UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI FERRARA
CORSO SPECIALE ABILITANTE
anno accademico 2006/2007
CORSO DI:
Approfondimenti disciplinari
UNITÁ DIDATTICA
DELLA CLASSE A049
GEOMETRIA TRIDIMENZIONALIE
E TRASFORMAZIONI ISOMETRICHE
DOCENTE: PROF.
BERNARDI EROS
TITOLO: Geometria tridimensionale e trasformazioni isometriche.
CLASSE: II° anno Liceo Scientifico . L’argomento viene trattato durante il 2° quadrimestre,
nell’ambito dello studio della geometria.
Il modulo si apre con l’elenco dei prerequisiti, degli obiettivi di apprendimento e dei suoi contenuti.
PREREQUISITI:
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I concetti primitivi in geometria e le lori rappresentazioni.
L’assioma della distanza.
Proprietà delle rette e del piano.
Semiretta, segmento e loro classificazione.
Gli angoli e le loro classificazioni.
La misura di angoli e di segmenti nel piano.
Confronto e operazioni con segmenti ed angoli.
La definizione di poligono.
Congruenza di poligoni.
Rette parallele e perpendicolari nel piano.
Teorema di Pitagora ed Euclide.
OBIETTIVI GENERALI:
Lo studio della geometria nello spazio contribuisce al perseguimento delle seguenti finalità:
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Conoscenza storica dello sviluppo della geometria, ed in particolare della geometria
tridimensionale.
Oggetti fondamentali della geometria.
Capacità di dimostrare e generalizzare.
Ragionamento ipotetico deduttivo.
Lezione partecipata.
Sapere riutilizzare i problemi svolti per risolverne dei nuovi.
Padronanza dei processi di analisi, sintesi.
Cognitivi:
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La geometria e le sue applicazioni.
Angolo diedro.
Posizioni di due rette nello spazio
Posizione di una retta ed un paino.
Posizioni di due piani nello spazio.
Le trasformazioni isometriche dello spazio.
OBIETTIVI SPECIFICI
Sapere (conoscenze)
• Enti geometrici.
• Lo spazio tridimensionale.
• Trasformazioni isometriche.
• Isometrie di particolari solidi geometrici.
• Rappresentazione dello spazio tridimensionale sul foglio
1
Saper fare (competenze)
• Individuare le possibili posizioni nello spazio di una retta e di un piano, di due rette, di due
piani.
• Definire e individuare le caratteristiche e le proprietà dei poliedri con particolare riferimento ai
prismi.
• Isometrie ed invarianti delle trasformazioni isometriche.
• Riconoscere le isometrie di alcuni solidi.
Saper fare (capacità)
• Saper utilizzare ciò che si è appreso per affrontare in modo autonomo diverse tipologie di
problemi anche se presentati per la prima volta.
CONTENUTI
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Cenni storici.
Rette e piani nello spazio.
Distanze nello spazio.
Angolo diedro.
Isometrie.
Classificazione delle isometrie
Isometrie di figure geometriche
METODOLOGIA DIDATTICA.
Si può introdurre l’argomento dando dei brevi cenni storici e presentare diversi modi di trattare la
geometria, quindi si può passare a trattare le varie entità geometriche dello spazio per poi passare a
trattare le varie isometrie dello spazio, le quali si possono vedere come combinazioni di simmetrie.
L’argomento risulta molto più chiaro se si dispone di un PC con CABRI 3D ed un video proiettore
per mostrare alla classe tutte le costruzioni geometriche che non risultano di facile realizzazione alla
lavagna con il gesso.
Parte della lezioni possono essere utilizzate per avvicinare i ragazzi a questo potente software.
VERIFICA
Controllo e verifica dell’apprendimento:
L’andamento e l’efficacia dell’attività didattica saranno controllate attraverso l’assegnazione e la
successiva correzione in classe di opportuni esercizi applicativi nelle diverse fasi di progressione
dell’unità didattica, i ragazzi possono sin da subito usare CABRI 3D per svolgere le costruzioni
assegnate per casa. Saranno inoltre effettuate verifiche orali e verifiche formative studiate per
accertare che lo studente abbia acquisito gradualmente tutti i concetti, in particolare queste saranno
studiate in modo da verificare conoscenze, comprensione e capacità di applicazione.
A compimento dell’unità didattica si somministra una verifica sommativa che servirà a valutare il
grado di conoscenze e competenze raggiunto da ogni studente, se la scuola dispone di una buona
sala informatica parte della verifica sarà fatta con l’ausilio del mezzo informatico.
2
Recupero:
Per l’efficacia e la completezza dell’attività didattica sono previste attività di recupero. Tali attività
di recupero sono articolate in:
* Recupero svolto in classe attraverso la ripresa dei concetti non recepiti e lo svolgimento di
esercizi che aiutino a fare chiarezza sulle procedure non comprese.
* Attività pomeridiane con gli studenti interessati (sportello scolastico e tutoring).
* Assegnazione allo studente di esercizi mirati alla difficoltà da recuperare e guidati nella
risoluzione.
* Attività di gruppo guidate.
I concetti che necessitano di recupero verranno individuati attraverso le verifiche formative e
sommativa, le prove orali individuali e le discussioni di gruppo in classe
TEMPI DELL’INTERVENTO DIDATTICO
Proponiamo uno schema dello svolgimento della presente unità didattica suddiviso per attività e
comprendente i tempi presunti dell’intervento. Si fa presente che esso non può però ritenersi rigido
in quanto è necessario considerare variabili legate alle peculiarità degli studenti.
lezioni
I
Ore dedicate
1
II
2
III
IV
V
1
1
2
VI
VII
VIII
1
1
2
Totale
2
1
14 ore
Argomenti
Introduzione storica ed le diverse modi di introdurre la geometria,
alcuni considerazioni sui quattro approcci.
Rette e piani nello spazio ortogonalità e parallelismo, utilizzo della
sala informatica e CABRI 3D per realizzare alcune costruzioni .
Anglo diedro.
Esercizi formativi e verifiche orali
Isometrie dello spazio come gruppi di trasformazioni ausilio di
CABRI 3D
Esercizi formativi su personal computer.
Isometrie di alcune figure.
Verifica sommativa in sala informatica parte da svolgere su foglio
e parte da realizzare costruzioni con CABRI 3D.
Eventuale recupero.
Verifica finale sul recupero.
SVILUPPO DEI CONTENUTI
CENNI STORICI
1) Approccio Assiomatio
Il pensiero greco trova la sua sintesi in Euclide vissuto in Alessandria verso il 300 a. C. Egli nei
suoi Elementi, di contenuto aritmetico-geometrico, raccoglie e sistema tutto il complesso delle
conoscenze matematiche del tempo secondo un mirabile schema logico-deduttivo.
Indice degli Elementi
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Libri I-II-III-IV Geometria del piano
Libro V Proporzioni
Libro VI Similitudine nel piano
Libri VII-VIII-IX (libri aritmetici) Teoria dei numeri interi e razionali
Libro X (irrazionali)
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• Libri XI-XII-XII Geometria dello spazio
La parte di geometria dello spazio che ci interessa sviluppare è trattata nel libro XI degli elementi in
cui si trovano:
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punti,
rette e piani nello spazio,
teoria di parallelismo e perpendicolarità.
Nel 1899 David Hilbert (1862-1943) pubblicò il volumetto Fondamenti della geometria, che
divenne subito famoso e fu tradotto in diverse lingue. Hilbert fu tra i primi a dare alla geometria un
assetto puramente formale e assiomatico, già riscontrabili nell’algebra e nell’analisi, formulando per
la geometria un insieme di ventuno assiomi. Altri matematici ne proposero alcuni alternativi o
sostitutivi, facendo emergere sin dall’inizio del secolo il carattere formale e deduttivo della
geometria.
Negli Elementi Euclide utilizza una struttura deduttiva, ma spesso si serve di definizioni di
significato e di assunzioni che rimarranno implicite; inoltre in alcuni momenti manca di rigore
logico.
Hilbert, cosciente del fatto che in matematica non tutti gli enti possono essere oggetto di definizioni
rigorose, si serve di tre oggetti di base che lascia non definiti: il punto, la linea ed il piano; utilizza
inoltre sei relazioni indefinite: essere su, essere in , essere tra, essere congruente con, essere
parallelo a, essere continuo. Nell’opera seguono poi ventuno assiomi, oggi chiamati assiomi di
Hilbert, nei quali intervengono otto relazioni di incidenza, quattro proprietà di ordinamento, cinque
relazioni di congruenza, tre di continuità e, infine, un postulato sul parallelismo, essenzialmente
equivalente al postulato euclideo.
2) Approccio analitico.
3) Approccio che privilegia le costruzioni geometriche e le figure.
4) Geometria delle trasformazioni
Lo studio delle simmetrie come trasformazioni geometriche risale agli anni settanta dell’Ottocento,
quando Felix Klein (1849-1925) introdusse una visione unitaria della geometria in senso globale
utilizzando il concetto di gruppo.
La nuova concezione di Klein ebbe origine dagli studi sulla teoria dei gruppi che, a partire dalle
intuizioni di Lagrange, e poi dalle ricerche di Galois pubblicate da Liuoville, si era andata
organizzando in una nuova branca algebrica, e che probabilmente Klein ebbe modo di approfondire
nel corso di numerosi viaggi a Parigi.
Klein collaborò in alcune sue ricerche col matematico norvegese Sophus Lie (1842-1899), che era
stato suo compagno di studi a Göttingen e il cui nome è rimasto legato alle trasformazioni di
contatto da lui scoperte, e ai gruppi continui di sostituzioni sui quali scrisse un ponderoso trattato in
tre volumi (1893).
Il concetto di gruppo è estremamente generale: i suoi elementi possono ad esempio essere numeri
(come nell’aritmetica), o punti (come nella geometria), o trasformazioni (come nell’algebra e nella
geometria); la sua operazione può essere aritmetica (come l’addizione e la moltiplicazione) o
geometrica (come la rotazione attorno ad un punto o la traslazione) o più generalmente algebrica (la
composizione di due applicazioni qualunque). Klein utilizzò le possibilità unificatrici del concetto
di gruppo per caratterizzare le diverse geometrie che si erano sviluppate, con metodi e linguaggi
differenti, nel corso del secolo.
La visione di Klein è illustrata nella prolusione che egli tenne ad Erlangen nel 1872, in occasione
della libera docenza, ed è nota come Programma di Erlangen (Erlanger Programme). In esso una
geometria è descritta come lo studio delle proprietà che sono invarianti rispetto ad un particolare
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gruppo di trasformazioni. Ad esempio la geometria euclidea del piano è lo studio delle proprietà che
sono invarianti per trasformazioni ortogonali affini (traslazioni, rotazioni e simmetrie) del piano in
sé. La geometria affine è lo studio delle proprietà delle figure che sono invarianti per trasformazioni
affini (lineari affini a determinante ), tra queste proprietà ad esempio vi è quella di trasformare una
conica di un determinato tipo in una conica dello stesso tipo, la geometria proiettiva è lo studio delle
proprietà che sono invarianti per trasformazioni proiettive, e così via.
In questo modo qualsiasi classificazione di trasformazioni in gruppi e sottogruppi diventa una
classificazione delle diverse geometrie, consentendo anche di interpretare le geometrie non euclidee
iperbolica ed ellittica, assieme alla geometria euclidea, nell’ambito della geometria proiettiva.
L’influenza del programma di Erlangen, dapprima limitata, divenne poi universale, caratterizzando
l’impostazione generale di tutti i corsi universitari di geometria. Klein d’altronde svolse
ininterrottamente per circa mezzo secolo attività di insegnamento e divulgazione esercitando un
forte influsso sugli ambenti pedagogici a vari livelli.
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RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
ORTOGONALITA′ E PARALLELISMO
Postulati fondamentali e prime conseguenze
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Per due punti dello spazio passa una ed una sola retta.
•
Per un punto dello spazio passano infinite rette ed infiniti piani.
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Per una retta passano infiniti piani.
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Se una retta ha in comune due punti con un piano, la retta giace interamente sul piano.
•
Per tre punti non il linea retta, passa un piano ed uno solo.
Corollari.
• Per una retta ed un punto fuori di essa passa un piano ed uno solo.
• Per due rette che si tagliano passa un piano ed uno solo.
Teorema Se due piani distinti hanno in comune un punto. Essi hanno in comune una retta passante
per il punto
Rette e Piano perpendicolare.
Teorema Se una retta incontra un piano in un punto ed è perpendicolare a due rette del piano che
passano per il punto, la retta è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il punto.
Sia α un piano ed r una retta che incontri in un punto H e supponiamo che r sia perpendicolare a due
rette a e b del piano passanti per H. Conduciamo nel piano α una retta qualsiasi c passante per H.
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Dobbiamo dimostrare che r è perpendicolare anche a c.
A tale scopo, nel piano α, conduciamo una retta che incontri a,b,c e indichiamo con A,B,C, i
rispettivi punti d’intersezione. Prendiamo sulla retta r i punti P e P′ equidistanti da H e
congiungiamo P ed P′ con A,B,C. Osserviamo che nel triangolo APP′ la retta AH è l’asse del
segmento PP′; quindi AP=AP′. Analogamente essendo HB l’asse del segmento PP′ nel triangolo
BPP′, e BP=BP′.
Ora consideriamo i due triangoli PAB e P′AB . Essi hanno il lato AB in comune; hanno AP = AP' e
BP = BP per dimostrazione e quindi, avendo i tre lati rispettivamente uguali, i due triangoli
risultano uguali. In particolare sarà PAB = P′AB. Consideriamo i triangoli PAC e P′AC. Essi
hanno il lato AC in comune ed hanno PA = P′A e PÂC = P′ÂC per dimostrazione. Avendo due lati
e l'angolo compreso uguali, i due triangoli sono uguali; e in particolare sarà PC = P′C .
Allora nel piano CPP' la retta HC, che congiunge i punti H e C equidistanti dagli estremi del
segmento PP, è l'asse di questo segmento e pertanto la retta r è perpendicolare alla retta c; e ciò è
quanto si doveva dimostrare.
Teorema. Tutte le rette perpendicolari ad una retta in un suo punto giacciono in un medesimo
piano.
Definizione. Una retta ed un piano si dicono perpendicolari quando s’incontrano e la retta è
perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per il punto d'incontro. Il punto d'incontro di un
piano con una retta perpendicolare al piano si dice piede della perpendicolare.
Teorema. Per un punto si può condurre una sola retta perpendicolare a un piano ed una soltanto.
Definizione. Chiamasi distanza di un punto da un piano il segmento della perpendicolare condotta
per il punto al piano, compreso fra il punto ed il piano stesso.
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Rette parallele e rette sghembe.
Definizione. Due rette dello spazio si dicono parallele quando non hanno nessun punto in comune
ed appartengono ad uno stesso piano; si dicono sghembe quando non appartengono ad un
medesimo piano, cioè quando non sono complanari.
Teorema. Dati nello spazio una retta ed un punto fuori di essa, per il punto passa una retta ed una
sola parallela alla retta data.
Dimostrazione. Basta considerare il piano determinato dal punto e dalla retta e in questo piano
condurre, per il punto, la parallela alla retta.
Teorema. Se due rette sono parallele ed un piano incontra una di esse, questo piano incontra anche
l'altra.
Dimostrazione. Considerando il piano delle due rette parallele ci si riconduce all'analogo teorema
nel piano.
Teorema. Se due rette sono perpendicolari ad uno stesso piano, le due rette sono parallele.
Teorema. Se due rette sono parallele ed un piano è perpendicolare ad una di esse, il piano è
perpendicolare anche all'altra.
Teorema. Se due rette dello spazio sono parallele ad una terza, esse sono parallele fra di loro.
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Retta e piano paralleli.
Definizione. Una retta ed un piano si dicono paralleli quando non hanno nessun punto in comune
Teorema. Se una retta, non appartenente ad un piano, è parallela ad una retta del piano, quella retta
è parallela al piano.
Teorema. Se una retta è parallela ad un piano e se un piano passa per la retta ed incontra il piano
dato, la retta d'intersezione dei due piani e la retta data sono parallele.
Teorema. Se una retta è parallela ad un piano, tutti i punti della retta hanno ugual distanza dal piano.
Piani paralleli.
Definizione. Due piani si dicono paralleli quando non hanno alcun punto in comune.
Teorema. Se due piani sono perpendicolari ad una stessa retta, i due piani sono paralleli fra loro.
Teorema. Se un piano interseca due piani paralleli, le due rette d'intersezione sono parallele fra
loro.
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Dimostrazione se le due rette d'intersezione non fossero parallele e quindi s'incontrassero in un
punto, anche i due piani s’incontrerebbero, mentre per ipotesi sono paralleli.
Teorema. Se due piani sono paralleli ed una retta incontra uno di essi, tale retta incontra anche
l'altro.
Teorema. Se due piani sono paralleli ed una retta è perpendicolare ad uno di essi, tale retta è
perpendicolare anche all'altro.
Teorema. Dato un piano ed un punto fuori di esso, per questo punto passa un piano ed uno solo
parallelo al piano dato.
Corollario. Se due piani sono paralleli ad un terzo, i due piani sono paralleli fra loro.
Dimostrazione. Infatti se non fossero paralleli, per un punto della loro retta d'intersezione
passerebbero due piani paralleli ad uno stesso piano; e ciò è assurdo.
Corollario. Se due piani sono paralleli e se un terzo piano interseca uno di essi, il piano interseca
anche l'altro.
Teorema. Se due piani sono paralleli, tutti i punti del uno hanno ugual distanza dall'altro.
Definizione. Chiamasi distanza di due piani paralleli la distanza di un punto qualsiasi di uno dei due
piani dall’altro.
Teorema. Se due piani paralleli sono incontrati da due rette parallele, i segmenti di tali rette che
sono compresi fra i due piani sono uguali fra loro.
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DIEDRI
Definizione chiamasi angolo diedro, o semplicemente diedro, ciascuna delle due parti secondo
cui lo spazio rimane diviso da due semipiani che hanno in comune l’origine, ciascuna parte presa
insieme ai due semipiani che sono detti cacce del diedro.
La retta origine dei due semipiani si dice spigolo o costa del diedro.
Un diedri si dice convesso quando non
contiene i prolungamenti delle sue due
facce; si dice concavo quando li contiene; si
dice piatto quando una faccia è il
prolungamento dell’altra ; ed in tal caso il
diedro è costituito dai punti di un intero
semispazio.
Chiamasi sezione normale di un diedro ogni angolo che si ottiene tagliando il diedro con un piano
perpendicolare allo spigolo.
Per determinare una sezione normale di un
diedro basta condurre da un punto dello
spigolo le semirette perpendicolari allo
spigolo che giacciono rispettivamente sulle
facce del diedro.
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Teorema due qualsiasi sezioni normali di un diedro sono tra loro uguali.
Consideriamo due sezioni normali di un diedro e sui lati di esse prendiamo rispettivamente
OA=0′A′ e OB = O'B'. Congiungiamo A con A' e B con B'. Si può osservare subito che il
quadrilatero OAA'O', avendo i lati OA ed O'.' uguali e paralleli, è un parallelogrammo. Quindi sono
pure uguali e paralleli gli altri due lati opposti 00' e AA'.
Analogamente, poiché il quadrilatero OBB'O' è pure un parallelogrammo, risulta che i lati 00' e BB'
sono uguali e paralleli. Ne consegue che i segmenti AA' e BB' sono uguali e paralleli tra loro,
essendo uguali e paralleli allo stesso segmento 00'.
Congiungiamo ora A con B e A' con B'. Il quadrilatero AA'B'B , avendo i due lati opposti AA' e
BB' uguali e paralleli, è un parallelogrammo. Quindi in particolare è AB = A'B'.
Consideriamo infine i due triangoli OAB e O'A'B'. Essi hanno i tre lati ordinatamente uguali e
quindi sono uguali. In particolare è AÔB = AÔ′B'.
Teorema. Due sezioni parallele di un diedro (cioè due sezioni fatte con piani paralleli) sono uguali.
Definizione. Due diedri si dicono Uguali quando hanno le sezioni normali uguali.
Definizione. - Chiamasi diedro retto ogni diedro che ha per sezione normale un angolo retto.
La misura di un diedro è data dalla misura della sua sezione normale.
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ISOMETRIE
Una isometria dello spazio in se stesso è una trasformazione che mantiene inalterata le distanze e gli
angoli
Le isometrie si suddividono in isometrie dirette e isometrie indirette, a seconda che conservino o
invertano l'orientamento nello spazio degli oggetti. Per maggio chiarezza mostriamo una simmetria
di un tetraedro rispetto ad un piano e una sua traslazione.
Figura 1
Figura 2
Nella figura 1 il tetraedro è stato rovesciato mentre nelle figura 2 il tetraedro ha mantenuto il suo
orientamento.
Le rotazioni e le traslazioni sono isometrie dirette mentre le simmetrie centrali dello spazio e le
riflessioni rispetto a un piano sono isometrie indirette.
Il prodotto di due isometrie della stessa classe è un'isometria diretta, mentre il prodotto di due
isometrie di classi diverse è una isometria indiretta. Si ammetterà (senza dimostrazione) il seguente
teorema:
Ogni isometria dello spazio è una riflessione piana oppure può essere ottenuta dal prodotto di al più
quattro riflessioni.
Le riflessioni generano, tramite composizione, il gruppo delle isometrie dello spazio.
Si può quindi proporre la sintesi contenuta nella seguente tabella, ma senza pretendere di riuscire a
dimostrare le varie proposizioni che sono in essa contenute.
Numero di Isometrie dirette
Isometrie indirette
riflessioni dello spazio (pari) dello spazio (dispari)
da
comporre
0
Identità
1
Riflessioni
2
Traslazioni
Rotazioni
Simmetrie assiali
3
Anti-traslazioni
Anti-rotazioni
Simmetrie centrali
4
Movimenti
elicoidali
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Simmetria rispetto ad un piano α
La simmetria rispetto ad un piano α può essere pensata come la riflessione in uno specchio, è una
trasformazione geometrica che verifica le seguenti proprietà:
a) Ogni punto P di α viene mandato in se stesso.
b) Se P appartiene ad un semispazio con bordo α l’immagine di P, P′ appartiene all’altro
semispazio.
c) Conserva le distanze
d) È involutiva.
Assioma
Dato un piano α esiste sempre una simmetria ad esso relativa.
Costruire il simmetrico di un punto P rispetto al piano α.
Costruiamo la perpendicolare da P al piano α, su tale perpendicolare prendiamo dalla parte opposta
rispetto al piano α un punto P′ che abbia la stessa distanza dal pino α.
Con l’ausilio di CABRI 3D si può ottenere la simmetria del punto utilizzando semplicemente lo
strumento simmetria rispetto ad un piano.
Agli alunni nelle verifica sarà richiesto di realizzare alcune costruzioni anche con matita e righello.
La simmetria rispetto ad un piano α conserva il parallelismo manda rette parallele in rette parallele.
Prese due rette parallele s,t, prendiamo su di s due punti A ed B ed facciamo i simmetrici A′ ed B′
quindi costruiamo la retta s′ simmetrica di s rispetto la riflessione del piano α.
Ripetiamo lo stesso procedimento per la retta t
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Traslazioni
Simmetria rispetto ad due piani paralleli α ed β.
La composizione di due simmetrie relative a due piani paralleli è ancora una isometria, e
precisamente una simmetria diretta chiamata traslazione.
La traslazione è normalmente identificata da un vettore v che nel caso dei due piani risulta avere la
direzione perpendicolare ad i due piani, verso orientato da α ad β e lunghezza pari a due volte la
distanza fra α ed β.
La simmetria del piano α porta il punto A nel punto A′,quindi la simmetria rispetto a β porta il
punto A′ nel punto A″.
Troviamo le intersezioni del segmento AA″ con il piani α ed β.
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Da cui sia ha che il segmento AA′′ = AB + BA′ + A′C + CA′′ , ma sappiamo anche che AB = BA′ ed
A′C = CA′′ per cui la relazione precedente diventa AA′′ = 2 BA′ + 2 A′C = 2( BA′ + A′C ) = 2 BC .
La traslazione prodotta come risultato dalle due simmetrie dei piani α ed β porta un retta s in una
retta s″ parallela ad s.
Prendiamo sulla retta s due punti A ed B conveniente prendere B come il punto di intersezione del
piano α ed della retta s, in quanto la simmetria di questo punto rimane sul piano α stesso,
costruiamo il simmetrico di A rispetto ad α e chiamiamolo A′; ora costruiamo la retta s′ passante
per i due punti.
Ripetiamo il procedimento per quanto riguarda il piano β.
La traslazione prodotta come risultato dalle due simmetrie dei due piani α ed β porta rette parallele
s ed t in rette parallele s″ ed t″.
Prendiamo sulla retta s due punti A ed B conveniente prendere B come il punto di intersezione del
piano α ed della retta s, in quanto la simmetria di questo punto rimane sul piano α stesso,
costruiamo il simmetrico di A rispetto ad α e chiamiamolo A′; ora costruiamo la retta s′ passante
per i due punti.
Prendiamo sulla retta t due punti C ed D conveniente prendere D come il punto di intersezione del
piano α ed della retta t, in quanto la simmetria di questo punto rimane sul piano α stesso,
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costruiamo il simmetrico di D rispetto ad α e chiamiamolo D′; ora costruiamo la retta s′ passante
per i due punti.
Ripetiamo il procedimento per quanto riguarda il piano β.
La traslazione prodotta come risultato dalle due simmetrie dei due piani α ed β porta un piano π in
una piano π″ parallela ad π.
Prendiamo ora il piano π ed tre punti A, B ed C conveniente prendere B ed C come punti
dell’intersezione del piano α con π in quanto la simmetria di questo punto rimane sul piano α
stesso, costruiamo il simmetrico di A rispetto ad α e chiamiamolo A′; ora costruiamo il piano π′
passante per i tre punti.
Ripetiamo il procedimento per quanto riguarda il piano β.
Rotazioni
Simmetria rispetto ad due piani incidenti α ed β in una retta s.
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La composizione di due simmetrie relative a due piani incidenti in una retta è ancora una isometria,
e precisamente una simmetria diretta chiamata rotazione.
La rotazione è normalmente identificata da un angolo che nel caso dei due piani risulta essere due
volte l’anglo diedro formato da α ad β in figura l’anglo BÔC, visto che applichiamo prima la
simmetria rispetto al piano α e poi quella rispetto a β la rotazione risulta i senso antiorario.
Sfruttando l’interattività del software se ne può dare una dimostrazione intuitiva.
Simmetria Assiale
Simmetria rispetto ad due piani incidenti α ed β in una retta s e
formanti un angolo diedro retto.
La composizione di due simmetrie relative a due piani incidenti in una retta è ancora una isometria,
e precisamente una simmetria assiale.
La simmetria è normalmente identificata da un retta formato dall’intersezione sia α ad β.
Sfruttando l’interattività del software si può far vedere che la retta AA″ interseca sempre la retta
formata dai due piani e risulta divisa in due parti uguali, poi si può dare loro anche una
dimostrazione più rigorosa.
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Simmetria Centrale
Utilizzando il software si può mostrale agli alunni che la simmetria data da tre piano a due a due
perpendicolari e una simmetria centrale, data dal punto intersezione dei tre piani.
Isometrie di Alcune Figure
Isometrie del tetraedro regolare
Si possono scambiare due vertici del tetraedro regolare tramite la riflessione definita dal piano
passante per due vertici del tetraedro e per il punto medio formato dell'altro lato. In questo modo il
punto A viene mandato in B ed il punto B in A.
Si ottengono così 6 riflessioni rispetto ai piani di simmetria passanti per due vertici ed il punto
medio del lato formato dagli altri due vertici, visto che le combinazioni possibili sono sei.
Si possono scambiare i quattro vertici del tetraedro regolare tramite la riflessione definita dal asse
MN passante per il punto medio M del segmento AB ed N il punto medio del segmento CD. In
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questo modo il punto A viene mandato in B ed il punto B in A, C viene mandato in D ed il punto D
in C.
Si ottengono così 3 riflessioni rispetto alle rette di simmetria passanti per i punti medi dei lati AB ed
CD, BC ed AD, AC ed BD.
Fissiamo un vertice invariante ed effettuiamo delle permutazioni circolari degli altri vertici, ossia
della faccia triangolare opposta al vertice. Queste permutazioni circolari corrispondono a rotazioni
di angoli di ±120° aventi ciascuna per asse una retta che congiunge il vertice scelto con il centro del
tetraedro. Si ottengono così 8 rotazioni (2 per ogni vertice). Nella figura 4 è stato disegnato uno di
questi assi di rotazione di ordine 3.
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Isometrie del cubo
Consideriamo i piani di simmetria passanti per i punti medi degli spigoli paralleli, essi sono in totale
tre.
Consideriamo poi le sei isometrie ottenute dai piani contenenti ciascuno le diagonali parallele di
due facce opposte.
Con le riflessioni rispetto a questi piani di simmetria si arriva dunque ad un totale di 9 riflessioni.
Per quel che riguarda le rotazioni e le simmetrie assiali , si hanno le rotazioni che hanno per assi le
tre rette passanti ciascuna per i centri di due facce opposte. Si ottengono 9 rotazioni di angoli ±90° e
di 180°.
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Le otto rotazioni attorno alle 4 diagonali del cubo, di angoli ±120° .
Si hanno inoltre le 6 simmetrie assiali rispetto alle 6 rette che congiungono i punti medi di due
spigoli opposti.
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La verifica dell'apprendimento
La verifica dell'apprendimento non deve essere un fatto isolato, eccezionale dell'attività
scolastica. Per cui l’unità didattica prevede due verifiche intermedie orali ed una verifica sommativa
finale che sarà riportata di seguito. Gli alunni devono percepire alle prove di verifica come
momenti ordinari dell'attività scolastica che consentono di rilevare, a loro prima che ai docenti qual
è la preparazione raggiunta e di acquisire consapevolezza in ordine al progredire
dell'apprendimento.
La verifica deve essere percepita come un fatto quotidiano, altamente formativo poiché
favorisce l'abitudine a studiare ogni giorno ed è indispensabile per accertare se c'è stato
apprendimento.
La continua verifica dell'apprendimento è una esigenza sostanziale da cui scaturisce la possibilità di
attribuire i voti quadrimestrali in base ad un giudizio brevemente motivato, desunto da un congruo
numero di interrogazioni e di esercizi scritti, grafici o pratici.
La verifica sarà svolta in sala informatica parte della verifica si svolgerà con l’utilizzo di CABRI3D
Verifica
1) Che cosa studia la geometria solida?
2) Quali sono le possibili posizioni di due retta nello spazio?
3) Com’è definita la distanza di un punto da un piano?
4) Quando è che una retta è parallela ad un piano?
Quando perpendicolare?
5) Quando è che due piani sono perpendicolari?
Quando paralleli?
6) Illustra come da una simmetria rispetto ad un piano si possono ottenere tutte le isometrie.
7) Costruire con CABRI 3D una delle composizione delle isometrie rispetto ad un piano della
domanda precedente.
8) Illustrare con l’utilizzo di CABRI 3D la domanda numero due.
9) Costruisci con CABRI 3D alcune simmetrie del cubo.
10) Costruisci con CABRI 3D la traslazione di un cubo ottenuta dalla composizione di due
isometrie.
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Valutazione.
DESCRITTORI
PUNTI
Interpretazione della domanda
0-1
Individuazione e conoscenza delle regole
0-1
necessarie alla costruzioni
Grado di sviluppo
0-2
Correttezza impostazione e linearità
0-2
procedimento
Correttezza nelle costruzione e
0-2
nell’esposizione delle domanda.
Autonomia e creatività
0-2
10
Totale
Ogni esercizio assegnato verrà valutato con dieci punti il campito ha un punteggio totale di cento
punti. Si raggiunge la sufficienza con 60punti.
Recupero.
Osservato che l’argomento non risulta spesso ai più di semplice comprensione, una volta terminate
le varie verifiche orali e scritte del caso, se i risultati ottenuti da tutti non saranno soddisfacenti.
Si predisporranno dei gruppi di lavoro formati da chi meglio ha assimilato gli argomenti a fare da
docente ad chi ancora non raggiunge risultati soddisfacenti.
In questo modo il corso risulterà di approfondimento per chi è già in grado di lavorare in modo
autonomo sugli argomenti e di recupero per chi ancora no ha acquistato quella autonomia
sufficiente a padroneggiare bene l’argomento.
Eventualmente solo per un numero minimo di alunni si potranno realizzare corsi pomeridiani.
Conclusa l’opera di recupero verrà effettuata una verifica del recupero effettivamente ottenuto
facendo un punto della situazione paragonando i risultati di partenza con quelli di arrivo.
Bibliografia
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P.M. Gianoglio P. Arri G. Ravizza MATEMATICA ATTIVA Geometria ED Il Capitello.
M. Manarini e Manarini Pini GEOMETRIA per gli istituti tecnici ED Giunti Marzocco.
F. Enriques U. Amaldi ELEMENTI DI GEOMETRIA Parte Seconda ED Zanichelli.
http://www.treccani.it/site/Scuola/nellascuola/area_matematica/archivio/3d/tomasi_c.htm
http://www.treccani.it/site/Scuola/nellascuola/area_matematica/archivio/3d/tomasi.htm
http://www.treccani.it/site/Scuola/nellascuola/area_matematica/archivio/3d/tomasi2.htm
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