CAPITOLO 0:

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INTRODUZIONE
Il nostro punto di partenza è quello di dare come assioma l’esistenza del
sistema (insieme “chiuso” rispetto a delle “operazioni”) dei “numeri reali”.
Assumiamo l’esistenza di un insieme di numeri, lo denotiamo con ℜ , che
verifica delle ben precise proprietà. Queste proprietà (assiomi) non si
discutono, inoltre sono tra di loro indipendenti e non contraddittorie. Nel
seguito si scriverà indifferentemente “numero” e “numero reale”.
Le proprietà possono essere suddivise in cinque gruppi:
•gli assiomi relativi all’operazione di somma;
•gli assiomi relativi all’operazione di moltiplicazione;
•gli assiomi relativi all’ordinamento;
•gli assiomi che legano tra di loro somma, moltiplicazione ed ordinamento;
•l’assioma di completezza o di Dedekind.
Vedere l’appendice finale per l’enunciato di questi assiomi. Nel seguito ci
possiamo permettere di non enunciarli: le conseguenze dei primi quattro
gruppi sono (dovrebbero essere) ben note; dell’assioma di Dedekind
saranno solo richiamate le conseguenze.
SOTTOINSIEMI DEI NUMERI REALI: NUMERI NATURALI,
INTERI E RAZIONALI
Cominciamo con l’osservare che è possibile considerare i numeri naturali
N = {1,2 ,3,4,5,.....} come un sottoinsieme dei numeri reali: N ⊂ ℜ .
Poiché 1∈ ℜ apparterranno a ℜ i numeri 1 + 1(= 2) , 2 + 1(= 3) , 3 + 1(= 4) e
così via.
Si noti che in N sono definiti (in quanto sottoinsieme di ℜ ) sia le
operazioni di somma e prodotto che l’ordinamento. D’altra parte, in N ,
non è definita l’operazione di sottrazione e divisione.
Anche l’insieme dei numeri interi, denotato Z , è un sottoinsieme di ℜ :
l’insieme degli interi è costituito dai naturali, ai quali vanno aggiunti i loro
opposti (inversi) additivi − 1 , − 2 , − 3 , − 4 ,... e lo 0. Tali numeri
appartengono a ℜ .
Si noti che anche in Z sono definite (in quanto sottoinsieme di ℜ ) sia le
operazioni di somma, sottrazione e prodotto che l’ordinamento; non è
definita l’operazione di divisione.
Pure l’insieme dei numeri razionali, denotato Q , costituisce un
sottoinsieme di ℜ , ed in esso valgono tutte le proprietà che valgono per
l’insieme dei reali, con l’esclusione, ovviamente, dell’assioma di Dedekind.
Un numero reale a è detto razionale se esistono due interi p e q ≠ 0 tali
che a =
p
p
: Q = { a ∈ ℜ / a = , con p ∈ Z e q ∈ N
q
q
}.
NOTA 1. Osserviamo che la somma ed il prodotto di due numeri razionali
è ancora un numero razionale. Se a e m sono due numeri razionali
b
n
( a ,m ∈ Z e b ,n ∈ N ), allora la loro somma ed il loro prodotto è dato dalle
seguenti, ben note, formule a ⋅ m = a ⋅m , a + m = a ⋅n + b ⋅m .
b
b⋅n
n
b
n
b⋅n
Nella seconda formula abbiamo semplicemente scritto le due frazioni con
lo stesso denominatore b ⋅ n .
Sono anche definite le operazioni inverse di sottrazione e divisione, se il
divisore non è nullo.
NOTA 2. La caratterizzazione proposta per i numeri razionali non è
corretta; principalmente perché l’espressione di un numero razionale come
rapporto di due interi non è unica. Ad esempio, le frazioni 3 , 6 , − 9 ,…
4 8 −12
p
e r (con p , r
rappresentano lo stesso numero razionale. I quozienti
q
s
numeri interi e q , s numeri naturali) rappresentano lo stesso numero
razionale se e solo se risulta ps = rq . Evitiamo di formalizzare la
definizione dei numeri razionali.
Vale la relazione insiemistica: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ ℜ .
NUMERI IN FORMA DECIMALE
In generale i numeri reali non possono essere rappresentati sotto forma di
frazioni, possono essere rappresentati con un numero “infinito” di caratteri
(rappresentazione decimale dei numeri reali): 2 = 1,414.... ; π = 3,14159 .... .
Questi sono i numeri reali non razionali.
Anche i numeri interi e razionali possono essere rappresentati in forma
decimale: 3 = 3,0000000 ... ; 3 = 0 ,7500000...; 1 = 0 ,3333333....
4
3
Osserviamo nuovamente che vi sono diversi modi di denotare lo stesso
numero razionale: con le frazioni 1 e 2 ; con la scrittura decimale
3
6
0 ,3333333 ... ; ovvero con 0,3 (si legge: “zero virgola tre periodico”; nella
scrittura decimale dei numeri razionali vi è un “periodo”, in quella dei
numeri reali non razionali non vi è periodo).
NOTA 3. Perché 1 = 0 ,3333333... e 1 = 0 ,9999999999 9... ?
3
NOTA 4. Abbiamo scritto le espressioni decimali terminandole con dei
puntini essendo impossibile scriverle completamente. Se ci fermiamo ad un
dato decimale otteniamo solo una approssimazione del numero; più
decimali consideriamo migliore sarà l’approssimazione: 3,14 e 3,14159
sono due approssimazioni del numero reale π , la seconda è “migliore”
della prima.
RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NON NEGATIVO
Sia a un numero positivo. Per l’assioma di Dedekind esiste almeno un
numero che moltiplicato per se stesso (il cui quadrato) è uguale ad a (in
altri termini: se a ≥ 0 , allora l’equazione x 2 = a ha soluzione in ℜ ).
Se b 2 = b ⋅ b = a , allora anche (− b )(− b ) = b ⋅ b = a . Di conseguenza
l’equazione ha almeno due soluzioni − b oppure b , di cui una risulta
positiva.
DEFINIZIONE. Sia a ∈ [0 ,+∞ ) . Definiamo “radice quadrata di a ” l’unico
numero non negativo, denotato con il simbolo
a , tale che
( a )2 = a .
ESEMPIO 1. 4 = 2 , 9 = 3 , 0 = 0 e 1 = 1 ;
− 1 non è definita;
25 ≠ −5 , è vero che (− 5) ⋅ (− 5) = 25 , tuttavia − 5 < 0 .
NOTA 4. •se a > 0 , allora l’equazione x 2 = a ha due soluzioni,
esattamente a > 0 e − a < 0 ;
•l’equazione x 2 = 0 ha come unica soluzione il numero 0 .
•se a < 0 , allora l’equazione x 2 = a non ha soluzione nei numeri reali.
ESEMPIO 2. Dimostrare che, per ogni a ,b ≥ 0 , risulta a ⋅ b = a ⋅ b .
Poiché a ,b ≥ 0 risulta a ⋅ b ≥ 0 , allora esiste a ⋅ b . D’altra parte,
a ⋅ b ≥ 0 e a ⋅ b a ⋅ b = a ⋅ a b ⋅ b = a ⋅b.
(
)(
) (
)(
)
Per l’unicità della radice quadrata, deve essere a ⋅ b = a ⋅ b .
Il risultato non vale per ogni a ,b ∈ ℜ . Se a = −3 e b = −12 (numeri
negativi), allora a e b non sono definiti, mentre
a ⋅ b = (− 3) ⋅ (− 12) = 36 e a ⋅ b = 6 .
ESEMPIO 3. Dimostrare che se a ≥ b 2 , allora
Intanto a ≥ 0 e a è definita. Se b ≤ 0 , allora
a ≥ b.
a ≥ 0 ≥ b . Se b > 0 e, per
assurdo, a < b , allora a = a ⋅ a < a ⋅ b < b ⋅ b = b 2 , contro l’ipotesi. In
conclusione, deve essere a ≥ b .