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RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL CORSO DI ALGEBRA
ANDREA PREVITALI
A BSTRACT. Viene di seguito riportata una serie di esercizi con risoluzione per il corso di
Algebra del primo anno.
Indichiamo con
1. F UNZIONI
l’insieme delle funzioni da in , con
l’insieme
i cui elementi vengono detti endofunzioni. Con
e
intendiamo le
mappe iniettive e suriettive da a .
Esercizio 1.1. Date
e
, dimostrare che
implica iniettiva
e suriettiva. Viceversa data una mappa suriettiva
, esiste una mappa iniettiva
tale che
e analogamente data una mappa iniettiva
, esiste una
mappa suriettiva
tale che
.
Svolgimento: Sia
, applicando si ottiene
e è
è iniettiva. Inoltre dato
,
e è suriettiva. Sia ora
iniettiva e si
definisca come segue:
se
altrimenti
dove è un qualsiasi elemento di . Si noti che è una funzione poiché dato
esiste un unico tale che
. È immediato provare che
. Sia ora data
suriettiva e si indichi con
l’insieme delle controimmagini di , ossia
. Per ipotesi
. Inoltre se
, allora
.
Si scelga da ognuno di questi insiemi disgiunti uno ed un solo elemento. In tal modo
si costruisce una funzione , ove
è l’unico elemento scelto di
. Ovviamente
. Resta da dimostrare che le due funzioni costruite sono rispettivamente suriettiva
e iniettiva ma ciò segue dall’identità
.
q.e.d.
&
$ %
!#"
$
$'-(.1/ "
$
$'( / "
2435(6738+
$
3, 3-(!$<=2435> $
B
C@ ()73;
$<4@A( 3D
$
"
,
$
D
$')(*+ "
00"
39(:$'73;(:$'243'8/(:358 ?0"
$
@#E2 @
F
(
7
;
3
'
$
G
F
(
+
" 3
$H $I7JK3;
LM@N
:O>$<4@PC(Q3R
$ I
J 3;(U
S T
3V(U
S 38
$ I7J 43;XWH$ I
J 358YZ(QT
73;
$ I7J 3;
$'(6/ "
$'(6+ "
è iniettiva sse per ogni coppia di funzioni [ >\ ?] ,
Esercizio
1.2. Provare\ che $
\
a sinistra).
Analogamente
$^[?(_$ implica [,( (si dice che $ è cancellabile
` 9 è
a
\
\
\
suriettiva sse per ogni coppia di funzioni [
Vb9" , [`( implica [0( (si dice che
è cancellabile a destra).>\
\ . Allora $^[e D c(f$ \ D , per ogni
.
c
]
^
$
.
[
d
(
$
tali che
Svolgimento: Siano [
\
D %b . Se $ è iniettiva, allora [< D c( D e [_( \ per il principio di estensionalità.
S @K8&_ tali che $<4@P9(g$<4@P8+ . Siano
Viceversa
sia $ non iniettiva, allora esistono @G(g
[ a\ h definite \ da \ &(i\ LM@MR e [<Z(jlLM@A8R , cioè [ e \ sono mappe
costanti
su .
\ , per
Per ipotesi $^[(%$ , ma [k( S . Sia ora , \
suriettiva e sia [c(
[\ a\ b" .
Siccome 71(
, ne segue che [<3;l(
3; per ogni 3E , cioè [k( . Viceversa
3
Date: Mercoledı̀, 2 Ottobre 2001.
Key words and phrases. Esercizi di Algebra.
Supportato dai fondi di incentivazione per la Didattica.
2
Esercizi di Algebra
[<3;h(rq \ 3;h(ts
m 24(%
S T . Si ponga ['74@Pn( \ \ 74@An(_o ,
3gj
u 24 . Allora [d( S , mentre
supponiamo che non sia suriettiva, allora
per ogni
e
,
per ogni
.
@)p
['( \ q.e.d.
$!_=
$v
Esercizio 1.3. Dato un insieme finito , dimostrare che
è iniettiva sse è
per qualche intero positivo
invertibile. Mostrare inoltre che la sua inversa è della forma
.
Svolgimento: È chiaro che l’invertibilità implica l’iniettività. Basta quindi mostrare che
un’endofunzione iniettiva su un insieme finito è suriettiva. Forniamo due prove:
(1) Sia iniettiva, allora
. Ma
, allora
;
e si consideri l’insieme
. Poiché è finito, devono
(2) sia
esistere
due interi distinti tali che
. Supponiamo che
.
Siccome è iniettiva si può cancellare a sinistra e quindi
da cui
soddisfa
. Siccome era arbitrario, ne segue che è
suriettiva.
Quindi esiste un intero positivo
tale che
. Sia il minimo comune
multiplo di tutti questi interi al variare di in , allora
w
$
{H? a ƒ
‚
$
@(p$2„ I … I7J ={2
O $<AOK( $<=nxy
|(_LM$X}>={2
O~n?€R
$X„7={^( $2…={^
$<4@Pl(j3
{
$<=z( ‚† ƒ
$„ I …={^9(p{
$
ƒ
‡e(%‡a={2
$eˆ‰{^C(_{
{ $ … ={^(:$ … I ˆ=ŠŒ‹Ž $ ˆYŠ/‹Ž {^(.$ … I ˆYŠŒ‹ ={2’‘
w ƒE“ q
Ripetendo questo passo otteniamo che $z…={2({ , quindi basta prendere (
. q.e.d.
Esercizio 1.4. Mostrare con un controesempio che esistono endofunzioni su insiemi infiniti che sono suriettive ma non iniettive e viceversa. Si mostri che esistono funzioni che
ammettono inversa a destra ma non a sinistra.
Svolgimento: Sia
definita da
, allora è iniettiva ma non
suriettiva. Sia
definita da:
$yG74€
$y”'{V•–—{-˜.q
$
c
€z
B “
q se ‚™.q 7=‚( ‚o altrimenti
allora è suriettiva ma non è iniettiva. Si noti che $`( / , mentre $'( S / , infatti $'24ošz(
q . Quindi $ ammette inversa sinistra ma non destra, altrimenti sarebbe invertibile . q.e.d.
$,)
Esercizio 1.5. Determinare una funzione invertibile
la cui inversa non si esprime
come iterata di (ossia
, per ogni intero ).
Svolgimento: Mostriamo due esempi:
definita da
. Allora
, mentre
,
(1)
per ogni
;
(2) sia
, ove
è l’intervallo unitario dei numeri reali, definita
da
. Allora
mentre
. Se fosse
,
allora
. Ma le uniche soluzioni della precedente equazione sono e
.
q.e.d.
$
$ I
J (:
S $2„
‚
$H,›Zœ
$<{^(6{&˜Eq
$ I7J 3;(:3 “ q
$
„73;(:3n˜H‚
‚h?€
$: |5
|h(Ÿž o qP &x¢¡
$<={^&(%{^£
$ „ ={2&(!{^£>¤
$ I7J ={2N(¦¥ {
$ „ (¦$ I7J
{ £>¤§©¨ (ª{
o
q
sono entrambe suriettive (iniettive), allora lo stesso
Esercizio 1.6. Se $V9" e ,hb
vale per $ . Se ;$ è suriettiva (iniettiva) cosa possiamo concludere su $ ?
Svolgimento:
Siano $ suriettive, allora 2«$< a0(¬240(tb e ;$ è suriettiva.
Siano $ iniettive, allora sono cancellabili a sinistra per cui da ;$<4359(ª$<3 8 segue
AP
3
$<435(*$<358/ 3G(­358
$
;$
$
3k(¦
S 3^8
$<435& (¦$<4358+
$<3;N(Q$<38Œ
$
( bj(pL©qKR ª(pL©q s;R $<‰q&(pq 2aqN(%2«sN(­q
i
$
$
s ¯® R bi(jLšqR
$
%
(
c
š
L
q
$<‰qMl(­$<«sl(*q $< ® l (ps 2aql(j74sšl(*q
;$
$
e
, per cui
è iniettiva. Se
è iniettiva, allora e deve essere
iniettiva. Altrimenti esisterebbero
tali che
, da cui
,
contro l’iniettività di . Sia
,
,
e
.
Allora
è iniettiva mentre no. Analogamente
suriettiva implica che debba essere
suriettiva, mentre potrebbe non esserlo. Ad esempio siano
,
e
si definisca
,
,
, allora
è suriettiva ma
no .
q.e.d.
$!.# " _b $ °
°.
°;$ (F+ " 7$ °G(F+ e
$
° $`( / " ,
q.e.d.
]
Esercizio 1.7. Siano
,
e
tali che
,
. Si mostri che
sono biezioni e determinarne le inverse.
Svolgimento: Visto il ruolo simmetrico basta mostrare l’asserto per . Ora
implicano che l’inversa di è
.
$7°c(+ ]
$7°(+ $ °
$
$'c(:+ . Mostrare che se
Esercizio 1.8. Ricordiamo che è un’inversa destra per se
, allora è una biezione sse ammette una sola inversa a destra sse ammette
una sola inversa sinistra.
è una biezione, sia una sua inversa e
una sua inversa
Svolgimento: Se
destra, allora
, da cui ho unicità. Viceversa sia
. Se
non è biettiva, allora non è iniettiva, ossia esistono
tali che
.
Si osservi che se
appartenessero a
, allora
e
, ne seguirebbe
e
, quindi
. Si
definisca
come segue:
O ±Nš²c$zO2™_s
$
$!!9"
8
-(674$'8/(i=;$7582(6;8
$'#(.+ $
$
y
3
¦
(
S
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G
³
<
$
4
5
3
´
i
(
<
$
;
3
/
8
3 3;8
74µ
3?(_74@P 3^8(_74@’8/
@C(.$'2«@P(.$<N3;(.$<358/(.$'74@P8Œ(.@’8 3#(:$<«@P(.$<4@P8/(.358
38n?u 24
87
B
{E(:
S @
8 ={2( 7358 ={^ se se{`(:
@ ‘
Si noti che la definizione di ^8 è consistente. Inoltre $'y(g$'^8Z(*+
S ;844@P .
" e 74@PH(ª
Sia infine ;$V(U/ , ma $ non sia suriettiva, allora esiste @E%¶N$< e si definisca 8
tale che ;844@P(!
S 2«" @P e ;84{^N(!2{^ per {(¦
S @ . In particolare 28/$h(!$(Q+ " essendo
q.e.d.
L·@RM¸n¹6$< .
D IPARTIMENTO DI S CIENZE CC. FF. E MM., U NIVERSITÀ
10, 22100-C OMO , I TALY
E-mail address: [email protected]
LEGGIO
DEGLI
S TUDI
DELL’I NSUBRIA ,
V IA VAL -