Controllo statistico di qualità

Controllo statistico di qualità
Introduzione
• Un’azienda vorrebbe che tutti i pezzi prodotti
siano uguali: vuole cioè che la produzione sia
affidabile.
• L’affidabilità della produzione è affidata a due
momenti distinti: la progettazione della
produzione (off line) e il controllo che la
produzione sia almeno conforme ai parametri
specificati (on line).
Il controllo statistico della qualità consiste in una collezione di strumenti che sono
essenziali nelle attività finalizzate al miglioramento della qualità di prodotti e servizi
attraverso l’analisi della loro variabilità.
Es: un rivenditore compra delle cassette di frutta da un produttore e si aspetta che siano
imballate e sistemate opportunamente in modo da facilitare l’esposizione della merce o
la sistemazione in magazzino.
Tra il 1920 e il 1945, si sviluppano le tecniche di controllo statistico della qualità dell’
output grazie a Gorge D. Edwards e a Walter A. Shewhart. Si introdussero tecniche di
controllo sull’intero processo produttivo, non limitandosi più, quindi, a verificare la
difettosità dei prodotti solo alla fine del processo dato che i controlli a tappeto su tutti i prodotti stavano iniziando a rivelarsi troppo costosi. Per effettuare questa nuova
tipologia di controlli, si fece sempre più ricorso ai criteri statistici. Esaminando pochi
prodotti finiti si riusciva a stabilire, mentre si produceva, se il processo presentava
delle irregolarità o meno.
I controlli basati su criteri statistici ebbero la massima applicazione durante la seconda
guerra mondiale, quando per l’industria bellica diventò necessario utilizzare in modo
massiccio manodopera femminile non specializzata e soggetta, quindi, ad un margine
di errore maggiore.
I 7 strumenti del controllo statistico di qualità
ESEMPIO: Una azienda farmaceutica decide di effettuare un controllo sul processo di iniezione
di un farmaco, per le cure tumorali, all’interno di appositi flaconi. L’azienda assume come tollerabili un quantitativo minimo di medicinale nei flaconi pari a 82 ml e uno massimo di 118 ml e
in fase di progetto stabilisce un quantitativo obbiettivo (target) di 95 ml. Gli operatori addetti
a tale compito hanno a disposizione le misure del contenuto dei flaconi del prodotto medicinale riportate nella tabella
I dati
Un primo approccio al problema può essere la costruzione di un istogramma.
DOMANDA: quale informazione si perde effettuando un istogramma?
Istogramma dei dati
30
25
20
15
10
5
0
80
85
90
95
100
105
110
115
120
Dall’istogramma si può subito notare come i dati seguano approssimativamente una
distribuzione normale, con una piuttosto accentuata variabilità dei dati. Rispetto al target
aziendale il processo è abbastanza centrato, ma la variabilità risulta eccessiva per cui potrebbe essere necessaria una azione correttiva sulla variabilità del processo
Normal plot dei dati dell’esempio precedente
Normal Probability Plot
0.997
0.99
0.98
0.95
0.90
Probability
0.75
0.50
0.25
0.10
0.05
0.02
0.01
0.003
80
85
90
95
100
Data
105
110
115
Un istogramma consente di valutare la precisione del processo produttivo tramite
l’analisi di dispersione della distribuzione dei dati, anche in relazione ai limiti di
tolleranza.
Dalla sovrapposizione dell’istogramma con la retta del valore obbiettivo si può
verificare il posizionamento del valore centrale dei dati rispetto al target assegnato
ESEMPIO
La carta dei 3-sigma
Se dovesse essere disponibile una valutazione teorica (storica o di progetto) della
varianza della popolazione e della media, usando il teorema delσlimite centrale
è possibile sostituire il parametro k con 3, per la varianza σ W =
e per media
n
si può usare quella della popolazione.
Esempio: parametro di flusso monitorato in una azienda con media e varianza nota
n=5
Costruire la carta di controllo della media in Matlab
1. I dati sono in numero 12*10: ci sono 12 gruppi (i giorni) e ogni gruppo ha numerosità
campionaria pari a 10. Quindi
N = 120, k = 12 sottogruppi, ciascuno di taglia ni = 10, i = 1,...,12.
2. Organizzare i dati in una matrice e calcolare la media per ogni sottogruppo.
Costruire la carta di controllo della media in Matlab
>> x
x=
94
108
105
85
93
111
109
102
99
93
97
118
97
96
103
100
92
99
115
104
92
92
101
93
95
90
108
86
84
84
>> m=mean(x);
94 106 108 95 98 111 85 109 110
100 109 92 105 111 96 110 108 97
102 93 99 97 109 95 96 103 88
93 94 92 108 99 95 91 88 96
99 101 80 98 101 106 95 103 83
98 110 85 111 109 104 97 115 93
89 103 95 91 99 95 93 105 97
96 110 92 94 99 87 114 100 102
89 110 85 93 101 84 89 113 91
86 109 99 100 100 94 91 113 109
Le medie vengono
fatte sulle colonne.
Queste medie vengono plottate sulla carta di controllo. Quindi
sulle ascisse si riportano i giorni (in sequenza).
Costruire la carta di controllo della media in Matlab
costruzione della carta di controllo
106
La linea centrale
è rappresentata dalla
media delle medie
104
102
k
1
x = ∑ mi
k i =1
100
98
96
94
92
0
2
4
6
8
10
12
98,6
Costruire la carta di controllo della media in Matlab
costruzione della carta di controllo
106
Per calcolare i limiti inferiore
e superiore:
a) Valutare l’escursione di
ogni sottogruppo
104
102
100
R j = max( xi , j ) − min( xi , j )
i
i
98
96
>> fori=1:12
r(i)=max(x(:,i))-min(x(:,i));
end
94
92
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Oppure usare range(x)
>> r
r=
26 26 24 16 17 28 20 13 27 29 27 27
Costruire la carta di controllo della media in Matlab
1 k
b) Calcolare la media delle escursioni: R = ∑ Ri
k i =1
c) Calcolare i limiti usando la seguente tabella:
>> rmed=mean(r)
rmed =
23.3333
105.78
91.41
Plot delle linee superiori ed inferiori.
costruzione della carta di controllo
110
108
106
104
102
100
98
96
94
92
90
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Sovrapponiamo le regole di zona. A questo scopo calcoliamo la varianza media su tutti i
sottogruppi:
>> s=std(x);
Il calcolo delle deviazioni standard viene fatto sulle colonne.
>> smean=mean(s);
7.51
Le linee di zona sono: x ± 7.51; x ± 2*7.51; x ± 3*7.51
costruzione della carta di controllo
125
Per le regole di zona non
c’è una function in
MATLAB.
120
115
110
105
C’è un modo per
costruire il grafico
direttamente
in MATLAB?
100
95
90
85
80
75
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
XBARPLOT X-bar chart for monitoring the mean.
XBARPLOT(DATA,CONF,SPECS,SIGMAEST) produces an xbar chart of the grouped responses
in DATA. The rows of DATA contain replicate observations taken at a given time. The rows
should be in time order.
CONF (optional) is the confidence level of the upper and lower plotted confidence
limits. CONF is 0.9973 by default. This means that 99.73% of the plotted points should
fall between the control limits if the process is in control.
SPECS (optional) is a two element vector for the lower and upper specification limits
of the response.
?
SIGMAEST (optional) specifies how XBARPLOT should estimate sigma. Possible values are
'std' (the default) to use the average within-subgroup standard deviation, 'range' to use the
average subgroup range, and 'variance' to use the square root of the pooled variance.
>> xbarplot(x,0.9973,
spec,’range’)
Xbar Chart
106
UCL
104
102
Measurements
OUTLIERS =
XBARPLOT(DATA,CONF,
SPECS,SIGMAEST)
returns a vector of indices to
the rows where the mean of
DATA is out of control.
100
CL
98
96
94
92
LCL
90
0
2
4
6
Samples
8
10
12
SIGMAEST = ?
Mentre per la media si ha
linea centrale LC = x
linea superiore LSC = x + 3
linea inferiore LIC = x − 3
σ
n
σ
n
E per la varianza?
SIGMAEST = ‘std’
1 k
σ ⇐ ∑ si dove si è la dev. campionaria di ogni sottogruppo
k i =1
2
1 n
ossia si =
x ji − x j ) ⇒ maggiori dettagli nel seguito!
(
∑
n − 1 j =1
Problema:
SIGMAEST = 'variance'
SIGMAEST = ‘range'
?
CONF (optional) is the confidence level of the upper and lower plotted confidence
limits. CONF is 0.9973 by default. This means that 99.73% of the plotted points should
fall between the control limits if the process is in control.
Questo valore è legato al coefficiente 3!
>> norminv(0.9987,0,1)
>> (1-0.9973)/2+0.9973
ans =
ans =
3.0115
0.9987
Carta di tolleranza
carta di tolleranza
120
115
110
105
100
>> hold on
>> …
>> c2=2*ones(1,10);
>> plot(c2,x(:,2),'g*-')
>> …
95
90
85
80
0
2
4
6
8
10
12
Lettura della carta di tolleranza
Attenzione a derive nella rappresentazione!
Confronto tra le due carte
Xbar Chart
120
115
Measurements
110
UCL
105
100
CL
95
LCL
90
85
80
0
2
4
6
Samples
8
10
12
La lettura della carta della media va accompagnata con la lettura della cosiddetta carta dell’
escursione. La carta dell’escursione non è disponibile in MATLAB.
Con i medesimi dati, si può calcolare anche la carta per l’escursione.
Nell’esempio la linea superiore è 41.48 e quella inferiore è 5.4367.
carta escursione
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sulla costruzione dei limiti di controllo…
10
11
12
Var [W ] =
Var [ R ]
σ2
2
σ
⇒ d32 = R2
σ
R
Se σ ⇐ σˆ =
d2
Una tabella maggiormente completa http://www.unibas.it/utenti/dinardo/tavcc.pdf
A2 corrisponde ad A
D3 corrisponde a C
D4 corrisponde a B
Come si leggono le variazioni sulle carte di controllo
Uno spostamento della media del
processo produttivo, provoca l’apparire di una anomalia sulla carta
di controllo della media: anche
quando tale variazione sarà minima
i punti della carta di controllo
reagiranno in maniera apprezzabile
Una variazione nella dispersione del processo produttivo provocherà anomalie avvertibili sia sulla carta di controllo della media che su quella della
escursione , che tenderanno a distanziarsi tra di loro.
Carte MR (moving range)
Sostituisce la R chart
Curva caratteristica operativa
Diremo che il processo è in controllo statistico se per ogni
t , indice dei sottogruppi, xt ∈ ( LimInf , LimSup ).
Regione di accettazione
Test di Ipotesi ®
 H 0 : µ = µ0
⇒
 H1 : µ ≠ µ 0
= funzione dei dati
?
E' possibile accettare l'ipotesi nulla H 0
A 2 code
REGIONE
CRITICA
REGIONE DI
ACCETTAZIONE
REGIONE
CRITICA
A 1 coda
REGIONE DI
ACCETTAZIONE
REGIONE
CRITICA
Test di ipotesi ®
α = P ( si rigetta H 0 - a posteriori - quando H 0 è vera - a priori )
ERRORE DI I TIPO
α ← livello di significatività del test
1 − α = P ( si accetta H 0 - a posteriori - quando H 0 è vera - a priori )
Le regione di accettazione e …
µ = µ0
µ0
Si rigetta l’ipotesi nulla…
µ0
Statistica osservata
Non si rigetta l’ipotesi nulla…
µ0
Statistica osservata
Test di ipotesi ®
REGIONE DI
ACCETTAZIONE
α ← livello di significatività del test
?
?
P ( STATISTICA ∈ regione di accettazione ) = 1 − α
α = 0.10, 0.05, 0.01
Test di ipotesi ®
β = P ( si rigetta H1 - a posteriori - quando H1 è vera - a priori )
ERRORE DI II TIPO
1 − β ← potenza del test
1 − β = P ( si accetta H1 - a posteriori - quando H1 è vera - a priori )
1 − β = P ( si rigetta H 0 - a posteriori - quando H 0 è falsa - a priori )
DEVE ESSERE ALTA
L’errore di II tipo
µ = µ0
µ = µ1
µ0
Statistica osservata
µ1
La potenza del test
µ = µ0
µ = µ1
µ0
µ1
Statistica osservata
Curva caratteristica operativa
Diremo che il processo è in controllo statistico se per ogni
t , indice dei sottogruppi, xt ∈ ( LimInf , LimSup ).
Regione di accettazione
α = P(rigettare H 0 | µ = µ0 ) = P( xt ∉ ( LCL,UCL) | µ = µ0 )
β = P(rigettare H1 | µ ≠ µ0 ) = P( xt ∈ ( LCL,UCL) | µ ≠ µ0 )
FALSO ALLARME
MANCATO ALLARME
Non avendo ipotesi alternative certe, immaginiamo che
µ = µ1 = µ0 + kσ
Se la popolazione è gaussiana, allora
β = P( xt ∈ ( LCL, UCL) | µ = µ0 + kσ )
 UCL − ( µ0 + kσ ) 
 LCL − ( µ0 + kσ ) 
= Φ
−Φ

σ/ n
σ/ n




Il plot dei valori assunti da questo parametro per un opportuno valore
di k, si chiama curva caratteristica operativa.
Se UCL = µ0 + L
(
σ
n
e LCL = µ0 − L
) (
σ
n
, allora
β = Φ L − k n − Φ −L − k n
)
e quindi perdiamo la dipendenza sia dalla deviazione standard che dalla media
(che magari sono incognite!).
Per usare le curve operative è necessario avere qualche informazione in più sulla natura
del processo (ad esempio che la popolazione è gaussiana).
Torniamo al nostro esempio dei flaconi. Siccome i limiti che abbiamo usato sono di tipo
µ0 ± L
σ
n
dove L = 3, n = 10 e σ ≈ R / d 2 allora si ha
(
) (
β = Φ 3 − k 10 − Φ −3 − k 10
)
Curva operativa
>> k=[0.1:0.2:3];
>> z=normcdf(3-k.*sqrt(10))normcdf(-3-k.*sqrt(10));
>> plot(k,z)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
Per k=1, vale circa 0.3 la probabilità di un mancato allarme.
0.5
0.4
0.3
Per valori di k inferiori, aumenta
la probabilità di un mancato
allarme.
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Spesso sui testi si incontrano famiglie di curve operative. Questo perché si cerca di capire
al variare della taglia del sottogruppo come varia la probabilità di un mancato allarme.
(
) (
β = Φ 3 − k n − Φ −3 − k n
)
Curve operative al variare di n
1
n=8
n=5
n=12
0.9
Ogni plot corrisponde
ad un valore di n.
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Altro uso della curva operativa
Nella progettazione delle carte di controllo è necessario specificare sia la dimensione del
campione che la frequenza di campionamento.
• Più grande è il campione più è sensibile il rilevamento di una variazione all’interno del
processo.
• La pratica corrente tende a diminuire la dimensione del campione e ad aumentare la
frequenza di campionamento.
Si fissa β , e si cerca quel valore di zβ tale che Φ ( zβ ) − Φ ( − zβ ) = β
ossia, ricordando le proprietà della gaussiana...
2Φ ( zβ ) − 1 = β
Per k=1
β = 0.3
 β +1
⇒ zβ = Φ 

2


−1
⇒ zβ = 3 − k n
⇒ è possibile ricavare n
>> ((3-norminv((0.3+1)/2,0,1)))^2
n=6
Strategia di scelta dei sottogruppi
…ma sono costosi!
La pratica industriale corrente preferisce la prima strategia – aumentando la
frequenza
Approcci per la costruzione dei sottogruppi
Approccio SNAPSHOT
Quanti k?
Approccio RANDOM
ARL (average long run)
Sia T la variabile aleatoria che indica il numero di sottogruppi da
estrarre prima di avere un punto fuori i limiti della carta di controllo.
T ha legge...
...geometrica, P(T = k ) = p(1 − p)k −1 , k = 1, 2,...
1
E [T ] = ARL, tempo medio per avere un fuori controllo
p
Quanto vale p? Nella carta 3-sigma, la probabilità che il processo sia in controllo
statistico è data dalla legge dei 3-sigma, ossia
>> normcdf(3,0,1)-normcdf(-3,0,1)
ans =
Quindi la probabilità che il processo vada fuori
controllo è
>> 1-0.9973
0.9973
ans =
E [T ] = 370
0.0027
Negli ultimi anni, l’uso di questo parametro è stato oggetto di critiche:
a) Deviazione standard
q
D [T ] =
=370 la deviazione standard è molto ampia
p
b) La distribuzione geometrica è molto asimmetrica
-3
2.8
Pdf geometrica con p=0.0027
x 10
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Se α è la probabilità di avere un falso segnale di fuori controllo e se indichiamo
con Tr la v.a. che indica il numero di campioni da estrarre prima di avere r falsi
allarmi, essa ha legge... ...di Pascal
 k − 1 r
k −r
P (Tr = k ) = 
 α (1 − α )
 r −1
Il ricorso al range per la stima della deviazione standard fornisce una stima sufficientemente precisa, solo per piccole numerosità campionarie inferiori a 5.
Se la dimensione campionaria è abbastanza grande (>10,12) l’uso del range R è poco
efficiente per la stima della varianza.
…e qui abbiamo un altro problema!!
Vale che E  S 2  = σ 2 e invece E [ S ] ≠ σ .
Quindi σ non può essere valutato con S .
S chart
Se X ≈ N ( µ , σ 2 ) ⇒ E [ S ] = σ c4 dove c4 è un parametro che dipende da n
n 
− 1 !

2
 2  e  n  ! =  n   n − 1  n − 2 ⋯  1  π
c4 =
   

  
n −1  n −1 
2   2  2  2


2
1
!
−


2


Intanto cambiano i limiti di controllo della carta della media
µ ±3
X
σ
n
S
σ≈
c4
1 k
dove S = ∑ Si
k i =1
SIGMAEST (optional) specifies how XBARPLOT should estimate sigma. Possible values are
'std' (the default) to use the average within-subgroup standard deviation, 'range' to use the
average subgroup range, and 'variance' to use the square root of the pooled variance.
>> schart(x)
...e al posto di E [ S ] si usa S
S Chart
14
UCL
Standard Deviation
12
10
CL
8
6
4
LCL
2
1
2
3
4
5
6
Sample Number
7
8
9
10
Invece i limiti di controllo della carta della deviazione standard
E [ S ] ∓ 3D [ S ]
S
D[S ] = σ 1− c ≈
1 − c42
c4
2
4
>> schart(x)
S Chart
14
UCL
Standard Deviation
12
10
CL
8
6
4
LCL
2
1
2
3
4
5
6
Sample Number
7
8
9
10
Riepilogando >> xbarplot(x,0.9973,spec,‘range')
Xbar Chart
106
UCL
104
Measurements
102
100
CL
98
96
94
92
90
LCL
0
2
4
6
Samples
8
10
12
Questa è la carta per la media con i limiti di controllo che dipendono dal range
R
σ←
per stimare σ (la variabilità del processo)
d2
>> xbarplot(x',0.9973,spec,'std')
Xbar Chart
106
UCL
104
Measurements
102
100
CL
98
96
94
92
LCL
90
0
2
4
6
Samples
8
10
12
Questa è la carta per la media con i limiti di controllo che dipendono dalla deviazione
standard.
S
σ≈
per stimare la variabilità del processo
c4
>> xbarplot(x',0.9973,spec,'variance’)')
Xbar Chart
UCL
104
102
Measurements
Questa è la carta per la
media con i limiti di controllo che dipendono
dalla pooled variance
che sostituisce direttamente la deviazione standard.
106
100
CL
98
96
94
92
LCL
90
0
2
4
6
Samples
8
10
12
ESERCIZIO
Una azienda che produce semiconduttori vuole monitorare il processo di produzione,
controllando la larghezza di flusso delle resistenze.
Sono stati raccolti 25 sottogruppi di misurazione, ciascuno di dimensione 5, uno ogni
ora (file dati2.m).
Costruire le carte di controllo. Cosa e’ possibile dire circa le probabilità di falso
allarme e di mancato allarme? Quanto vale il parametro ALR?
Commentare opportunamente i risultati ottenuti
Siccome i sottogruppi sono di taglia n=5, per l’escursione possiamo usare la R-chart.
xbarplot(wafers,0.9973,spec,'range')
L’output è
Xbar Chart
1.75
1.7
UCL
1.65
Measurements
1.6
USL
1.55
CL
1.5
1.45
1.4
LSL
1.35
LCL
1.3
0
5
10
15
20
25
Samples
I valori dei limiti sono UCL =
1.6932 e LCL = 1.3180.
Possiamo anche costruire le regole di zona, scegliendo come stimatore per la deviazione
standard R-bar/d_2. In questo caso le linee A, sono quelle corrispondenti ai limiti di controllo.
Siccome
>> normcdf(2,0,1)-normcdf(-2,0,1)
>> xbarplot(wafers,0.9545,spec,range’)
ans =
0.9545
Xbar Chart
1.75
1.7
UCL
1.65
UCL
Measurements
1.6
1.55
CL
1.5
1.45
1.4
LCL
1.35
LCL
1.3
0
5
10
15
Samples
20
25
Siccome
>> normcdf(1,0,1)-normcdf(-1,0,1)
>> xbarplot(wafers,0.6827,spec,’range’)
ans =
0.6827
Vengono segnalati i sottogruppi che escono dai limiti
Xbar Chart
1.75
1.7
UCL
A
1.65
UCL
B
Measurements
1.6
7
19
24 UCL
1.55
1.5
CL
1.45
LCL
1.4
B
15
13
LCL
1.35
LCL
1.3
0
5
10
15
Samples
C
C
20
25
A
Per costruire la R-chart, calcoliamo il range della matrice wafers.
>> range(wafers')
Poi calcoliamo la media di questo vettore, che restituisce la linea centrale.
>> mean(range(wafers'))
Calcoliamo i limiti B e C dalla tabella:
Ossia B=2.114
C=0
La stima della variabilità
del processo di produzione
risulta 0.3252/2.326=0.1398
>> k=[1:1:25];
>> rbar=0.3252*ones(1,25);
>> upperbar=2.114*ones(1,25);
>> lowerbar=zeros(1,25);
>> plot(k,range(wafers'),'b*-',k,rbar,'r-',k,lowerbar,'r-',k,upperbar,'r-')
>> title('R chart')
R chart
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
α = P( xt ∉ ( LCL, UCL) | µ = µ0 ) = 0.0027
Per la probabilità di mancato allarme possiamo costruire la curva operativa caratteristica
(
) (
β = Φ 3 − k 5 − Φ −3 − k 5
)
curva operativa
>> k=[-3.:0.1::3];
>> z=normcdf(3-k.*sqrt(5))normcdf(-3-k.*sqrt(15);
>> plot(k,z)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Ora poniamoci
un altro tipo di problema
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Supponiamo che i limiti di
specifica stabiliti in fase
di progettazione siano
1.5+/-0.5.
La carta di controllo può essere utilizzata per descrivere la capacità del processo di
produrre wafers all’interno dei parametri specificati.
In che modo?
Basta calcolare P( X < 1.00) + P ( X > 2.00) ipotizzando che...
X ≈ N (1.5056, 0.1398) che sono le stime trovate con la carta di controllo
per µ e σ .
>> inf=(1-1.5056)/0.1398;
>> sup=(2-1.5056)/0.1398;
>> normcdf(inf,0,1)+1-normcdf(sup,0,1)
ans =
3.5200e-004
Ossia circa lo 0.035 per cento (350 parti per millione) di wafers prodotti cadranno al di
fuori delle specifiche, stante la produzione osservata e monitorata dalla carta di controllo.
Più in generale indichiamo con
 TU − x 
T − x 
+
1
−
Φ
pe = P ( X < TL ) + P ( X > TU ) = Φ  L
 σˆ 

 σˆ 


Il valore minimo pe lo si ha quando la media coincide con il centro dell'intervallo di
tolleranza me =
3.64
TU + TL
.
2
-4
x 10Capacità produttiva del processo al variare della media campionaria
3.62
Il valore effettivo di non
conformi deve essere tale
3.6
3.58
che pe < pT dove pT è il
3.56
livello di difettosità
tollerabile
3.54
3.52
3.5
3.48
1.49
1.495
1.5
1.505
1.51
e questo valore minimo vale pmin
1.515
 TL − TU 
= 2Φ 

ˆ
2
σ


INDICE DI CAPACITA’ DEL PROCESSO
Altro modo per misurare l’indice di capacità del processo è il cosidetto PCR (process
capability ratio) :
TU − TL
Cp =
6σ
Si noti che 6σ è la definizione di base della capacità del processo.
In genere la deviazione standard non si conosce e quindi va stimata dai dati
Andamento indice PCR
Se il processo non è centrato, avere PCR>1 non
garantisce che il processo produca la quasi totalità dei prodotti entro i limiti di specifica (è capace di farlo, ma non è detto che lo faccia)
Ci vuole un indice che tenga conto della centratura.
C pk
 TU − µ µ − TL 
= min 
,

3σ 
 3σ
Relazioni tra i due indici
Un impiegato esce di casa tutti i giorni alle 8.00 e deve entrare al lavoro alle 8.30. Per
raggiungere l’ufficio in auto ha due possibilità: attraversare la città, o seguire un percorso
di campagna, più lungo ma meno trafficato. Per decidere quale sia il percorso più conveniente, misura il tempo di percorrenza più volte su entrambi i percorsi e trova che
attraversando la città impiega mediamente 25 minuti, mentre per il percorso in campagna occorrono in media 28 minuti. Quale percorso gli conviene seguire?
Vecchia risposta: l’uomo dovrebbe scegliere il percorso cittadino, che in media è più veloce
Risposta Sei Sigma: la media non è un
indicatore significativo per questo studio.
Infatti l’impiegato è penalizzato quando
arriva in ritardo, ma non ha alcun beneficio quando arriva in anticipo. L’uomo definirebbe come difettosi i percorsi che
richiedono più di 30 minuti di viaggio.
Quindi si deve analizzare l’intera distribuzione dei dati nei due casi, riportata
in figura. Come si vede, il percorso cittadino presenta una forte variabilità dei dati, perché
è molto influenzato (oltre che poco prevedibilmente) dal traffico; il percorso di campagna
invece richiede un tempo praticamente costante. Visto l’alto numero di difetti nel caso
del percorso cittadino, è evidente che quello di campagna è decisamente preferibile
dal punto di vista dell’impiegato.
Il six-sigma program della Motorola – anni ‘80
Obbiettivi:
USL − LSL > 12σ
min {USL − µ , µ − LSL} > 4.5σ
Cp > 2
e
C pk > 1.5
E se la popolazione non è gaussiana?
6
π
2
= 7.52
Il denominatore diventa 6σ
nel caso gaussiano.
Quantili
e nel caso gaussiano
0.00135 = P ( Z ≤ −3) , 0.99865 = P ( Z ≤ 3)
Intervalli di confidenza per il parametro PCR
USL − LSL
6S
χ12−α /2,n −1
n −1
USL − LSL
≤ Cp ≤
6S
χα2 /2,n −1
n −1
In Matlab
>> spec=[1.45 1.70];
>> [p,Cp,Cpk]=capable(mean(wafers),spec)
p = 0.0746
Cp = 1.0809
Cpk = 0.4809
Cp > 1, quindi il processo è capace (ossia rientra nei limiti specificati)
Cpk<1, il processo non è centrato rispetto
Cosa descrive p?
>> p=1-diff(normcdf(spec,mean(mean(wafers)),std(mean(wafers))))
>> diff(spec)/(6*std(mean(wafers)))*sqrt(chi2inv(0.975,25-1)/24)
ans=1.3842
>> diff(spec)/(6*std(mean(wafers)))*sqrt(chi2inv(0.025,25-1)/24)
ans = 0.7770
Attenzione
alla stima di
S
Cosa succede se le dimensioni dei sottocampioni non sono uguali?
• strategia di campionamento
• dati mancanti
Quando i k sottogruppi hanno numerosità diverse, vengono usate la
carta della media e la S-chart, con limiti che dipendono dalla taglia.
k
k
∑n x
∑ (n − 1)S
i i
Per le linee centrali si ha: x =
i =1
k
∑n
i
i =1
i
e S=
i
i =1
k
∑ (n − 1)
i
i =1
Per i limiti 3-sigma si ha che B e C dipendono da ni , così come D  S 
Classificazione carte di controllo
• Carte di controllo per variabili
Se la caratteristica del prodotto è rappresentabile su una scala continua di valori essa è detta
variabile. Si usano misure di centralità e
variabilità.
• Carte di controllo per attributi
L’unità prodotta viene valutata conforme in base
al numero dei difetti o in presenza di certi
attributi.
Carta p
• Si basa sulla percentuale di pezzi non conformi
nel sottogruppo monitorato.
• La numerosità campionaria dei sottogruppi
può essere non costante.
• La numerosità campionaria deve essere
elevata. Perché?
• La v.a. binomiale (e di Bernoulli) gioca un
ruolo fondamentale.
D
La percentuale di pezzi non conformi è data da pˆ = , dove D ha legge...
n
...binomiale di parametri n e p.
I limiti di controllo sono:
p(1 − p)
p±3
(se np > 5,n(1- p) > 5 D è approx. gaussiana)
n
Se p non è nota, si può sostituire con una stima p
Di num.pezzi non conformi
1 k
p = ∑ pi dove pi =
=
k i =1
n
n
Esempio: Un concentrato di succo d'arancia è congelato e imballato in lattine di cartone da 180ml. Queste lattine sono costruite usando una macchina che avvolge il
cartone e poi lo appoggia su un pannello inferiore in metallo. Ispezionando una lattina, possiamo stabilire se, quando è piena, si può avere una perdita del succo dalla
cucitura laterale o dal pannello inferiore. Tale non conformità può comportare un
sigillo improprio sulla guarnizione laterale oppure sul pannello inferiore.
Vogliamo costruire una carta di controllo per migliorare la percentuale di lattine non
conformi prodotte dalla macchina.
A questo scopo vengono selezionati 30 campioni di n = 50 lattine ciascuno, ogni
mezz’ora su 3 periodi della giornata in cui la macchina è sempre in funzione.
>> d
d=
Columns 1 through 17
12 15
8 10
4
7 16
9 14 10
5
6 17 12 22
Columns 18 through 30
5 13 11 20 18 24 15
9 12
7 13
9
6
8 10
I valori da plottare sulla carta sono le percentuali di non conformità
>> p=d/50
p=
Columns 1 through 10
0.2400 0.3000 0.1600 0.2000 0.0800 0.1400 0.3200 0.1800 0.2800 0.2000
Columns 11 through 20
0.1000 0.1200 0.3400 0.2400 0.4400 0.1600 0.2000 0.1000 0.2600 0.2200
Columns 21 through 30
0.4000 0.3600 0.4800 0.3000 0.1800 0.2400 0.1400 0.2600 0.1800 0.1200
I limiti sono
>> mean(p)+3*sqrt(mean(p)*(1-mean(p))/50)
ans =
0.4102
>> mean(p)-3*sqrt(mean(p)*(1-mean(p))/50)
ans =
0.0524
>> cent=mean(p)*ones(1,30);
>> upp=(mean(p)+3*sqrt(mean(p)*(1-mean(p))/50))*ones(1,30);
>> low=(mean(p)-3*sqrt(mean(p)*(1-mean(p))/50))*ones(1,30);
>> plot(k,p,'b*-',k,low,'r-',k,upp,'r-',k,cent,'g-')
P chart
Nuovo
operatore
0.5
0.45
0.4
Nuova
partita di
cartone
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
5
10
15
20
25
30
Il campione 15 e 23 sono fuori controllo statistico: questi vanno monitorati.
Ricalcoliamo la carta eliminando questi campioni.
>> d1(1:14)=d(1:14)
>> d1(15:21)=d(16:22)
>> d1(22:28)=d(24:30)
E ripetiamo tutta la procedura
Sottogruppo 20
(no. 21 nel vecchio
campione)
P chart
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Questa è la carta senza aver eliminato il sottogruppo 15 e 23.
P chart
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Se non si ritiene significativa la causa che ha portato al fuori controllo statistico nel
sottogruppo 21, allora per future ispezioni si mantengono questi come limiti della
carta di controllo.
Supponiamo che siano stati campionati altri 23 sottogruppi: per monitorare il processo usiamo
i limiti di controllo che sono stati calcolati prima.
>> cent2=
mean(p1)*ones(1,24);
>> low2=
low1(1)*ones(1,24);
>> upp2=
upp1(1)*ones(1,24);
>> plot(k2,p2,'b*-',
k2,low2,'r-',k2,upp2,'r-',
k2,cent2,'g-')
P chart
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
Il processo è in controllo
statistico.
0.05
0
30
35
40
45
50
55
Ma…
…se mettiamo tutti i dati assieme…
P chart
0.5
0.45
0.4
0.35
Cambiamento
della macchina
per imballaggio?
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
10
20
30
40
50
60
Possiamo dire con maggiore precisione se le percentuali di non conformità sono effettivamente diverse?
H 0 : p1 = p2
La statistica test risulta:
H1 : p1 > p2
Z=
p1 − p2
1 1
p (1 − p )  + 
 n1 n2 
dove p =
n1 p1 + n2 p2
n1 + n2
La regione critica è :Z > z0.05 = 1.645
p1 ← 0.2150 (senza sottogruppi 15 e 23)
p2 ← 0.1108
n1 = ?, n2 = ?
1 28
1 28 Di 301
p1 = ∑ pi = ∑ =
28 i =1
28 i =1 50 1400
1 54
1 54 Di 133
p2 =
pi = ∑
=
∑
24 i =31
24 i =31 50 1200
...e facendo i conti si ha p = 0.1669 e Z = 7.10
Pertanto si rigetta l'ipotesi nulla...
Visto che c’è stato un miglioramento nella produzione, si ricalcolano anche i limiti di controllo
New P-chart
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
10
20
30
40
50
60
Il limite inferiore è negativo: -0.0224!! Quindi bisogna prendere il limite inferiore pari a 0.
New P-chart
* Se p è piccolo, n va scelto
grande!! Ad esempio per
p=0.01, abbiamo n=500!!
* Siccome lo shift da p
vale δ =3
(1 − p ) p ⇒
n
0.5
0.4
0.3
0.2
2
3
n =   (1 − p ) p
δ 
0.1
δ = 0.04, p = 0.01 ⇒ n = 56
* p −3
0
(1 − p ) p > 0 ⇒ n > 9(1 − p)
n
p
5
10
15
20
25
30
35
40
45
p = 0.05 ⇒ n = 171
50
Carta np
Si lavora non con la percentuale dei pezzi non conformi, ma con il numero di pezzi non
conformi.
La percentuale di pezzi non conformi è data da pˆ =
D
, dove D ha legge...
n
...binomiale di parametri n e p.
Si lavora con D ≈ N (np, np (1- p))
I limiti della carta di controllo sono dunque: np ± 3 np (1 − p )
p viene sostituito con p
Tornando all’esempio di prima…
Np chart
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
⊗ Se le taglie dei sottogruppi sono diverse, una tecnica molto diffusa consiste nel
1 k
sostituire a n la media campionaria delle taglie n = ∑ ni
k i =1
β = P( pi ∈ ( LCL, UCL) | p = p1 )
Usando la cdf binomiale
= P( Di ∈ (nLCL, nUCL) | p = p1 )
β = P( Di ∈ (2.62, 20.51) | p = p1 )
Curva caratteristica per P-chart
1
>> p=[0.01:0.02:1];
>> app=binocdf(20.5120,50,p)binocdf(2.6214,50,p);
>> plot(p,app)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Con gli stessi ragionamenti
si possono calcolare gli
altri parametri che abbiamo
incontrato nelle precedenti
lezioni.
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Carta c
• Misura il numero di difetti in un lotto
controllato.
• Il campionamento deve essere costante.
• E’ utile quando vi è da controllare un
materiale con un flusso di produzione
continuo (rullo di tessuto o un cavo elettrico).
• La non conformità è da esprimersi per unità
da definire (difetti al m^2, etc.)
• Il lotto è inscindibile.
La v.a. che conta il numero di difetti per unità di misura è ....
...una v.a. di Poisson
I limiti della carta di controllo sono c ± 3 c dove c è la costante di Poisson.
In mancanza di un valore teorico per c si utilizza la media campionaria.
Esercizio: Si riporta il numero di non-conformità osservato in 26 campioni prodotti in
una successione di 100 circuiti stampati (100 circuiti stampati = 1 lotto).
C chart
>> c=[21,24,16,12,15,5,28,20,31,
25,20,24,16, 19,10,17,13,22,18,
39,30,24,16,19,17,15];
>> central=mean(c) = 19.67;
>> upp=central+3*sqrt(central)=32.97;
>> low=central-3*sqrt(central)=6.36;
40
35
30
25
20
Esercizio: eliminare il campione 20 e
6 e rifare la carta di controllo.
15
10
5
0
5
10
15
20
25
30
Nell’esempio precedente, è stato preso in considerazione un solo lotto. Tuttavia questo
tipo di scelta non è statisticamente significativa. Sarebbe meglio ispezionare più lotti,
perché c’è maggiore possibilità di incontrare non conformità.
Ad esempio potremmo essere interessati ad ispezionare 2 lotti e mezzo, ossia 250 circuiti.
Carta U
Si calcola il numero di non conformità totale e lo si rapporta al numero di lotti esaminati.
Siccome x rappresenta il num.
di pezzi non conformi totali,
è una v.a. di Poisson, di cui x / n
rappresenta la media campionaria.
x
u=
n
u =u ∓3
u
n
1 rotolo=50 m^2 di tessuto – La tabella riporta il num di difetti.
Num.
Num. m^2
Num.dif.
Num. Di
rotoli ispez.
1
500
14
10.0=500/50
2
400
12
8.0=400/50
3
650
20
13.0
4
500
11
10.0
5
475
7
9.5
6
500
10
10.0
7
600
21
12.0
8
525
16
10.5
9
600
19
12.0
10
625
23
12.5
153
107.50
Totale
u=
153
107.5
u
u ±3
107.5
Limiti carte Shewhart
Caratteristica principale delle carte di Shewhart è che nel
metodo di calcolo del valore della statistica da inserire nella
carta di controllo, esse fanno uso unicamente
dell’informazione sul processo contenute nel solo ultimo
istante di osservazione, ignorando tutti quelli precedenti.
Ciò rende la carta di Shewart relativamente insensibile alle
piccole variazioni del livello del processo (di ampiezza in
genere non superiore a 1.5 volte la deviazione standard)
Carte CUMSUM (cumulative sum) = somme cumulate
Carte EWMA (Exponential Weighted Moving Average) = medie mobili pesate esponenzialmente.
Queste due carte funzionano bene nei confronti di piccoli salti di livello mentre non reagiscono così velocemente come la carta di Shewarth per salti di livello elevato. Può quindi
risultare utile combinare l’uso della carta di Shewart con questi due tipi di carta.
Esempio: i dati che andiamo ad
esaminare sono stati costruiti al
seguente modo. I primi 20 sono
stati selezionati da una popolazione gaussiana di media 10 e
deviazione standard 1. I rimanenti
10 sono stati selezionati da una
popolazione gaussiana di media
11 e di deviazione standard 1.
Questi ultimi si possono
pensare come selezionati da un
processo che è andato fuori
controllo statistico.
Shewart chart
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
10
La carta della media non segnala subito la variazione!
15
20
25
30
Nella carta CUMSUM si effettua il grafico di
i
Si = ∑ ( x j − µ0 ) = ( xi − µ0 ) + Si −1
j =1
carta cumsum
>> s(1)=x(1)-10;
>> for i=2:30
s(i)=s(i-1)+(x(i)-10)
end
10
8
6
4
Quali sono i limiti
di controllo?
2
0
-2
-4
0
5
10
15
20
25
30
Exponential chart
• Serve a monitorare un processo che media i
dati in modo che a questa media viene dato
sempre meno peso, mano mano che il tempo
passa
• Viene valutata su tutto il processo e non sui
sottogruppi razionali
• Più sensibile ai drift nel tempo
• Robusta nel caso non normale
zi = λ xi + (1 − λ ) zi −1
Per λ =1, si riottiene la carta X -bar.
λ ∈ (0,1) ⇒ Peso alle medie dei sottogruppi tra 0 e 1.
Il valore iniziale è µ0 .
Se non si conosce µ0 , al suo posto si può usare x .
Sostituendo ricorsivamente i valori zi in zi = λ xi + (1 − λ ) zi −1
i −1
si ottiene zi = λ ∑ (1 − λ ) xi − j + (1 − λ )i z0
j =0
j −1
Applichiamoli all’esempio
Precedente.
>>ewmaplot(x’)
Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) Chart
11.5
11
EWMA
10.5
CL
10
9.5
9
0
5
10
15
Sample Number
20
25
30
Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) Chart
12
11.5
EWMA
11
10.5
CL
10
9.5
9
8.5
0
5
10
15
Sample Number
20
25
30
Ci restano da esaminare solo i diagrammi di correlazione!
Teorema : Se X e Y sono indipendenti, E[ XY ] = E[ X ]E[Y ]
Cosa si può dire sul viceversa?
Def : Si definisce
covarianza di X e Y , la quantità
cov(X, Y) = E [( X − µ
X
)( Y − µ Y )]
cov( X , Y ) = E[ XY ] − µ X µY
Teorema : Se X e Y sono indipendenti, Cov( X , Y ) = 0.
Il viceversa non vale.
X
p( x)
−1
1
3
0
1
3
1
2
⇒
Y
=
X
1
3
Teorema : Var ( X ± Y ) = Var ( X ) + Var (Y ) ± 2 cov( X , Y )
Definizion e
La correlazio ne tra le variabili aleatorie X e Y è la quantità :
ρ=
cov( X , Y )
Var ( X )Var (Y )
=
σ XY
σ Xσ Y
Se la covarianza tra due variabili aleatorie è positiva, negativa o nulla, anche la
correlazione sarà positiva, negativa o nulla.
Teorema
La correlazione tra le variabili aleatorie X e Y gode della seguente proprietà :
-1≤ ρ ≤ 1
Teorema : Se ρ = ±1 ⇒ P(Y = aX ± b) = 1
La covarianza è una misura della relazione lineare tra due variabili aleatorie.
(A) Covarianza positiva
(B) Covarianza negativa
Teorema
Due variabili aleatorie X e Y indipendenti
sono incorrelate.
(C) Covarianza nulla
(D) Covarianza nulla
Il viceversa non vale a meno
che X e Y non siano congiuntamente normali.
Gaussiana (congiunta) bidimensionale
Esempio : La funzione densità di probabilità di una normale bivariata è :

 ( x − µ X )2 2 ρ ( x − µ X )( y − µ Y ) ( y − µ Y )2  
1

f XY ( x, y ) =
exp −
−
+


2
2
2
 2(1 − ρ )

σ XσY
σY
2πσ X σ Y 1 − ρ 2
 σX


for ( x, y ) ∈ R 2 , ( µ X , µ Y ) ∈ R 2 , con parametri σ X > 0, σ Y > 0 e ρ ∈ (-1,1).
1
µ X = E[X ]
µY = E [Y ]
σ X2 = Var[X ]
σ Y2 = Var[Y ]
ρ ∈ (−1,1)
Contour plots
σ X = 1, σ Y = 1, µ X = 0, µ Y = 0, ρ = 0
σ X = 1, σ Y = 1, µ X = 0, µ Y = 0, ρ = 0.9
σ X = 1, σ Y = 1, µ X = 0, µ Y = 0, ρ = 0
Consideriamo 10 coppie di dati che mettono in relazione la percentuale di riuscita di un certo
esperimento in laboratorio con la temperatura alla quale l’esperimento è condotto.
>> x=[100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190];
>> y=[45, 52, 54, 63, 62, 68, 75, 76, 92, 88];
>> r=corrcoef(x,y)
r=
1.0000 0.9772
0.9772 1.0000
>>polytool(x,y)
Scatter diagram –
Diagramma di dispersione
Retta in verde…
È la retta di regressione dei minimi quadrati…Per conoscere i coefficienti
>> beta
beta =
0.4964 -4.4727
>> betaci
betaci =
0.4085 -17.4655
0.5843 8.5201
>> residuals
residuals =
-0.1636
1.8727
-1.0909
2.9455
-3.0182
-1.9818
0.0545
-3.9091
7.1273
-1.8364
Adeguatezza del Modello – ANALISI DEI RESIDUI
>> [H,P,KSSTAT,CV] =
KSTEST(residuals/standard)
Normal Probability Plot
0.95
0.90
H=
0
P=
0.8054
Probability
0.75
0.50
KSSTAT = 0.1933
0.25
0.10
0.05
CV = 0.4093
-4
-2
0
2
Data
4
6
>>