A.A. 2013/2014 Corso di studio Triennale in Matematica Algebra 1

A.A. 2013/2014
Corso di studio Triennale in Matematica
Algebra 1
Codice SCC0050
Valerio Monti
CFU
SSD
Lezioni
Esercitazioni
Laboratorio
(ore)
(ore)
(ore)
8
MAT/
02
48
24
-
[inserire voce: es. attività
di campo; seminari;
uscite;…]
(ore)
Anno
1
Lingua
Italiano
Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi
Conoscenza delle strutture base dell'algebra e delle proprietà astratte delle operazioni.
Prerequisiti
Normali conoscenze di matematica della scuola superiore
Contenuti e programma del corso
Insiemi. Richiami. Corrispondenze. Applicazioni tra insiemi. Composizione di
applicazione. Associatività. Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Inversa
di un'applicazione biiettiva. Relazioni in un insieme. Relazione di equivalenza.
Relazione d'ordine parziale e totale.
Numeri Interi. Proprietà delle operazioni negli interi. Ordinamento negli
interi. Principio di induzione. Divisione tra numeri interi. Massimo comun
divisore. Identità di Bezout. Caratterizzazione dei primi. Algoritmo Euclideo.
Fattorizzazione in primi. Esistenza di infiniti numeri primi. Congruenze modulo
un intero. Classi di resto e operazioni. L'anello delle classi di resto. Legge di
cancellazione e elementi invertibili modulo n. Congruenze con incognite.
Teorema cinese del resto. Funzione di Eulero.
Gruppi. Operazioni binarie. Monoidi. Gruppi. Monoidi e gruppi commutativi.
Classi di resto. Trasformazioni del piano. Gruppo trirettangolo. Gruppo
diedrale. Leggi di cancellazione. Tavole moltiplicative.
Sottogruppi. Criteri per sottogruppi. Intersezione di sottogruppi. Sottogruppo
generato da sottoinsieme. Elementi del sottogruppo generato da un insieme.
Azioni di un gruppo su un insieme. Azione banale. Azioni transitive. Orbite.
Coniugio. Laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Laterali destri e
sinistri. Indice di un sottogruppo. Stabilizzatori e orbite di elementi.
Centralizzanti. Centro di gruppi di ordine potenza di p. Classificazione dei
gruppi di ordine un quadrato di una potenza di un primo.
Gruppo simmetrico. Cicli nel gruppo simmetrico. Cicli disgiunti. Coniugati nel
gruppo simmetrico. Scambi nel gruppo di permutazioni. Parità di una
permutazione. Teorema di Cayley. Gruppo alterno. Numero degli elementi di
dato ordine in un gruppo ciclico.
Potenze di un elemento in un gruppo e in un monoide. Gruppi ciclici. Ordine di
un elemento. Sottogruppi di un gruppo ciclico.
Reciproca posizione dei
sottogruppi di un gruppo ciclico.
Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Quoziente sul centro.
Omomorfismi tra monoidi e gruppi. Nucleo e immagine di un omomorfismo.
Teoremi di isomorfismo. Omomorfismi da gruppi ciclici. Endomorfismi di gruppi
ciclici. Immagini dirette e inverse di sottogruppi e sottogruppi normali.
Prodotto di sottogruppi. Prodotto di sottogruppi normali. Prodotto diretto
interno ed esterno di gruppi. Prodotto diretto di gruppi ciclici.
Tipologia delle attività didattiche
Lezioni frontali ed esercitazioni
Testi e materiale didattico
Testo consigliato: P.M. Cohn, Classic Algebra, Wiley.
Esercizi corretti, temi d'esame e complementi di teoria liberamente scaricabili dal sito
del corso.
Modalità di verifica dell’apprendimento
Prova scritta e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore ed è solitamente composta da 3 o 4 esercizi
divisi in sottoquesiti. Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in
trentesimi che non costituisce voto finale. Per poter accedere alla prova orale è
richiesto un punteggio minimo di 14/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio: il superamento dell'esame e il voto finale
(espresso in trentesimi) dipende dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello
scritto.
Orario di ricevimento
Il ricevimento avviene su appuntamento.
Calendario delle attività didattiche
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Appelli d'esame
Collegamento ipertestuale alla bacheca appelli