Piano inclinato con attrito
y
N
x
α mg
α
1. Corpo di massa m appoggiato su un
piano inclinato, senza attrito
(vincolo liscio), soggetto alla sola
forza di gravità
Dalla seconda legge di Newton abbiamo
r r
r
N + Fg = ma
Passando alle equazioni scalari si ottiene:
N − mg cos α = 0 N = mg cos α
⇒
mg
sin
α
=
ma
a = g sin α < g
Il moto è uniformemente accelerato con a < g
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2. Ora consideriamo il caso in cui c’è attrito tra il corpo ed il piano
inclinato (vincolo scabro), affinché il corpo si metta in moto deve
r max r r
essere
Fs + N + Fg > 0
N
Fs
y
− F max + mg sin α > 0
N − mg cosα = 0
Fsmax = µ s N
s
α mg
α
x
mg sin α > µ s N = µ s mg cos α
La reazione vincolare ha in questo caso due componenti una verticale
(N) ed una orizzontale costituita dalla forza di attrito statico (Fs ).
Dalla relazione precedente si ottiene che il corpo è in equilibrio statico
se
tg α ≤ µ s
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Quando il corpo si muove si ha
r
r r
r
Fd + N + Fg = ma
N − mg cos α = 0
− Fd + mg sin α = ma
Fd = µd N
mg sin α − µd mg cosα = ma
a = sin α − µ cosα g
d
sin α − µd cosα > 0
µd < tgα
Se µd = tgα ⇒ a = 0 ⇒moto è uniforme ⇒c’è equilibrio dinamico
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Riassumendo
perα ≤ α s
∴ Il corpo resta fermo
tg α s = µs
perα > α s
∴ Il corpo scende
α può diminuire ed essere inferiore ad αs ;
per αd < α < α s dove α d /tgα d = µd si ha
∴ Il corpo si muove di moto uniformeme nte accelerato se
tgα > µ
d
∴ Il corpo prosegue con v0 se
tgα = µ
d
∴ Il corpo si muove con v0 , si ferma se
mgsin α < µ mg cos α ⇒ tgα < µ
d
d
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