CALCOLO DELLE DERIVATE

CALCOLO DELLE DERIVATE
1) Calcolare, in base alla definizione, la derivata della seguente funzione e verificare il
risultato utilizzando le regole del calcolo delle derivate: y = ln 2 x
Si ha:
f ( x + h) − f ( x )
h
f '( x) = lim
h →0
y ' = lim
ln 2 ( x + h ) − ln 2 x
h →0
h
1
1 2 ( x + h)
⎛ h ⎞h
= lim ln ⎜1 + ⎟
= lim ln
h →0
h →0 h
x⎠
2x
⎝
Poniamo:
1 h
1 t
=
→
=
t x
h x
lim
→ lim
h →0
t →∞
Pertanto il limite diventa:
1
t
t
1 ⎛ 1⎞ 1
1
⎛ h ⎞h
⎛ 1⎞x
lim ln ⎜ 1 + ⎟ = lim ln ⎜1 + ⎟ = lim ln ⎜1 + ⎟ = ln e =
h →0
t →∞
t →∞ x
x
x⎠
x
⎝
⎝ t⎠
⎝ t⎠
Utilizzando le regole di derivazione si ha subito:
1
1
⋅2 =
2x
x
2) Calcolare, in base alla definizione, la derivata della seguente funzione e verificare il
1
risultato utilizzando le regole del calcolo delle derivate: y =
x +1
D [ ln 2 x ] =
In base alla definizione di derivata si ha:
f ' ( x ) = lim
f ( x + h) − f ( x)
h →0
h
1
1
−
x +1− x − h −1
−h
y ' = lim x + h + 1 x + 1 = lim
= lim
h →0
h → 0 h ( x + h + 1)( x + 1)
h →0 h x + h + 1 x + 1
h
(
)( )
= lim
h →0
−1
1
=−
( x + h + 1)( x + 1) ( x + 1)2
In base alle regole del calcolo delle derivate si ha subito:
y' = −
1
( x + 1)
2
3) Calcolare la seguente derivata: y = log 2 sin 3 x
Applicando le regole di derivazione si ottiene:
[
]
y ' = 2 ⋅ log sin 3 x ⋅ D log sin 3 x
1
= 2 ⋅ log sin 3 x ⋅ 3 ⋅ D sin 3 x
sin x
1
= 2 ⋅ log sin 3 x ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ sin 2 x ⋅ D[sin x ]
sin x
1
= 2 ⋅ log sin 3 x ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ sin 2 x ⋅ cos x
sin x
[
]
4) Calcolare la seguente derivata:
y = (log x )
log x
Occorre per prima cosa riscrivere la funzione in forma esponenziale, ossia:
y = e log(log x )
log x
→ y = e log x⋅log(log x )
Passiamo ora al calcolo della derivata, applicando le note regole di derivazione:
y ' = elog x⋅log(log x ) ⋅ D[log x ⋅ log(log x )] =
⎧1
⎫
= elog x⋅log(log x ) ⋅ ⎨ ⋅ log(log x ) + log x ⋅ D[log(log x )]⎬
⎩x
⎭
⎧1
⎫
1
= elog x⋅log(log x ) ⋅ ⎨ ⋅ log(log x ) + log x ⋅
⋅ D[log x]⎬
log x
⎩x
⎭
⎧1
1 1⎫
= elog x⋅log(log x ) ⋅ ⎨ ⋅ log(log x ) + log x ⋅
⋅ ⎬
log
x
x
x⎭
⎩
Volendo si può riscrivere il risultato nella forma più compatta:
y ' = (log x )
log x
1
⋅ ⋅ [log(log x ) + 1]
x
⎛ sin x ⎞
5) Calcolare la seguente derivata: y = arctan⎜
⎟
2
⎝ cos x ⎠
Applicando le note regole di derivazione si ottiene:
⎡ sin x ⎤
⋅ D⎢ 2 ⎥
⎣ cos x ⎦
⎛ sin x ⎞
1+ ⎜
⎟
2
⎝ cos x ⎠
1
cos x ⋅ cos 2 x − sin x ⋅ D cos 2 x
=
⋅
2
2
cos 2 x
⎛ sin x ⎞
1+ ⎜
⎟
2
⎝ cos x ⎠
1
cos x ⋅ cos 2 x − sin x ⋅ 2 cos x ⋅ D[cos x ]
=
⋅
2
2
cos 2 x
⎛ sin x ⎞
1+ ⎜
⎟
2
⎝ cos x ⎠
1
cos x ⋅ cos 2 x − sin x ⋅ 2 cos x ⋅ (− sin x )
=
⋅
2
2
cos 2 x
⎛ sin x ⎞
1+ ⎜
⎟
2
⎝ cos x ⎠
1
y' =
2
(
[
)
(
)
(
)
]
6) Calcolare la derivata della seguente funzione: y =
x + ex
1 + log x
Dobbiamo applicare la regola di derivazione del quoziente di 2 funzioni:
⎛ f ( x) ⎞ f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ' ( x)
⎟⎟ =
D⎜⎜
g
(
x
)
[g ( x)]2
⎝
⎠
Si ha quindi:
(1 + e )(1 + log x ) − (x + e )⋅ 1x
x
y' =
x
(1 + log x )2
1) Calcolare la derivata della seguente funzione: y = 2arctg
1 − cos x
sin x
Dobbiamo applicare la regola di derivazione delle funzioni composte:
D( f (g ( x )) = f ' ( g ( x) ) ⋅ g ' ( x)
si ha quindi:
2
sin x ⋅ sin x − (1 − cos x ) cos x
sin 2 x
→
⎛ 1 − cos x ⎞
1+ ⎜
⎟
⎝ sin x ⎠
2
sin 2 x − cos x + cos 2 x
⋅
y' =
sin 2 x + 1 − 2 cos x + cos 2 x
sin 2 x
sin 2 x
2 sin 2 x 1 − cos x
⋅
→
y' =
2 − 2 cos x sin 2 x
2
⋅ (1 − cos x) = 1
y' =
2(1 − cos x)
y' =
2
⋅
→
y = log 3 sin(2 − x)
2) Calcolare la derivata della seguente funzione:
Ancora una volta dobbiamo applicare la regola di derivazione delle funzioni composte. Si ha:
y ' = 3 ⋅ log 2 sin( 2 − x) ⋅
1
⋅ cos(2 − x) ⋅ (−1)
sin( 2 − x)
→
y ' = −3 ⋅ log 2 sin( 2 − x) ⋅ cot g (2 − x)
3) Calcolare la derivata della seguente funzione: y = arctg
2x
1− x2
Si ha:
y' =
=
1
⎛ 2x ⎞
1+ ⎜
2 ⎟
⎝1− x ⎠
2x 2 + 2
(1 + x )
2 2
=
2
⋅
(
(
)
2 ⋅ 1 − x 2 − 2 x ⋅ (− 2 x )
(1 − x )
2 2
2 1+ x2
(1 + x )
)=
2 2
=
2 − 2x 2 + 4x 2
1
⋅
2
1 − 2x 2 + x 4 + 4x 2
1− x2
2
1− x2
(
)
(
)
2
1+ x2
4) Calcolare la derivata della seguente funzione:
y = (cos x )
x 2 +1
Osserviamo che è necessario prima riscrivere la funzione in forma esponenziale, cioè:
y = (cos x )
x 2 +1
= e log (cos x )
x 2 +1
2
= e (x +1)⋅log cos x
A questo punto possiamo procedere con la derivazione:
(
)
2
1
⎡
⎤
⋅ (− sin x )⎥
y ' = e (x +1)log cos x ⋅ ⎢2 x ⋅ log cos x + x 2 + 1 ⋅
cos x
⎣
⎦
5) Calcolare la derivata della seguente funzione:
y = 5 sin x 3
Si ha:
1
y' =
5⋅
5
(sin x )
3 4
⋅ cos x 3 ⋅ 3 x 2
12) Calcolare la derivata della seguente funzione:
y = sin( x x
2
+1
)
Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte si ha:
( )⋅ x
y ' = cos x x
2
+1
x 2 +1
⎛
x2 +1⎞
⎟
⋅ ⎜⎜ 2 x log x +
x ⎟⎠
⎝
13) Calcolare la derivata della funzione: y = log cos x
Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte possiamo scrivere:
y' =
1
cos x
(
) 2 1 x = − tan2 xx
⋅ − sin x ⋅
14) Calcolare la derivata della seguente funzione:
(
y = sin e arctgx
)
Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte possiamo scrivere:
(
)
y ' = cos e arctgx ⋅ e arctgx ⋅
1
1+ x2
15) Scrivere l’equazione della tangente al grafico della funzione y = log x nel punto di ascissa
x=e
Data una funzione f(x), la retta tangente in un suo punto (x0 ; y0) in cui essa sia derivabile è data
dalla relazione:
y = f ' ( x0 ) ⋅ (x − x0 ) + f ( x0 )
Nel nostro caso si ha:
f (e) = log e = 1
1
f ' ( x) =
→
x
f ' (e ) =
1
e
quindi l’equazione della retta è:
1
⋅ (x − e) + 1
e
y=
→
y=
x
e
TEOREMI SULLE DERIVATE
2) Determinare il punto o i punti che verificano il teorema di Rolle per la seguente funzione,
dopo aver verificato se sono soddisfatte tutte le condizioni richieste dal teorema:
y=
x+2
x + x +1
⎡ 1 ⎤
nell' intervallo ⎢− ;0⎥
⎣ 2 ⎦
2
Osserviamo per prima cosa che la funzione è continua e derivabile su tutto R in quanto il polinomio
al denominatore non si annulla mai.
Passiamo al calcolo della derivata:
y' =
(x
2
)
+ x + 1 − ( x + 2 )(2 x + 1)
(x
2
)
+ x +1
2
=−
x 2 + 4x + 1
(x
2
)
+ x +1
2
Osserviamo che anch’essa è definita su tutto R
Si verifica poi che:
⎛ 1⎞
f ⎜− ⎟ = 2
⎝ 2⎠
f (0) = 2
Pertanto sono verificate le condizioni del teorema di Rolle. Deve quindi esistere almeno un punto
⎡ 1 ⎤
c ∈ ⎢− ;0⎥ per cui risulti f ' (c) = 0
⎣ 2 ⎦
f ' (c ) = −
c 2 + 4c + 1
(c
2
)
+ c +1
2
=0
→ c 2 + 4c + 1 = 0
→ c1 = −2 − 3
c 2 = −2 + 3
Notiamo che delle due soluzioni trovate, solo c2 appartiene all’intervallo indicato.
3) Determinare gli intervalli in cui la seguente funzione è crescente o decrescente.
log x
x2
Osserviamo per prima cosa che, per le condizioni di esistenza, deve essere x > 0.
Passiamo quindi allo studio del segno della derivata prima:
y=
1 2
⋅ x − log x ⋅ 2 x
>0
y' = x
x4
→
x(1 − 2 log x )
>0
x4
→
1 − 2 log x
>0
x3
Notiamo che, date le condizioni di esistenza, il denominatore della funzione è sempre positivo;
possiamo quindi scrivere:
1 − 2 log x > 0
→ log x <
1
2
1
→ log x < log e 2
→ x< e
Tenuto conto delle condizioni di esistenza, risulta quindi che la funzione è:
crescente per 0 < x < e
decrescente per x > e
presenta un massimo relativo per x = e
4) Determinare il punto o i punti che verificano il teorema di Lagrange per la seguente
funzione, dopo aver verificato se sono soddisfatte tutte le condizioni richieste dal
teorema:
y = x3 − 2x
nell'intervallo
[− 1 ;3]
Osserviamo preliminarmente che sussistono le condizioni del teorema di Lagrange; infatti la
funzione, essendo un polinomio, è continua e derivabile su tutto R e quindi anche nell’intervallo
[-1;3].
Per il teorema di Lagrange deve allora esistere almeno un valore c ∈ (-1 ; 3) per il quale risulti:
f (b ) − f (a )
= f ' (c )
b−a
Si ha poi:
f (a) = f (−1) = 1
f (b) = f (3) = 21
f ' ( x) = 3x 2 − 2
e quindi:
21 − 1
= 3c 2 − 2
3 − (−1)
→ 3c 2 = 7
→ c=±
7
3
dei due valori trovati, cade nell’intervallo richiesto solo c =
7
3
5) Determinare gli eventuali massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale della seguente
funzione:
y = x 3e − x
Osserviamo preliminarmente che la funzione è continua e derivabile su tutto R. Passiamo quindi
al calcolo della derivata prima. Si ha:
y' = 3x 2 e − x − x 3 e − x
→
y ' = x 2 e − x (3 − x )
I punti stazionari sono quelli in cui la derivata prima si annulla:
x 2 e − x (3 − x ) = 0
→ x=0
e x=3
Per determinare la natura dei punti stazionari studiamo il segno della derivata:
x 2 e − x (3 − x ) > 0
Osserviamo che i primi due fattori sono sempre non negativi, pertanto si ha:
3− x > 0
→ x<3
Possiamo quindi costruire il seguente schema:
Deduciamo quindi che per x = 3 si ha un massimo relativo, in quanto la funzione è crescente a
sinistra e decrescente a destra; in x = 0 si ha invece un flesso a tangente orizzontale, dal
momento che la funzione è crescente sia a destra che a sinistra.
REGOLA DE L’HOPITAL
4) Calcolare il seguente limite:
lim
x →∞
1
⎛
⎞
⎜1 − e x ⎟ ⋅ x
⎜
⎟
⎝
⎠
Si ha:
lim
x →∞
1
1
⎛
⎞
⎞
⎛
⎜ 1 − e x ⎟ ⋅ x = ⎜1 − e ∞ ⎟ ⋅ ∞ = 1 − e 0 ⋅ ∞ = 0 ⋅ ∞
⎟
⎜
⎜
⎟
⎠
⎝
⎝
⎠
(
)
Notiamo che si tratta di una forma indeterminata, per cui possiamo ricorrere alla formula de
l’Hopital. Non è però possibile applicare la formula direttamente, in quanto il limite deve essere
0
∞
nella forma
oppure
0
∞
Riscriviamo dunque il limite nella forma:
e2x
4) Calcolare il seguente limite: lim
2
x → +∞ 2 x − 1
Osserviamo che risulta:
lim
x → +∞
e2x
∞
=
2
2x − 1 ∞
quindi possiamo direttamente utilizzare la regola de L’Hôpital:
lim
x → +∞
e2x
2e 2 x
4e 2 x
=
=
=∞
lim
4x
4
2 x 2 − 1 lim
x → +∞
x → +∞
6) Determinare il seguente limite:
⎛1⎞
lim ⎜ ⎟
x →0 + ⎝ x ⎠
sin x
[ ]
Il limite si presenta nella forma indeterminata 0 0 motivo per cui non è direttamente applicabile
la regola de L’Hôpital. Il limite però può essere riscritto in forma esponenziale:
⎛1⎞
lim+ ⎜ ⎟
x →0 ⎝ x ⎠
sin x
= lim+ e
sin x⋅log
1
x
= lim+ e −sin x⋅log x
x →0
x →0
essendo la funzione esponenziale continua ovunque, possiamo applicare la regola del limite
delle funzioni composte:
(
)
lim f ( g ( x )) = f lim g ( x )
x →c
x →c
Pertanto è sufficiente studiare il seguente limite:
lim sin x ⋅ log x
x →0 +
Esso si presenta nella forma indeterminata 0 ⋅ ∞ quindi occorre riscriverlo opportunamente per
poter utilizzare la regola de L’Hôpital:
lim+
x →0
log x
1
sin x
Poiché esso si presenta nella forma
∞
possiamo finalmente applicare la regola de L’Hôpital:
∞
1
x
log x
sin 2 x
0
⎛ sin x ⎞
⎛ sin x ⎞
lim+
= lim+
= lim+ −
= lim+ ⎜
⎟ ⋅ lim+ ⎜ −
⎟ = 1⋅ = 0
x →0
x →0
1
1
1
(− cos x ) x→0 x cos x x→0 ⎝ x ⎠ x→0 ⎝ cos x ⎠
2
sin x
sin x
H
Sostituendo nella funzione precedente risulta:
⎛1⎞
lim+ ⎜ ⎟
x →0 ⎝ x ⎠
sin x
= lim+ e
x →0
sin x⋅log
1
x
= lim+ e −sin x⋅log x = e −0 = 1
x →0