Matematica e didattica della matematica

Matematica e didattica della matematica
Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria
a.a. 2008-09
Docente: Ana Millán Gasca
Lezione 6
Il sistema dei numeri nella matematica: i numeri razionali (parte II)
6. 3. Necessità intrinseca dei numeri razionali: la costruzione di Q come estensione dei numeri interi
(continua)
1 1
e ; esegua la
4 2
2
3
addizione e la moltiplicazione usando le definizioni. Verifichi che usando le frazioni equivalente
e
il
8 12
risultato è una frazione equivalente alle frazioni ottenute in precedenza.
! !
ESERCIZIo 6.2 : Usiamo la notazione frazionaria dei numeri razionali. Consideri i numeri
Le operazioni di addizione e di moltiplicazione di numeri razionali verificano le otto
! !
proprietà (1)-(8) di cui godevano l’addizione e la moltiplicazione dei numeri interi
(si confronti la
lezione 3):
1) proprietà commutativa dell’addizione: "n,m # Q,n + m = m + n
2) proprietà commutativa della moltiplicazione: "n,m # Q,n $ m = m $ n
!
3) proprietà associativa dell’addizione:
"l,n,m # Q,l + ( n + m) = ( l + n ) + m
!
4) proprietà associativa della moltiplicazione: "l,n,m # Q,l $ ( n $ m) = ( l $ n ) $ m
!
5) proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:
"l,n,m # Q,l $ ( n + m) = l $ n + l $ m
!
!
6) proprietà di esistenza dell’elemento neutro per la moltiplicazione: si tratta del numero
razionale 1 (abbiamo visto che in Q esso è [(1,1)] ) il quale verifica che "n # Q,n $1 = n
7) proprietà di esistenza dell’elemento neutro per l’addizione: si tratta del numero razionale
0 (abbiamo visto che in Q esso è [(0,1)] ) il quale verifica che!"n # Q,n + 0 = n
!
8) proprietà
dell’elemento
simmetrico
*
"n # Q,$n # Q tale che n + n * = 0 .
!
!
per
l’addizione
!
(elemento
opposto)
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
[
]
ESERCIZIO 6.3. Consideri il numero razionale ( 3,4 ) . Quale è il numero razionale opposto? Scriva
l’espressione decimale dell’opposto e proponga due notazioni frazionarie. Verifichi che l’addizione di
( 3,4 ) con il suo opposto è (0,1) .
[
]
[
Dato un numero razionale v =
!
]
[(a,b)] , quale
! è il suo elemento opposto?
!
Oltre a queste proprietà algebriche, nell’insieme Q si ha un’altra proprietà: ogni numero
razionale v ha !
un elemento simmetrico per la moltiplicazione, detto anche inverso di v, ossia esiste
un altro numero razionale che moltiplicato per v da come risultato 1.
Aggiungiamo quindi la proprietà:
9) proprietà dell’elemento simmetrico per la moltiplicazione: "v # Q,$v * # Q : v % v * = 1 .
!
ESEMPIO 6.5 Consideriamo di nuovo il numero razionale
[(3,4)] .
[(3,4)] = {(c,d) " Z # Z * : 3$ d = 4 $ c} = {(3,4),(%3,%4),(6,8),(%6,%8),(9,12),...}
L’inverso di
!
!
[(3,4)] è il numero razionale [(4,3)]
[(4,3)] = {(c,d) " Z # Z * : 4 $ d = 3$ c} = {(4,3),(%4,%4),(8,6),(%8,%6),(12,9),...}
! dell’intera classe la coppia (6,8) , che in forma di frazione è
Se!prendiamo come rappresentate
l’inverso
è la classe di tutte le coppie equivalenti a (8,6) , ossia in forma di frazione
!
Verifichiamo che è così:
6
, allora
8
6
.
8
!
!
[(3,4)] " [!(4,3)] = [(3" 4,4 " 3)] = [(12,12)] = 1
!
1
Per ottenere l’elemento simmetrico di un numero razionale v (detto inverso di v, e si scrive ) basta
v
!
scegliere un rappresentante
della classe v, e considerare la classe di equivalenza della coppia
ordinata che si ottiene cambiando l’ordine delle due componenti:
dato v " Q, allora v = [( a,b)] e l’inverso di v è
!
1
= [(b,a)]
v
Inverso di un numero intero
Un numero
! intero non !ha inverso nell’insieme Z, ma visto come numero razionale ha un
!
inverso che è un numero razionale non intero:
ESEMPIO 6.6
numero razionale
come frazione
7 "visto
" come
""
"""
"#[( 7,1)] "inverso
""#[(1,7)] "scritto
""
" ""#
11
!
1
7
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La divisione in Q
La divisione in Q può essere eseguita sempre, essa è semplicemente la moltiplicazione per
l’inverso: dati due numeri razionali v e w,
v÷w =v"
Ad esempio,
1
w
1 3 1 5 5
÷ = " =
4 5 4 3 12
! coppia di numeri razionali v e w (naturali o no) un solo
La divisione in Q associa ad ogni
numero q, il quoziente, che verifica la condizione
!
v = w"q
Essa è l’operazione inversa della moltiplicazione nel senso che se parto dal numero v, lo
divido per il numero w e poi moltiplico il risultato per w, ottengo di nuovo il numero v di partenza.
!
Le “due divisioni” dei numeri interi
In particolare, la divisione fra due numeri interi si può sempre eseguire se li vediamo in Q:
7
3
oppure, scritto in modo completo usando le classi di equivalenza:
7÷3=
!
[(7,1)] ÷ [(3,1)] = [(7,3)]
Si ricordi che la divisione nell’aritmetica elementare, ossia la divisione in N che abbiamo
studiato nella lezione 5, non è l’operazione inversa della moltiplicazione che si può avere solo
!
immergendo N in Q.
Nel nostro esempio, la divisione in N associa a dividendo 7 e divisore 3 il quoziente 2 e il
resto 1:
7 = 3" 2 + 1
6.4. L’ordinamento dei numeri razionali. Interpretazione geometrica.
!
Nell’ampliare il sistema dei numeri da N a Z abbiamo conservato l’ordinamento totale.
Anche l’insieme Q ha un ordinamento totale: infatti possiamo sempre comparare due frazioni e
sapere quale è maggiore dell’altra. Questo ci permette anche di rappresentare le frazioni sulla retta
numerica. Vediamo come si definisce questa relazione d’ordine nel quadro teorico che abbiamo
costruito. Ci serve prima distinguere numeri razionali positivi e negativi, con una definizione molto
semplice che usa il confronto fra il segno del numeratore e del denominatore.
Numeri razionali positivi e negativi
Due numeri interi si dicono concordi se sono entrambi positivi o entrambi negativi; si dicono
discordi se uno è positivo e l’altro negativo. Dato un numero razionale v qualsivoglia, e prendiamo
un rappresentante
v = [( a,b)]
!
12
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
–
–
Ana Millán Gasca
se a e b sono concordi, e scegliamo a piacere un altro rappresentante (c,d ) , allora c e d
saranno concordi
se a e b sono discordi, e scegliamo a piacere un altro rappresentante (c,d ) , allora c e d
saranno discordi
!
(per convincersi basta riflettere al legame aritmetico fra i quattro numeri a, b, c e d).
!
DEFINIZIONE Un numero razionale v = [( a,b)] si dice positivo se a e b sono concordi. Un numero
razionale v = [( a,b)] si dice negativo se a e b sono discordi.
L’ordinamento totale di Q!
Ora possiamo definire la relazione binaria “essere maggiore o uguale” nell’insieme Q.
!
DEFINIZIONE Dati due numeri razionali v, z, si dice che v è maggiore o uguale di z, e si scrive v " z
se v = z oppure esiste un numero razionale positivo w tale che v = z + w .
!
Questa relazione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, e quindi è una relazione d’ordine in
!
Q. Questo ordinamento estende quello dei numeri interi, vale a dire, se n " m in Z allora anche
!
come numeri razionali si ha che [( n,1)] " [( m,1)] (prendendo come rappresentante la frazione ridotta
n m
ai minimi termini: " . Come succedeva già in Z, questa relazione d’ordine non è un buon
1 1
!
ordinamento (il sottoinsieme dei interi negativi, ad esempio, non ha minimo).
!
L’ordinamento di Q è diverso da quello di Z perché esso non ha “buchi” o salti. Fra due
! come 8 e 15 vi sono sei numeri interi; ma fra numeri interi come 3 e 4, oppure tra -2 e
numeri interi
-1, non vi è nessun altro numero intero. Invece scegliendo a piacere due numeri razionali, vi è
sempre un altro numero razionale.
ESEMPIO 6.7 Considerare i due numeri razionali v = [(3,5)] e z = [(9,5)]. Trovi la loro scrittura decimale e
una scrittura frazionaria. Rappresenti graficamente in vari modi questi numeri razionali. Rappresenti
graficamente v e z sulla linea dei numeri, e consideri il segmento di estremi v e z. Quale è il numero razionale
w che, sulla linea dei numeri, si trova rappresentato dal punto medio di tale segmento?
!
!
In generale, fra due razionali diversi esiste sempre almeno uno “intermedio”: si dice per questo
motivo che i numeri razionali hanno la proprietà di densità.
PROPRIETÀ DI DENSITÀ Dati v,z " Q , v < z , esiste w " Q tale che v < w < z
Per dimostrare questa proprietà basta vedere che il numero razionale
condizione.
!
!
!
!
v+z
che è a “metà strada” verifica la
2
Iterando questa procedura, è facile convincersi del fatto che fra due razionali diversi esistono infiniti
razionali; fra due razionali esiste il punto medio, fra il!primo di essi e il punto medio esiste il punto
medio, e così via.
Quanti sono i numeri razionali?
Dalla proprietà di densità non bisogna ricavare l’idea che i razionali “siano molto di più”
degli interi. Ricordiamo però che bisogna stare molto attenti nei ragionamenti riguardanti gli
insiemi infiniti: abbiamo visto l’esempio dei numeri pari che è un sottoinsieme dell’insieme N ; poi
13
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abbiamo visto che, anche se i numeri negativi sembrano “molti di più” oppure “il doppio” dei
numeri naturali. L’insieme dei numeri pari, così come l’insieme dei numeri interi, sono insiemi
numerabili, ossia, esiste una corrispondenza biunivoca fra questi insiemi e l’insieme N.
Anche l’insieme Q è numerabile: può essere stabilita una corrispondenza biunivoca fra
l’insieme Q e l’insieme dei numeri naturali (si veda Che cos’è la matematica, pp. 124-125)
6.5. La scrittura dei numeri razionali in forma decimale.
Oltre alla notazione frazionaria, ogni numero razionale ha un’espressione decimale o sviluppo
decimale nel sistema di numerazione posizionale decimale.
Esempio 6.8 Torniamo per l’ultima volta al numero razionale dell’esempio 6.3
[(3,4)] = {(3,4),("3,"4),(6,8),("6,"8),(9,12),...} # Q
che possiamo rappresentare usando la notazione frazionaria di uno dei rappresentanti:
3 6 9
!
"
"# , , ,…
[(3,4)] "in"forma"di"frazione
4 8 12
oppure possiamo rappresentare con la sua espressione decimale, ossia, separando la parte intera (che in
questo caso è 0) dalla parte frazionaria e usando la decomposizione della parte frazionaria come somma di
frazioni decimali:
!
3
1
1
[(3,4)] ""# 4 = 7 $ 10 + 5 $ 100 ""# 0,75
Per ottenere la parte intera di un numero razionale, che si colloca a sinistra della virgola
!
nell’espressione decimale
posizionale, ci basta eseguire la divisione in N del numeratore per il
denominatore: il quoziente è la parte intera.
Per esempio, consideriamo il numero razionale
29
[(29,4)] ""# 4
eseguiamo la divisione 29 diviso 4 e otteniamo: 29 = 7 " 4 + 1. Quindi 7 è la parte intera
dell’espressione decimale. La parte frazionaria si desume dalla divisione in N che abbiamo appena
!
1
eseguito è :
4
!
29
1
= 7+
4
4
!
che dobbiamo esprimere come somma di frazioni decimali moltiplicate per certi numeri. Questi
numeri possiamo calcolarli ad esempio usando l’algoritmo di divisione con la virgola:
!
1
1
1
= 2" + 5"
#
#$ parte frazionaria 25
4
10
100
14
!
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
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La rappresentazione decimale dei numeri varia a seconda della base di numerazione scelta.
Questo tipo di scrittura dei numeri non interi usando il principio posizionale fu per molto tempo un
uso di tipo erudito, in particolare in astronomia. La sua origine si colloca nell’epoca babilonese, e
continuò ad essere usata dagli studiosi greci e oltre; ma la procedura antica aveva due differenze
importanti con quella moderna:
– non usavano la virgola: gli scribi capivano il significato posizionale intero o frazionario delle cifre
a seconda del contesto
– usavano indicare la parte non intera dei numeri usando un decomposizione in frazioni
sessagesimali, ossia
1
1
1
a1 " + a2 " 2 + a1 " 3 + ...
60
60
60
La rappresentazione decimale posizionale dei numeri razionali usando le frazioni decimali
! ben preciso se il rappresentante ridotto ai minimi termini del numero
ha un significato aritmetico
divide qualche potenza di 10. In questo caso si avrà quindi una rappresentazione posizionale
decimale di questa forma:
v = an "10 n + an#1 "101 + ...+ a2 "10 2 + a1 "10 + a0 + b1 "
1
1
1
+ b2 " 2 + ...+ bm " m
10
10
10
Se il denominatore non verifica la condizione menzionata, si ha uno sviluppo decimale illimitato: si
hanno infinite cifre decimali dopo la virgola, che però presenta una regolarità, ossia le cifre dopo la
!
virgola
si ripetono periodicamente. Ad esempio, la frazione dell’esempio 6.1,
34
= 4,857142857142...
7
quindi il numero 4,85 era soltanto una approssimazione, poiché nella matematica pratica le
approssimazioni con espressione decimale limitata bastano. Infatti in questo caso l’espressione
decimale ha un significato !
aritmetico molto chiaro. Vediamo invece il significato dell’espressione
decimale periodica in un caso semplice:
1
= 0,3333...
3
Torniamo qui ai misteriosi puntini …. che indicano l’infinito. Ma che significa in questo caso
questa rappresentazione? Abbiamo che
!
1
1
1
1
1
= 3" + 3" 2 + 3" 3 + 3" 4 + ...
3
10
10
10
10
Quindi si tratta di una somma infinita, che esce fuori dal recinto dell’aritmetica, della matematica
elementare. La matematica moderna si occupa di queste somme infinite grazie al concetto astratto
di limite, che è una !
delle idee che hanno portato allo sviluppo di branche moderne come l’analisi
15
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
matematica. Grazie all’analisi la matematica ha fornito alla fisica e alla scienza un potente
strumento di ricerca delle leggi dei fenomeni naturali.
Esercizi
1)
Seguendo la traccia dell’esempio 6.1, consideri il seguente problema:
Abbiamo a disposizione un’ora alla radio per 7 brevi interviste. Quanto tempo possiamo
dedicare ad ogni intervista?
2)
«Presso gli Egizi le sole frazioni ad avere diritto di cittadinanza erano quelle con numeratore
2
unitario, eccezion fatta per rarissimi casi come la frazione , per la quale esisteva sia un nome
3
particolare (che tradotto suona “due parti”), quasi a voler sottolineare il fatto che, con la
1
aggiunta di , si ottiene l’unità, sia un simbolo particolare. Tutte le altre frazioni venivano
3
espresse come somma di frazioni unitarie e !
poiché il ritrovarle doveva essere piuttosto
complicato, esistevano delle tabelle di facile consultazione, adatte a questo scopo.» (Silvia
Roero, in L’alba dei numeri )
!
1
Il numeratore 1 della frazione unitaria (detto in termini moderni, l’inverso del numero naturale n)
n
non si scriveva: tale frazione veniva annotata scrivendo il simbolo per n sormontato dal geroglifico
che stava per “parte”.
1
2
3
Scriva, usando la notazione egizia,
le seguenti frazioni: a) ; b) ; c)
!
5
5
5
3) In uno dei più importanti documenti della matematica egizia, il rotolo di cuoio (risalente al 1650
a. C. circa e conservato presso il British Museum), si ritrova una tabella di decomposizione di
!
!Provi
!a ricostruirne alcune righe:
frazioni unitarie in somma di due o più frazioni unitarie.
1
8
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
1
40
1
20
1
1
1
5
1
4
1
1
1
1
1
!
42
1
1
14
1
!
3
1
!
5
1
!
3
1
!
2
2
3
1
!
7
!
! 16
!
!
!
1
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
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3) Spieghi brevemente i tre punti di vista secondo cui può essere considerata una frazione, e
proponga un esempio per ognuno di essi. A quale dei tre si può ascrivere la notazione percentuale,
come ad esempio 40%?
4) Verifichi che la relazione di equivalenza sull’insieme Z " Z * data da:
(a,b) R (a',b') se
a " b'= b " a'
è una relazione di equivalenza.
!
Risponda alle seguenti domande usando la definizione della relazione R.
i) ( 3,6) appartiene alla classe di equivalenza
! di (21,42) ?
!
!
ii) ( 3,6) appartiene alla classe di equivalenza di ("3,"6) ?
iii) ( 3,6) appartiene alla classe di equivalenza di (1,"3) ?.
!
!
!
!
5) I numeri razionali [(21,42)] , [("3,"6)] , [(1,"3)] sono positivi o negativi? Scelga per ognuno di
!
essi due rappresentanti e li scriva sia
! come coppia ordinata, sia come frazione. Rappresenti
graficamente questi numeri usando una retta.
! razionale?
! Che rapporto intercorre fra il concetto di numero razionale e le
6) Che cos’è!un numero
frazioni?
7) Quale è la scrittura decimale dei numeri razionali dell’esercizio 5?
8) Ricordiamo che in N non possiamo definire un’operazione interna che sia l’inversa della
moltiplicazione. Detto in altri termini, l’operazione moltiplicazione in N non gode della proprietà di
esistenza dell’elemento simmetrico.
Illustri qual’è la situazione in Q. Esiste l’operazione inversa della moltiplicazione? Ogni numero
razionale ha un elemento simmetrico? Quale è l’elemento simmetrico del numero razionale [(4,7)]?
9) Il numero 4 è un numero razionale? Precisare in quale senso, ricordando l’immersione di Z in Q.
Il numero 4 ha un elemento opposto in Q? Ha un elemento inverso in Q?
10) Consideri i numeri naturali 7 e 15 in Q. Quale è il risultato dell’operazione 7:15 in Q? Illustri la
differenza tra il concetto di quoziente introdotto nel § 6.3 e quello introdotto nella lezione 3.
11) Consideri i numeri 0 e 2. Li rappresenti come estremi di un segmento di 16 cm. Divida il
segmento in due parti e ripeta l’operazione cinque volte. Associ un numero razionale a ognuno dei
punti ottenuti. Quanti numeri razionali vi sono fra 0 e 1? Quanti numeri interi? La divisibilità
all’infinito di un segmento di retta è uno dei temi dei famosi paradossi di Zenone di Elea. Ad
esempio, Zenone affermava che il moto non può esistere, perché per percorrere la distanza che
separa un punto da un altro dobbiamo percorrere prima la metà del tragitto, poi la metà del tragitto
rimanente, poi ancora la metà: quindi non arriverà mai. Il percorso è quindi:
1+
1 1 1
+ + + ...
2 4 8
I pensatori greci si confrontarono con l’infinito matematico sia per molteplicità (la generazione di
infiniti numeri naturali aggiungendo 1) sia per divisibilità, come in questo ultimo esempio. Così
come la matematica moderna è!riuscita a ricondurre a degli assiomi l’infinito dei numeri naturali,
essa ha anche escogitato delle procedure per ottenere la somma delle somme infinite.
17
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
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12) Rappresenti sulla linea dei numeri, calcoli la parte intera e ottenga la scrittura decimale dei
1 9 9
numeri razionali -4, 7, , , " .
2 8 8
8 10
13) Dobbiamo eseguire l’addizione dei due numeri razionali seguenti:
e . Quali rappresentanti
7 6
è utile scegliere per facilitare il calcolo? Esprimere in notazione frazionaria entrambi questi numeri
! ! ridotta
!
usando la frazione
ai minimi termini.
!
14) (i) Definire la relazione di congruenza modulo 4 definita !
sull’insieme
dei numeri interi Z.
(ii) Determinare le classi di equivalenza che essa determina in Z.
(iii) L’insieme quoziente è un insieme finito?
(iv) A quale classe di equivalenza appartengono i multipli di 4?
(v) Giustificare se la seguente affermazione è vera o falsa:
18 " #9 mod 4
15) Una confezione in scatola di 30 cioccolatini è in offerta al supermercato. Sei amici hanno
comprato una scatola e intendono dividerla a parti uguali; ma Marco oggi non è potuto venire.
!
Quanti cioccolatini hanno mangiato?
Confrontiamo i cioccolatini rimasti con la scatola: come
possiamo indicare il rapporto. Discuta il problema alla luce delle idee introdotte nella lezione in
vista di una discussione a scuola.
16) Dividere 13 caramelle fra 5 amiche; dividere 13 cm di nastro in 5 parti. Scriva un problema e
prepari la discussione in classe alla luce dei concetti discussi nella lezione 3 e nella lezione 6.
Ricordi il ruolo dei sottomultipli
Altri esercizi: Aritmetica di base, cap. 4, no.1-9, 19-22; In equilibrio su una linea di numeri, cap. 4,
no. 50-67.
18