Simulazione del secondo parziale

SIMULAZIONE DELLA SECONDA PROVA PARZIALE DI MATEMATICA GENERALE
CLEA- MATRICOLE PARI- PROF. GIORGIO BOLONDI
AVVERTENZE
Nelle domande a risposta chiusa una risposta sbagliata conta in negativo, in modo da azzerare
l’effetto di risposte date a casaccio.
Provate a svolgere questa prova simulando le condizioni del compito: 2 ore, libri, appunti e
calcolatrici (non programmabili) a disposizione. Controllate le risposte soltanto alla fine.
Dopo aver svolto la prova, cercate nel testo e negli appunti gli argomenti relativi alle domande che
avete sbagliato, ponendo molta attenzione alle definizioni corrette e agli enunciati esatti dei teoremi.
SIMULAZIONE 1
1) La somma della serie Σ;
∞
;
(Error!)
n
n=0
a) 4/5 b) 5/4 c) la serie è divergente d) 1/5
2) Error! = a) -1 b) π/4 c) 1
è
d) π
3) Sia f(x) = Error! , x[0,1]. Allora maxA= a) 0 b) non esiste c) 1/2
d) 1
4) Calcolare il limite, per n che tende all’infinito, della successione
an = Error! a) 0 b) +∞ c) 7/3 d) 5/3
5) f:R → R , f(x)=x2+1 è
a) iniettiva ma non suriettiva b) suriettiva ma non iniettiva c) biiettiva d) né iniettiva né suriettiva
(
6) lim;x→+∞ Error!) = a) +∞ b) 0
7) Data f(x) = 5x2cosx,
f’(x)= a) 5x(2cosx – xsenx)
c) 1 d) non esiste
b) -10xsenx
c) 5xsenx – 10x2cosx
d) 10xcosx
8) Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato
a) è sempre derivabile b) è sempre integrabile c) può non avere massimo assoluto d) è sempre
invertibile
9) Sia f(x) una funzione derivabile, e g(x)= f(lnx). Allora g’(x)=
a) f ’(lnx)/x b) f ’(1/x) c) 1/f ’(x)
d) (1/x)f ’(x)
Esercizi da svolgere.
1) ) Si consideri la funzione f(x)= x2lnx.
a)
Qual è il suo dominio?
b)
E’ continua e derivabile?
c)
Quale è la sua derivata?
d)
Come si comporta alla frontiera del dominio?
e)
Ha massimi e minimi assoluti o relativi?
f)
Quale è supf? Quale inff?
g)
Come è girata la concavità della funzione?
h)
Si disegni il grafico di f.
2) Calcolare il limite, per n che tende all’infinito, della successione ;an2+1 - ;n+1 (a è un
parametro maggiore o uguale a 0; riportare i principali passaggi). Esistono valori del parametro a
per cui il limite è un numero finito? Esistono valori di a per cui il limite non esiste?
SIMULAZIONE 2
1) La somma della serie Σ;
∞
n=2
2) Error! = a) 26 b) 28
;
(Error!)
c) 13
n
è a) 9/10 b) 5/2 c) 3/2 d) la serie è divergente
d) 0
3) Sia f(x) = Error! , x]0,1] . Allora maxA= a) 0 b) 1/2 c) 1 d) non esiste
4) La serie Σ;
∞
(Error!)
n=0
a) convergente b) divergente c) oscillante d) dipende dal parametro a
;
5) ) f:R → R , f(x)=(senx)2 è
a) iniettiva ma non suriettiva b) né iniettiva né suriettiva c) biiettiva
iniettiva
6) lim;x→+∞ Error!
a) 5 b) 0
7) Data f(x) = x2ln(cosx),
f’(x)= a) 2xln(cosx) – x2tgx
d) suriettiva ma non
c) +∞ d) -∞
b) -2xln(senx) c) 2xln(cosx) + x2ln(senx)(1/x)
d) 2ln(cosx)
8) Due funzioni con la stessa derivata
a) sono uguali b) differiscono per una costante additiva c)differiscono per una costante
moltiplicativa d) hanno la stessa primitiva
9) Sia f(x) una funzione derivabile e g(x)= ef(x). Allora g’(x) =
a) ef’(x) b) f(x)ef’ (x) c) f’(x)ef(x) d) ef(x)
Esercizi da svolgere.
1) Studiare la funzione f(x) = Error!, e disegnarne il grafico. In particolare, dire se ha estremo
superiore o inferiore, determinarne l’immagine, dire se ha degli asintoti e determinare se ci sono
punti di massimo o minimo relativo o assoluto. Stabilire, per ogni n Z, quanti sono gli x tali che
f(x)= n.
2) Studiare la funzione F(x) = Error!, con x maggiore o uguale a 2.
SIMULAZIONE 3
1) La somma della serie Σ;
∞
;
(Error!)
n=2
a) è divergente b) 7/4 c) 3/4 d) 9/28
2) Error! = a) 1 b) e-1 c) 0
n
è
d) e
3) Sia f(x)= Error! , x[0,1[ . Allora maxA= a) 1/4 b) 0 c) non esiste d) e1/4
4) La serie
∞
n
Σ;n=0; (4x) è
a) convergente per ogni x b) divergente per ogni x
se x<1/4 d) convergente se -1/4 < x < 1/4
5) ) f:R → R , f(x)=x3-2 è
a) iniettiva ma non suriettiva
suriettiva
6) lim;x→+∞ Error!
b) biiettiva c) suriettiva ma non iniettiva
c) convergente
d) né iniettiva né
a) -∞ b) +∞ c) non esiste d) 0
7) Data f(x) = cos(x2+3), f’(x)= a) –sen(x2+3)
b) –sen(2x)
c) -2xsen(x2+3) d) 2cos(x2+3)
8) Una funzione derivabile su un intervallo aperto a) è continua b) ha massimo e minimo c) c’è
almeno un punto in cui si annulla la derivata d) è limitata
9) Sia f(x) una funzione derivabile e positiva e g(x) = ln(f(x)). Allora g’(x) =
a) f(x)/f’(x) b) 1/f’(x) c) 1/f(x) d) f’(x)/f(x)
Esercizi da svolgere.
1) ) Studiare la funzione f(x)=(2x-1)/(x+|x|1)
. In particolare, determinare l’immagine della
funzione, stabilire se è derivabile, trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e
assoluto; disegnarne il grafico.
∞
2) Studiare la convergenza della serie
Σ;n=1; (Error!) e determinarne la somma.
SIMULAZIONE 4
1) La somma della serie Σ;
∞
n=0
;
(Error!)
n
è
a) 3 b) 2 c) 1/3 d) 2/3
2) Error! = a) 2
b) 0
c) π d) 1
3) Sia f(x)= Error! , xR. Allora maxA= a) non esiste
∞
; [ ;n+k - ;n-k ]/ n
n=1
a) convergente b) divergente
4) Σ;
b) 1 c) 0 d) 1/2
è
c) oscillante
d) convergente purché k sia diverso da 0
5) ) f:R → R , f(x)=arctgx
a) iniettiva ma non suriettiva b) biiettiva c) suriettiva ma non iniettiva d) né iniettiva né suriettiva
6) lim;x→1 Error! 0 a) non esiste
b) -∞ c) +∞ d) 0
7) La funzione f(x) = ;1-x2 è
a) dispari b) simmetrica rispetto alla bisettrice del secondo e quarto quadrante c) pari d)
simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante
8) Sia f(x) una funzione continua e positiva su tutto R. Allora
a) f è derivabile b) le primitive di f sono funzioni crescenti c) la derivata di f è una funzione
crescente d) f ha massimo e minimo assoluti
9) Sia f(x) = arctg(ex). Allora f’(x) =
a) ex/(1+x2) b) 1/(1+e2x) c) ex/(1+e2x) d) non è derivabile
Esercizi da svolgere.
1) Studiare la funzione f(x) = x + ;1-x2 . In particolare, determinare l’immagine della funzione,
stabilire se è derivabile, trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e assoluto;
studiarne la concavità e disegnarne il grafico.
2) Calcolare l'integrale
Error!
Soluzioni
Simulazione 1.
1)
b
2)
c
3)
c
4)
b
5)
6)
7)
8)
9)
d
a
a
b
a
Es.1) La funzione è definita per x>0, tende a 0 quando x tende a 0 e a +∞ quando x tende a +∞. La
derivata prima è f’(x) = x(2lnx + 1) e quindi la funzione è decrescente nell’intervallo ]0, e-(1/2)[, ha
un minimo (assoluto) nel punto e-(1/2), ed è crescente nell’intervallo ]e-(1/2), +∞[. Incontra l’asse delle
x nel punto 1 e cambia concavita nel punto e-(3/2).
Es. 2) Il limite vale +∞ per ogni valore positivo di a. Quando a=0 il limite vale -∞.
Simulazione 2
1)
a (attenzione al punto di inizio della somma)
2)
b
3)
d
4)
a
5)
b
6)
d
7)
a
8)
b
9)
c
Es.1) La funzione è definita per x positivo e diverso da 1. Ha la retta x=1 come asintoto verticale.
Ha un minimo relativo nel punto x= e1/2 e questo minimo vale 2e. Di conseguneza l’immagine della
funzione è costituita dagli intervalli ] -∞, 0[ e [2e, +∞[, supf=+∞ e inff=-∞. La funzione è
decrescente per x<e1/2 e crescente per x>e1/2.
Es.2) Una primitiva della funzione integranda è g(t)= 1 + 1/(t-1), e quindi F(x)= x + ln(x-1) – 2.
Simulazione 3.
1)
d
2)
a
3)
b
4)
d
5)
b
6)
c
7)
c
8)
a
9)
d
Es.1) La funzione è definita su tutto R, continua e derivabile tranne che nel punto x=0. La retta y=1
è un asintoto orizzontale. La funzione è crescente su tutto R e la sua immagine è l’intervallo
] -∞, 1[. Non ha né massimi né minimi relativi (o assoluti).
Es.2) La convergenza segue dal confronto con la serie armonica generalizzata (di esponente 3). Per
determinare la somma basta scrivere il termine generico
Error! = Error! - Error! e calcolare le somme parziali (è una serie telescopica); la somma risulta
1.
Simulazione 4.
1)
a
2)
b
3)
d
4)
a
5)
a
6)
c
7)
c
8)
b
9)
c
Es.1) Il dominio è l’intervallo [-1,1], la funzione è continua e derivabile nell’intervallo ]-1,1[,
concava su questo intervallo. Ha un massimo relativo e assoluto nel punto 1/ ;2 e questo massimo
vale ;2 . L’immagine è quindi l’intervallo [-1, ;2 ].
Es.2) Occorre integrare per parti. Una primitiva è (2/3)x 3/2lnx – (4/9)x3/2, per cui l’integrale definito
vale (2/9)e3/2 + (4/9).