema 5.5. T è completa rispetto alla classe delle strutture riflessive.
Dimostrazione.
Procediamo nel modo canonico dimostrando che MT è riflessivo, ossia che w ∈ W T ⇒ w RaT w, o in
altre parole che 2C ∈ w ⇒ C ∈ w. Si ricordi l’assioma:
a
Ta : 2C
→C
Per ogni w ∈ W T , è vero quanto segue:
a
2C
→C∈w
a
2C
∈w
C∈w
a
2C
∈w⇒C ∈w
w RT w
(w è massimale)
(ipotesi)
(w è massimale, e vale T)
(def. di RaT )
Questo conclude la dimostrazione.
Teorema 5.6. D è completa rispetto alle strutture seriali.
Dimostrazione.
Procediamo nel modo canonico: occorre mostrare che nel modello canonico di D, R D è seriale. Si ricordi
l’assioma
a
a
Da : 2A
→ 3A
Anzitutto notiamo che vale quanto segue, per ciascun w ∈ W D :
`D >
a
`D 2>
a
`D 3>
a
∀w ∈ W D .3>
∈w
(def. di w)
(NEC)
(per D)
(†)
Ora prendiamo un qualunque w ∈ W D e mostriamo che esiste un v ad esso relato. Evidentemente, dalla
definizione di relazione canonica, è necessario che v sia un’estensione massimale di 2− (w) (cfr. Definizione 4.9 e Definizione 5.2). A questo punto non ci rimane che mostrare che 2− (w) è D-consistente, ed
il Lemma di Lindenbaum ci garantirà che tale estensione esiste.
Procediamo per assurdo. Per qualunque w ∈ W D :
2− (w) è D-inconsistente
∃A1 , . . . , An ∈ 2− (w). `D A1 ∧ . . . ∧ An → ⊥
a
`D 2(A
1 ∧ . . . ∧ An → ⊥)
a
a
a
`D 2(A
→ B) → 2A
→ 2B
a
a
`D 2(A
∧
.
.
.
∧
A
)
→
2⊥
1
n
a
a
2(A
1 ∧ . . . ∧ An ) → 2⊥ ∈ w
A1 ∧ . . . ∧ An ∈ w
2(A1 ∧ . . . ∧ An ) ∈ w
2⊥ ∈ w
(ip. assurda)
(NEC)
(assioma K)
(per ipotesi e perché w è cons. e mass.)
(w è cons. e mass.)
(w è cons. e mass.)
42
Completezza
Ma questo contraddice (†), da cui l’assurdo.
Riassumendo: 2− (w) è D-consistente e per il Lemma di Lindenbaum esso può essere esteso ad un
insieme v consistente e massimale (esistenza). Segue dalla definizione di R D che w RaD v. Pertanto,
dato che ogni punto w del modello canonico ha un punto relato, il modello è seriale.
Teorema 5.7. X è completa rispetto alle strutture debolmente dense.
Dimostrazione.
Consideriamo la logica X = K + X, dove
X : 22A → 2A
Procediamo nel modo usuale, dimostrando cioè che il modello canonico è basato su una struttura
debolmente densa. La relazione densa debole è così definita:
A A
w v[w R X v → Ez(w R X z ∧ z R X v)].
wA
A
A
A ~~
z
~
/v
~?
Figura 5.2: Relazione densa debole
Avendo supposto che w R X v, mostriamo che esiste un mondo z che rispetti la suddetta formula e per farlo seguiamo la tecnica usata nel precedente teorema: z esiste, se e solo se vale che
z ⊃ eq2− (w) ∪ 3+ (v). Ma se riusciamo a dimostrare che 2− (w) ∪ 3+ (w) è X-consistente, allora dal
Lemma di Lindenbaum deduciamo che ∃z.z è consistente e massimale e z ⊇ {2− (w) ∪ 3+ (w), il che
concluderebbe la nostra dimostrazione.
Procediamo dunque per assurdo per dimostrare che 2− (w) ∪ 3+ (w) è X-consistente. Supponiamo
che non lo sia: allora
`X A1 ∧ . . . ∧ An ∧ 3C1 ∧ . . . 3Ck → ⊥
dove 2A1 , . . . , 2An ∈ w e C1 , . . . , Ck ∈ v. Possiamo derivare:
`X A1 ∧ . . . ∧ An ∧ 3(C1 ∧ . . . ∧ Ck ) → ⊥
`X A1 ∧ . . . ∧ An → ¬3(C1 ∧ . . . Ck )
`X 2A1 ∧ . . . ∧ 2An → 2¬3(C1 ∧ . . . ∧ Ck )
`X 2A1 ∧ . . . ∧ 2An → 22¬(C1 ∧ . . . ∧ Ck )
2A1 , →, 2An ∈ w
22¬(C1 ∧ . . . ∧ Ck ) ∈ w
2¬(C1 ∧ . . . ∧ Ck ) ∈ w
(per assioma X)
¬(C1 ∧ . . . ∧ Ck ) ∈ v
(per ipotesi w R X v)
Ma questo contraddice l’ipotesi secondo cui (C1 ∧ . . . ∧ Ck ) ∈ v, da cui l’assurdo.
2− (w) ∪ 3+ (v) è quindi X-consistente, pertanto prendendo come z una sua estensione massimale
(la cui esistenza è garantita dal Lemma di Lindenbaum) otteniamo w R X z R X v, come richiesto.
Teorema 5.8. K4 è completa rispetto alle strutture transitive.
5.3 Logiche
43
Dimostrazione.
Consideriamo la logica K4 = K + 4, dove
4 : 2A → 22A.
Per dimostrare che K4 è completa rispetto alle strutture transitive, dimostriamo che MK4 è basato
su una struttura transitiva. Ogni punto di MK4 contiene le istanze dell’assioma 4. Pertanto, fissati
x, y, z ∈ W K4 tali che x R K4 y e y R K4 z, si ha, per ogni A tale che 2A ∈ x, anche 22A ∈ x. Allora
2A ∈ y e di conseguenza A ∈ z.
Avendo dimostrato che, qualunque sia A, se 2A ∈ x allora A ∈ z, e cioè che z ⊇ 2− (x), segue che
x R K4 z come richiesto.
Vedremo nella Sezione ?? che la logica K4 gode anche della proprietà della struttura finita.
Teorema 5.9. B è completa rispetto alle strutture simmetriche.
Dimostrazione.
Sia B = K + B, dove B è lo schema di assioma così definito:
B : A → 23A.
Si tratta di dimostrare che il modello canonico MB è simmetrico. Come al solito, ogni istanza di B
appartiene a ogni mondo del modello canonico: pertanto per ogni w ∈ W B , se A ∈ w allora anche
23A ∈ w (essendo w B-consistente massimale).
Supponiamo che w R B v e che A ∈ w. Allora 23A ∈ w e quindi 3A ∈ v. Allora v ⊇ 3+ (w) e quindi
v R B w. Pertanto, poiché per ogni coppia di mondi relati in un verso vale anche la relazione in verso
opposto, il modello è simmetrico, come richiesto.
Teorema 5.10. S4 è completa rispetto alle strutture riflessive e transitive.
Dimostrazione.
La logica S4 è definita dai seguenti assiomi:
T : 2A → A
4 : 2A → 22A
Questi assiomi sono gli stessi delle logiche T e K4, pertanto il teorema segue direttamente dalla completezza di T rispetto alle strutture riflessive e di K4 rispetto alle strutture transitive.
Teorema 5.11. S4.2 è completa rispetto alle strutture riflessive, transitive e debolmente dirette.
Dimostrazione.
Della logica S4.2 (nota talvolta col nome di logica G) sappiamo che essa è definita dai seguenti schemi
di assiomi:

 T : 2A → A
4 : 2A → 22A

G : 32A → 23A
Avendo già trattato le proprietà riflessiva e transitiva all’interno di S4, ci sarà sufficiente mostrare
che il modello canonico di S4.2 è debolmente diretto. La proprietà diretta debole (Figura 5.3) è così
definita:
∀s, t, u∃v.(s R t ∧ s R u → t R v ∧ u R b).
Avendo fissato s, t e u tali che s R S4.2 t e s R S4.2 u, dimostriamo l’esistenza di v che soddisfi la
condizione sopra. Questo equivale a dire che:
2− (t) ∪ 2− (u) ⊆ v
44
Completezza
? v _?
?
?
?
t _>>
?u
>>


>>

>> 

s
Figura 5.3: Relazione diretta debole
pertanto, analogamente alle logiche precedenti, si tratta di mostrare che 2− (t)∪2− (u) è S4.2-consistente.
Anzitutto notiamo che è vero quanto segue:
2B1 ∧ . . . ∧ 2Bn ∈ u
(per definizione)
32B1 ∧ . . . ∧ 32Bn ∈ s
23B1 ∧ . . . ∧ 23Bn ∈ s (per assioma G)
3B1 ∧ . . . ∧ 3Bn ∈ t
(‡)
Poi procediamo per assurdo:
2− (t) ∪ 2− (u) è S4.2-inconsistente
{A : 2A ∈ t} ∪ {B : 2B ∈ u} è S4.2-inconsistente
`S4.2 A1 ∧ . . . ∧ Am ∧ B1 ∧ . . . ∧ Bn → ⊥
`S4.2 A1 ∧ . . . ∧ Am → ¬(B1 ∧ . . . ∧ Bn )
`S4.2 2(A1 ∧ . . . ∧ Am ) → 2¬(B1 ∧ . . . ∧ Bn )
`S4.2 2(A1 ∧ . . . ∧ Am ) → 2(¬B1 ∨ . . . ∨ ¬Bn )
(ip. assurda)
(†)
Ma (†) contraddice (‡), perché non può essere vero che, per qualche i, MS4.2 t 3Bi ∧ 2¬Bi . Da cui l’assurdo che dimostra come l’insieme 2− (t) ∪ 2− (u) è S4.2-consistente, e da cui possiamo dedurre (come
al solito per il Lemma di Lindenbaum) l’esistenza di v che soddisfa la proprietà diretta debole.
Teorema 5.12. S4.3 è completa rispetto alle strutture riflessive, transitive e debolmente connesse.
Dimostrazione.
La logica S4.3 è definita dai seguenti assiomi:

 T : 2A → A
4 : 2A → 22A

L : 2(A ∧ 2A → B) ∨ 2(B ∧ 2B → A)
Le dimostrazioni di completezza rispetto alle strutture riflessive e transitive sono in tutto e per tutto
equivalenti a quelle date per le logiche T e K4. Perciò ci rimane da dimostrare solo che il modello
canonico è debolmente connesso. La proprietà di connessione debole è così definita:
∀wtv.(w R t ∧ w R v → t R v ∨ t = v ∨ v R t).
Supponiamo per assurdo che il modello canonico non sia debolmente connesso: allora
∃wtv.(w R S4.3 t ∧ w R S4.3 v ∧ ¬(t R S4.3 v) ∧ ¬(v R S4.3 t) ∧ t 6= v).
In altre parole:
EB, 2B ∈ t e B ∈
/v
EA, 2A ∈ v e A ∈
/t
EC, C ∈
/ teC ∈v
(†)
(‡)
5.3 Logiche
45
Essendo 2A ∈ v non è difficile convincersi che 2(A ∨ C) ∈ v. Inoltre, poiché C ∈ v, anche A ∨ C ∈ v e
quindi abbiamo:
2(A ∨ C) ∧ (A ∨ C) ∈ v.
D’altra parte, poiché ¬C ∈
/ veB ∈
/ v, si ha ¬C ∨ B ∈
/ v e quindi:
2(A ∨ C) ∧ (A ∨ C) → (¬C ∨ B) ∈
/ v.
Ricordando infine che w R S4.3 v otteniamo:
2(2(A ∨ C) ∧ (A ∨ C) → (¬C ∨ B)) ∈
/ w.
Istanziamo ora l’assioma L ponendo:
A
B
7→
7
→
A∨C
¬C ∨ B.
Otteniamo:
2(2(A ∨ C) ∧ (A ∨ C) → (¬C ∨ B)) ∨ 2(2(¬C ∨ B) ∧ (¬C ∨ B) → (A ∨ C)).
Allora per ogni mondo x:
2(2(A ∨ C) ∧ (A ∨ C) → (¬C ∨ B)) ∈ x
oppure 2(2(¬C ∨ B) ∧ (¬C ∨ B) → (A ∨ C)) ∈ x.
Avendo dimostrato che la prima delle due formule non appartiene a w, ne segue che:
⇒
2(2(¬C ∨ B) ∧ (¬C ∨ B) → (A ∨ C)) ∈ w
2(¬C ∨ B) ∧ (¬C ∨ B) → (A ∨ C) ∈ t.
Ora consideriamo t. Poiché ¬C ∈ t, anche ¬C ∨B ∈ t; d’altra parte, essendo 2B ∈ t, è facile convincersi
che anche 2(¬C ∨ B) ∈ t. Quindi anche la loro congiunzione:
2(¬C ∨ B) ∧ (¬C ∨ B) ∈ t.
Per MP otteniamo allora:
⇒
A∨C ∈t
A ∈ t oppure C ∈ t.
Ma in (†) e (‡) avevamo supposto A ∈
/ teC ∈
/ t, da cui l’assurdo.
Teorema 5.13. S5 è completa rispetto alle strutture riflessive, transitive e simmetriche.
Dimostrazione.
La logica S5 è definita dagli assiomi:

 T : 2A → A
4 : 2A → 22A

B : A → 23A
La dimostrazione del teorema segue direttamente da quelle delle logiche T,K4 e B.
Le relazioni riflessive, transitive e simmetriche sono dette “relazioni di equivalenza” o “universali”. Così come si può dimostrare che una relazione che sia transitiva ed euclidea è una relazione di
equivalenza (esercizio), parallelamente si può dimostrare il seguente teorema:
46
Completezza
Teorema 5.14. La logica:

 T : 2A → A
4 : 2A → 22A

E : 3A → 23A
è completa rispetto alla classe di strutture basate su relazioni di equivalenza.
Dimostrazione.
Esercizio
Teorema 5.15. Triv è completa rispetto alle strutture di punti isolati.
Dimostrazione.
Sia Triv = K + Triv, dove Triv è così definito:
Triv : A ↔ 2A.
Dobbiamo dimostrare che il modello canonico consiste di punti isolati, cioè che
∀xy.x R Triv y ↔ x = y.
⇒)
Supponiamo x R Triv y.
A∈x
2A ∈ x
A∈y
A∈x⇒A∈y
y⊇x
(per Triv)
(†)
Ora dimostriamo che è vero anche il contrario, y ⊆ x, ovvero A ∈ y ⇒ A ∈ x. Lo facciamo per
assurdo: per qualche formula B,
B ∈ y ∧ B 6∈ x (ip. assurda)
¬B ∈ x
(x è massimale)
¬B ∈ y
(per †)
y ⊇ {B, ¬B}
Ma ciò significa affermare che y non è consistente, da cui l’assurdo che prova il teorema.
⇐)
Dovremmo dimostrare che x R Triv x per ogni x, ma questo è immediato: notiamo infatti che da
Triv si ricava subito 2A → A, che è l’assioma T. È sufficiente, quindi, ricondursi alla completezza
di T rispetto alle strutture riflessive.
Osservazione 14. Esistono tutta una serie di logiche che estendono K senza l’assioma T: KB,Ky,KW (che
vedremo nel Capitolo ??) e infine Verum (che ha l’assioma 2A, per ogni A). Verum è la logica dei mondi
che non vedono niente, neanche se stessi. In una tale logica si dimostra 2⊥.
5.4
Esercizi
Esercizio 5.1. Mostrare che i seguenti sono teoremi di KA :
a
a
a
2(A
∧ B) ↔ 2A
∧ 2B
a
a
a
3(A
∨ B) ↔ 3A
∨ 3B
a
a
a
(2A
∨ 2B)
→ 2(A
∨ B)
a
a
a
3(A
∧ B) → 3A
∧ 3B
5.4 Esercizi
47
Esercizio 5.2. Si dimostri la validità delle proprietà mostrate nella Proposizione 4.6
Esercizio 5.3. Si completi la dimostrazione del Corollario 4.8.
Esercizio 5.4. Si completi la dimostrazione del Lemma 4.10.
Esercizio 5.5. Si dimostri che le relazioni transitive ed euclidee sono relazioni di equivalenza, e si
completi la dimostrazione del Teorema 5.14.
48
Completezza
Capitolo 6
Modelli finiti
Ogni modello canonico è infinito, nel senso che, per come è stato costruito, W L contiene infiniti elementi.
Questa caratteristica di W L è collegata a quello che potremmo chiamare “difetto per eccesso” di ML .
Come scrive Goldblatt: nel suo essere capace di falsificare ogni particolare non-teorema A, ML fornisce una
buona dose di informazione superflua (v. [Gol], p.31). Il valore di verità di una specifica fbf A in un mondo
w di W L è determinato unicamente dai valori di verità assunti dalle sole sottoformule di A stessa nel
mondo w ed in quelli ad esso relati.
L’idea che sta dietro il concetto di filtrazione è quella di raggruppare in una stessa classe X ⊆ W L
tutti i punti che assegnano gli stessi valori di verità a tutte le sottoformule di A. In altre parole: in X
“collassano” tutti quei mondi che danno gli stessi valori di verità a ciascuna formula, e che quindi
sono indistinguibili. Questo processo porta alla costruzione di un nuovo modello, che è basato su quello
canonico e quindi continua a falsificare A, ma a differenza di questo ha una struttura finita.
Come si può osservare il modello così ottenuto per filtrazione è altamente ”specialistico”, costruito
ad hoc per un preciso non-teorema A. Ovviamente dall’unico modello canonico per L sono possibili
infiniti modelli filtrati, uno per ciascuna fbf presa in considerazione.
Tipicamente utilizzeremo il modello filtrato per condurre dimostrazioni di completezza di alcune
logiche nei confronti di strutture con determinate proprietà e che siano finite.
6.1
Filtrazione
Sia ML il modello canonico per L e sia B un arbitrario non-teorema di L. Ciò che il metodo delle
filtrazioni ci permette di fare è costruire da ML un modello basato su una struttura relazionale finita in
cui B è falsa.
Sia Γ = Sf(B) l’insieme delle sottoformule di B. Chiaramente Γ è finito ed è chiuso per sottoformule, in quanto
C ∈ Γ ∧ C 0 ∈ Sf(C) ⇒ C 0 ∈ Γ
Definiamo ora una relazione di equivalenza ∼Γ tra mondi di W L .
Definizione 6.1. (relazione di equivalenza) Siano w, v ∈ W L
w ∼Γ v
⇔
w ∩ Γ = v ∩ Γ.
In altre parole
w ∼Γ v
⇔
∀B ∈ Γ, (ML w B ⇔ ML v B).
Definizione 6.2. (classe di equivalenza) Sia
|w| = {v ∈ W L : w ∼Γ v}
la classe di equivalenza di w rispetto a ∼Γ .
50
Modelli finiti
|w| comprende tutti quei mondi di W L in cui ogni enunciato di Γ assume lo stesso valore di verità
che riceve in w. Sottolineiamo ancora che per ogni v, z ∈ |w| non c’ è alcuna fbf A ∈ Γ tale che
ML v A
∧
ML 2z A.
Il risultato di questo processo è che W L viene ripartito in un certo numero di classi di equivalenza
rispetto a ∼Γ disgiunte.
È importante osservare che se Γ è finito anche il numero delle classi di equivalenza è finito ed ha al
massimo 2n elementi, dove n è la cardinalità di Γ.
Ad esempio, supponiamo che Γ contenga tre elementi Γ = {p, q, p ∧ q}, allora n = 3 e le classi di
equivalenza sono al massimo otto, ovvero:
|x1 | = {w
|x2 | = {w
|x3 | = {w
|x4 | = {w
|x5 | = {w
|x6 | = {w
|x7 | = {w
|x8 | = {w
∈ WL
∈ WL
∈ WL
∈ WL
∈ WL
∈ WL
∈ WL
∈ WL
: ML
: ML
: ML
: ML
: ML
: ML
: ML
: ML
w
w
w
w
2w
2w
2w
2w
p
p
p
p
p
p
p
p
e ML
e ML
e ML
e ML
e ML
e ML
e ML
e ML
2w
2w
w
w
2w
2w
w
w
q
q
q
q
q
q
q
q
e ML 2w p ∧ q}
e ML w p ∧ q}
e ML 2w p ∧ q}
e ML w p ∧ q}
e ML w p ∧ q}
e ML 2w p ∧ q}
e ML w p ∧ q}
e ML 2w p ∧ q}
Osservazione 15. Sottolineiamo che di classi di equivalenza possono essercene meno di 2n , come nel
nostro esempio per cui non esiste un w in cui ML w p e ML 2w q e ML w p ∧ q.
Definizione 6.3. (il modello filtrato) Definiamo il modello MΓ = hW Γ , R Γ , I Γ i:
• W Γ = { |w| : w ∈ W L }
W Γ è dunque finito poiché ogni suo membro è una classe di equivalenza.
• ∀p ∈ Γ, ∀|w| ∈ W Γ
|w| ∈ I Γ (p)
⇔
w ∈ IL
⇔
p∈w.
• R Γ è adeguata (è una Γ-filtrazione di R L ) ovvero soddisfa le seguenti condizioni:
– F1)
∀|s|, |t| ∈ W Γ
s RL t
⇒
|s| R Γ |t|
– F2)
∀|s|, |t| ∈ W Γ
|s| R Γ |t|
⇒
(∀B ∈ Γ, ML s 2B ⇒ ML t B).
Osservazione 16. F1 corrisponde alle frecce che obbligatoriamente si devono mettere in MΓ . F2, invece, rappresenta il limite massimo di frecce inseribili nel modello filtrato. Difatti in MΓ non possiamo
aggiungere frecce da un mondo |s| a un mondo |t| se nel modello originario ML esiste una fbf B, t.c.
ML s 2B e ML 2t B.
Introduciamo di seguito due filtrazionie, che chiamiamo rispettivamente minima e massima.
La minima filtrazione è così definita:
s RL t
⇔
|s| R Γ |v|
Verifichiamo che essa soddisfi le proprietà F1 ed F2. Anzitutto constatiamo che F1 è data da ⇒. Mostriamo dunque che F2 è implicata da ⇐.
6.1 Filtrazione
51
Dimostrazione.
|s| R Γ |t|
(per ip.)
ML s 2B
s R L t e ML s 2B
ML t B
|s| R Γ |t| ⇒ (ML s 2B ⇒ ML t B)
Che verifica proprio la condizione F2.
Introduciamo invece sotto quella che chiamiamo la massima filtrazione:
|s| R Γ |t| ⇔ (∀2B ∈ Γ, ML s 2B ⇒ ML t B)
Notiamo come F2 coincida con ⇒. Mostriamo quindi che F1 è implicata da ⇐.
Dimostrazione.
s RL t
ML s 2B
ML t B
∀B.ML s ⇒ML t B
|s| R Γ |t|
(ipotesi)
Teorema 6.4. (lemma della filtrazione) Sia MΓ = hW Γ , R Γ , I Γ i una Γ-filtrazione di W L = hW L , R L , I L i.
Per ciascuna formula B ∈ Γ e per ogni mondo w del modello canonico, allora
MΓ |w| B
⇔
⇔
W L w B.
B ∈ w.
Dimostrazione.
Procediamo per induzione sulla lunghezza di B:
(i) B = p
MΓ |w| p
⇔
per definizione I Γ :
(ii) B = 2C
Dimostriamo che
MΓ 2|w| 2C
⇔
ML w p
ML 2w 2C.
(ii.i) ⇒
Supponiamo
∃|w| ∈ W Γ , MΓ 2|w| 2C.
∃|v| ∈ W Γ , |w| R Γ |v| & MΓ 2|v| C
per ipotesi di induzione ML 2v C
pertanto
ML 2w 2C grazie a F2
*1
(ii.ii) ⇐
Supponiamo
ML 2w 2C
∃v ∈ W L , w R L v & ML 2v C
per ipotesi di induzione MΓ 2|v| C
quindi
MΓ 2|w| 2C grazie a F1
*2 .
1RΓ
è una filtrazione, |w| R Γ |v| e 2v C, quindi non può essere w 2C.
w R L v e v ∈ |v|, dunque per F1 |w| R Γ |v|
2 Abbiamo
52
Modelli finiti
Corollario 6.5. Segue dal Lemma della Filtrazione che
∀A ∈ Γ
ML 2 A ⇒
MΓ 2 A.
Sia R L la relazione di accessibilità tra mondi in un modello ML = hW L , R L , I L i. Sia MΓ = hW Γ , R Γ
, I i il modello ottenuto da ML per Γ-filtrazione. Vale il lemma seguente:
Γ
Lemma 6.6.
RL è
riflessiva ⇒ R Γ è
seriale
connessa
diretta
riflessiva.
seriale
connessa
diretta.
Dimostrazione.
Esercizio.
6.2
Proprietà del Modello Finito
?? Quando si parla di modello finito (risp. struttura finita), ci riferiamo ad un modello (risp. struttura)
il cui universo sia composto da un numero finito di elementi. Da cui deriviamo che anche la relazione corrispondente è formata da un numero finito di coppie. Osserviamo comunque che la relazione
potrebbe continuare a formare catene infinitamente lunghe di mondi fra loro relati (si pensi ad una
struttura con un ciclo).
Definizione 6.7. (proprietà della struttura finita) Diciamo che una logica gode della proprietà della
struttura finita se e solo se essa è determinata da una qualche classe di strutture finite. Formalmente:
0L A ⇒ ∃F.F L e F 2 A e F è finita
Definizione 6.8. (proprietà della struttura finita forte) Diciamo che una logica gode della proprietà
della struttura finita forte se e solo se vale quanto segue:
0L A ⇒ ∃F.F L e F 2 A e |W| ≤ g(n)
Diciamo che una logica L è decidibile se, per ciascuna fbf A, è possibile verificare attraverso una
procedura algoritmica e in tempo finito se vale `L A oppure `L ¬A.
Vale il seguente teorema:
Teorema 6.9. Se una logica è finitamente assiomatizzabile e gode della proprietà della struttura finita
forte, allora essa è anche decidibile.
Un esempio di logica che gode della proprietà della struttura finita è la logica K4. Sappiamo già dal
Teorema 7.1 che essa è completa rispetto alla classe dei modelli transitivi. Ora vogliamo dimostrare che
K4 è caratterizzata anche dalle strutture transitive e che godono della proprietà della struttura finita.
Anzitutto introduciamo una Γ-filtrazione transitiva, come quella indotta dalla relazione così definita:
|w| R Γ |v|⇔
∀2B ∈ Γ.MK4 w 2B ⇒ MK4 v 2B ∧ B
La dimostrazione che R Γ è transitiva e che soddisfa le proprietà F1 ed F2 viene lasciata come esercizio.
6.3
Esercizi
Esercizio 6.1. Si completi la dimostrazione del Lemma 6.6
Esercizio 6.2. Si dimostri che la filtrazione presentata alla fine di questo capitolo è ben definita e transitiva
Capitolo 7
KW
Prendiamo in considerazione, in questo capitolo, una particolare logica modale chiamata KW e sulle
relazioni che la legano all’aritmetica di Peano, PA. Questo legame è stato per prima indagato da Gödel
e Löb, i quali proposero di interpretare una formula del tipo 2A come “A è dimostrabile in PA.
7.1
La logica KW
È possibile avere una logica caratterizzata dagli ordini stretti (irriflessivi, transitivi e finiti)? Sì, è la
logica KW, assiomatizzata come:
K + W : 2(2A → A) → 2A.
Teorema 7.1. Sia F = hW, Ri una struttura per KW. Allora R è transitiva.
Dimostrazione.
Consideriamo la seguente formula:
B → ((2B ∧ 22B) → (B ∧ 2B))
Essa è un’istanza della seguente tautologia (non modale):
D → (B ∧ C) → (D ∧ B)
dove:
B = 2A
C = 22A
e dunque tale formula vale in KW (cfr. Definizione ). Inoltre possiamo mostrare che dall’assioma W
possiamo derivare quanto segue:
KW ` B → ((2B ∧ 22B) → (B ∧ 2B))
KW ` B → (2(B ∧ 2B) → (B ∧ 2B))
KW ` 2B → 2(2(B ∧ 2B) → (B ∧ 2B))
Utilizzando l’assioma W (istanziato con A = (B ∧ 2B)) abbiamo:
KW ` 2A → 2(A ∧ 2A)
KW ` 2A → 2A ∧ 22A
KW ` 2A → 22A
ed abbiamo già visto dal Teorema che questa formula corrisponde alle strutture transitive.
54
KW
Osservazione 17. Una qualsiasi struttura che contenga un mondo riflessivo può falsificare W. Poiché
il modello canonico di KW ha un punto riflessivo, quella canonica non è una struttura per KW. Similmente, una qualunque struttura che contenga una catena infinita ascendente falsifica W in qualche
punto.
7.2 PA
Per comprendere il significato assunto dalla logica KW, analizziamo alcuni concetti di PA.
Anzitutto, definiamo il vocabolario di PA come il seguente insieme di simboli: L= = {¬, ∧, ∨, →
, ∀, ∃, (, )} ∪ {x0 , x1 , x2 , . . . } ∪ {0, succ, +, ·}. A partire da esso è possibile definire i concetti sintattici
enumerati sotto, e che già ben conosciamo:
• simolo logico
• variabile
• parentesi
• costante individuale
• parola del linguaggio
• termine chiuso
• termine aperto
• formula ben formata
Successivamente possiamo definire concetti teorici di PA, quali:
• assiomi logici
• assiomi dell’aritmetica
• derivazione
• teorema
che pure assumiamo noti in questa rapida trattazione.
Quello che Gödel vuol fare è trasformare concetti teorici in frasi del linguaggio oggetto della aritmetica,
ovvero in frasi manipolabili dal linguaggio dell’aritmetica stesso, secondo le regole definite dalla sintassi. E lo fa associando in maniera biunivoca ciascun concetto teorico ad una parola dell’aritmetica,
ovvero ad un numero.
Tale associazione può essere descritta intuitivamente dalle seguenti regole:
• assegno un numero dispari differente a ciascun simbolo del vocabolario L= {x0 , x1 , . . . };
• assegno un numero pari (maggiore di 2) a tutte le variabili del linguaggio {x0 , x1 , . . . };
• traduco una formula composta dalla successione di simboli s1 s2 . . . sn in questo modo:
ps1 s2 . . . sn q = 2 ·
n
Y
iq
pps
,
i
i=1
dove pi denota l’i-esimo numero primo, mentre psi q la traduzione dell’i-esimo simbolo della formula. Questa procedura sfrutta l’unicità della fattorizzazione di un numero naturale per garantire
che a ciascun numero naturale corrisponda una e una sola formula (ben formata o meno);
7.3 Completezza di KW
55
• traduco una dimostrazione composta dalla successione di formule A1 , . . . , An in questo modo:
pA1 , . . . , An q = 1 ·
n
Y
pipAi q
i=1
La procedura presentata prende il nome di Gödelizzazione (o anche aritmetizzazione) dell’aritmetica.
A questo punto è possibile definire la procedura Teor(n) che si occupa di decidere se il numero n
corrisponde ad una dimostrazione valida in PA.
Inoltre, per il teorema del punto fisso di Tarski (controllare!!!), vale che, per ogni logica PA:
∃Gt.c. `P A G ↔ ¬Teor(pGq)
dal quale si può derivare sia che:
`P A (G ↔ Teor(pGq) ∧ Teor(pGq)) → ⊥,
sia che:
`P A (G ↔ Teor(pGq) ∧ ¬Teor(pGq)) → ⊥.
In altre parole, se assumiamo che la formula G è teorema (rispettivamente, è non teorema) della aritmetica di Peano, rendiamo il sistema formale inconsistente. Dobbiamo quindi concludere che vale questo teorema (noto col nome di teorema di incompletezza di Gödel): un sistema formale “sufficientemente
espressivo” è inconsistente o incompleto.
Anzitutto precisiamo che “sufficientemente espressivo” equivale a dire che esso è in grado di esprimere i propri concetti teorici nel proprio linguaggio oggetto e il predicato logico Teor(X). Seconda cosa:
qui il concetto di incompletezza è di natura esclusivamente sintattica. Con essa si intende un’incapacità
di rappresentare con formule del linguaggio alcune verità che nel modello di riferimento comunque ci
sono. Però, quando parliamo di modello di riferimento intendiamo una singola struttura ed un singolo
modello basato su tale struttura: esso prende il nome di interpretazione standard.
Descrivere cosa si intende con interpretazione standard, che differenze passano fra esse e ARIT,
e parlare del rapporto di inclusione stretta ARIT ⊆ interpretazione standard (per il rapporto di
incompletezza, appunto)
7.3
Completezza di KW
7.3.1
Definizioni
Definizione 7.2 (grado modale). Il grado modale di una formula A è definito come segue:
• se A è un atomo p, allora il suo grado è 0;
• se A è del tipo 2B e il grado di B è n, allora il grado di A è n + 1;
• se A è un’altra formula complessa, il grado di A è pari al grado massimo delle sue sottoformule.
Definizione 7.3 (modello canonico di grado m). Sia Fm Φ (m) il sottoinsieme delle formule di Fm Φ
aventi grado non superiore a m. Il modello canonico di grado m di una logica L è la tripla MLm =
L
L
L
hWm
, Rm
, Im
i così definita:
L
• Wm
è la classe degli insiemi KW-consistenti massimali delle formule di Fm Φ (m);
L
L
• Rm
è una relazione binaria tale che w Rm
v se e solo se per qualunque formula 2B ∈ w si ha
B ∈ v e 2B ∈ v, e inoltre esiste C tale che 2C 6∈ w e 2C ∈ v;
L
L
L
• Im
è tale che Im
(p) = w ∈ Wm
: p ∈ w.
56
KW
7.3.2
Dimostrazione
KW
Lemma 7.4. Per ogni fbf B ∈ Fm Φ (m) ed ogni w ∈ Wm
MKW
m w B ⇔ B ∈ w
Dimostrazione.
La dimostrazione è analoga a quella del lemma fondamentale del modello canonico, pertanto trattiamo
soltanto il caso in cui B è del tipo 2C. Per casi:
2C ∈ x: ovvio, dalla definizione di MKW
m .
KW
KW
, C 6∈ y e x Rm
y. Si ponga:
2C 6∈ x: mostriamo che per qualche y ∈ Wm
Γ = A : 2A ∈ x ∪ 2A : 2A ∈ x.
Se la y che cerchiamo non esistesse, allora Γ ∪ {¬C, 2C} sarebbe KW-inconsistente (altrimenti poKW
tremmo prendere una sua qualunque estensione massimale come y e dedurre x Rm
y, cadendo
nell’assurdo). Per come è definito Γ, questo significa che esistono formule 2D1 , . . . , 2Dn , 2E1 , . . . , 2Ek ∈
x tali che {D1 , . . . , Dn , 2E1 , . . . , 2Ek , ¬C, 2C} è KW-inconsistente. Pertanto
`KW (D1 ∧ . . . ∧ Dn ∧ 2E1 ∧ . . . ∧ 2Ek ) → (2C → C)
`KW 2(D1 ∧ . . . ∧ Dn ∧ 2E1 ∧ . . . ∧ 2Ek ) → 2(2C → C)
`KW (2D1 ∧ . . . ∧ 2Dn ∧ 22E1 ∧ . . . ∧ 22Ek ) → 2(2C → C)
e poiché KWinclude l’assioma 4, a fortiori:
`KW (2D1 ∧ . . . ∧ 2Dn ∧ 2E1 ∧ . . . ∧ 2Ek ) → 2(2C → C)
e usando infine W:
`KW (2D1 ∧ . . . ∧ 2Dn ∧ 2E1 ∧ . . . ∧ 2Ek ) → 2C
Ma siccome 2D1 , . . . , 2Dn , 2E1 , . . . , 2Ek ∈ x, dev’essere anche 2C ∈ x, il che contraddice
l’ipotesi.
Teorema 7.5. KW è completo rispetto agli ordini parziali stretti finiti.
Dimostrazione.
Sia A un qualunque non-teorema di KW, ed m il suo grado modale. Per il lemma 7.4 A è falsa in qualche
mondo del modello MLm . Ma questo modello è un ordine parziale stretto finito, infatti:
KW
• Wm
ha dimensione finita (per l’accorgimento di aver considerato solo formule di grado non
superiore a m);
KW
KW
KW
• Rm
è irriflessiva perché, se valesse x Rm
x per qualche x, dalla definizione di Rm
seguirebbe
che 2B ∈ x e 2B 6∈ x per qualche B, il che è assurdo;
KW
KW
KW
KW
• Rm
è transitiva perché se x Rm
y e y Rm
z, se 2A ∈ x si ha (per la definizione di Rm
)
2A ∈ y e quindi 2A ∈ z e A ∈ z. Inoltre presa una formula 2B tale che 2B 6∈ x e 2B ∈ y si deve
KW
avere 2B ∈ z. Quindi valgono tutte le condizioni affinché si abbia anche x Rm
z.
Appendice A
Relazioni ed ordini
A.1
Relazioni
Riassumiamo con la tabella sottostante le principali proprietà che possono essere proprie di una generica relazione algebrica R binaria.
Nome proprietà
Riflessiva
Transitiva
Serialità
Simmetrica
Euclidea
Diretta debole
(Convergente debole)
Connessione debole
(Linearità debole)
Connessione
Funzionalità parziale
Funzionalità
Sahlqvist
Limitata inferiormente
Limitata superiormente
Definizione
∀s.s R s
∀s, t, u.s R t ∧ t R u → s R u
∀s.∃t.s R t
∀s, t.s R t → t R s
∀s, t, u.s R t ∧ s R u → t R u
∀s, t, u.s R t ∧ s R u → ∃v.t R v ∧ u R v
∀s, t, u.s R t ∧ s R u → (t R u) ∨ (u R t) ∨ (t = u)
∀s, t.(s R t) ∨ (t R s) ∨ (s = t)
∀s, t.s R t → ∃!s R s
∀s.∃!t.s R t
∀s, t, u.s R m t ∧ s R k u → ∃v.t R n v ∧ u R j v
∃s.∀t.s R ? t
∃s.∀t.t R ? s
Tabella A.1: Le comuni proprietà di una relazione
A.2
Ordini
Riassumiamo le proprietà più comuni di cui possono godere delle relazioni d’ordine.
Riassumiamo queste stesse proprietà con la Figura A.1.
Osservazione 18. Se R è transitiva e irriflessiva allora è antisimmetrica. In presenza della transitività,
asimmetria e irriflessività sono equivalenti.
58
Relazioni ed ordini
Nome ordine
Ordine
Ordine parziale
Ordine parziale stretto
Ordine totale
Ordine totale stretto
Ordine ben fondato
Ordine buono
Ordine dualmente ben fondato
Proprietà che soddisfa
transitiva
antisimmetrica
transitiva
antisimmetrica
riflessiva
transitiva
antisimmetrica
irriflessiva
transitiva
antisimmetrica
riflessiva
connessa
transitiva
antisimmetrica
irriflessiva
connessa
ordine parziale stretto
limitato inferiormente
ordine totale stretto
limitato inferiormente
ordine stretto
limitato superiormente
Tabella A.2: Una topologia degli ordinamenti
A.3
Induzione transfinita
Sia dato un insieme W bene ordinato dalla relazione < e sia P una proprietà.
Principio di induzione transfinita:
∀y.[(∀x.(x < y → P(x)) → P(y))]
∀z.P(z)
Esempio di buon ordinamento
Nella Figura A.2 vediamo la rappresentazione di un insieme definibile in questo modo:
2 × N = N ] N,
dove 2 = {0, 1} e ] è l’operatore di unione disgiunta fra insiemi. L’insieme 2 × N appare dunque così:
2 × N = {h0, 0i, h0, 1i, h0, 2i, . . . , h1, 0i, h1, 1i, h1, 2i, . . . }.
Su questo insieme definiamo la relazione d’ordine <0 come segue:
• hi, ni <0 hi, mi ⇔ n < m, e
• ∀n, m.h0, ni <0 h1, mi.
Vediamo che <0 è un buon ordinamento. Su un insieme così definito non potremmo usare il classico
principio di induzione matematica perché l’elemento ω = h1, 0i non è successore di alcun altro elemento. In questo caso, dunque, il principio di induzione transfinita enunciato sopra si rivela uno strumento
indispensabile per la dimostrazione di teoremi.
A.3 Induzione transfinita
59
Figura A.1: Proprietà e relazioni d’ordine - una topologia riassuntiva
•
0
/
•
1
/
•
2
/
•
3
/ ...
/
•
00
/
•
10
Figura A.2: L’insieme 2 × N
/
•
20
/
•
30
/ ...
60
Relazioni ed ordini
Appendice B
Mappe concettuali
Vogliamo presentare, in quest’appendice, alcune mappe che ci sembrano utili per lo studio degli argomenti presentati in questi appunti. In particolar modo esse permettono di visualizzare le interrelazioni
fra i diversi concetti introdotti.
Figura B.1: Manipolazioni di modelli
62
Mappe concettuali
Figura B.2: Teoria della dimostrazione e modello canonico
63
Figura B.3: Filtrazioni
64
Mappe concettuali
Figura B.4: KW e PA
Appendice C
Licenza
A chiusura di queste note, vorremmo sottolineare alcuni principi a cui teniamo:
• chi ha in mano queste note è libero di riprodurre e distribuire, in pubblico e non, questi contenuti.
In toto, o solamente in parte;
• chi ha in mano queste note è libero di modificarle al fine di correggere refusi, ampliare la quantità
di argomenti trattati; in poche parole di migliorarla;
purché:
• non si dimentichi di citare la paternità dei contributi, dalla loro origine fino ad includere tutte le
modifiche che saranno apposte;
• non si faccia un uso commerciale di questi contenuti (né degli originali né delle aggiunte) senza
un’esplicita e previa autorizzazione da parte degli autori;
•
Per la lettura del testo di licenza integrale, rimandiamo al seguente link:
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Per futuri aggiornamenti ai contenuti di queste note, ci si può riferire a questo sito internet:
http://spegni.web.cs.unibo.it/cgi-bin/index.php?modload=unibo
66
Licenza
Bibliografia
[Gol]
Robert Goldblatt. Logics of Time and Computation. CSLI - Center for the Study of Language
and Information.
[Smo85] C. Smoryński. Self-Reference and Modal Logic. Springer-Verlag, 1985.
[vD]
D. van Dalen. Logic and Structure.