RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL CORSO DI ALGEBRA ANDREA PREVITALI A BSTRACT. Viene di seguito riportata una serie di esercizi con risoluzione per il corso di Algebra del primo anno. Indichiamo con 1. F UNZIONI l’insieme delle funzioni da in , con l’insieme i cui elementi vengono detti endofunzioni. Con e intendiamo le mappe iniettive e suriettive da a . Esercizio 1.1. Date e , dimostrare che implica iniettiva e suriettiva. Viceversa data una mappa suriettiva , esiste una mappa iniettiva tale che e analogamente data una mappa iniettiva , esiste una mappa suriettiva tale che . Svolgimento: Sia , applicando si ottiene e è è iniettiva. Inoltre dato , e è suriettiva. Sia ora iniettiva e si definisca come segue: se altrimenti dove è un qualsiasi elemento di . Si noti che è una funzione poiché dato esiste un unico tale che . È immediato provare che . Sia ora data suriettiva e si indichi con l’insieme delle controimmagini di , ossia . Per ipotesi . Inoltre se , allora . Si scelga da ognuno di questi insiemi disgiunti uno ed un solo elemento. In tal modo si costruisce una funzione , ove è l’unico elemento scelto di . Ovviamente . Resta da dimostrare che le due funzioni costruite sono rispettivamente suriettiva e iniettiva ma ciò segue dall’identità . q.e.d. & $ % !#" $ $'-(.1/ " $ $'( / " 2435(6738+ $ 3, 3-(!$<=2435> $ B C@ ()73; $<4@A( 3D $ " , $ D $')(*+ " 00" 39(:$'73;(:$'243'8/(:358 ?0" $ @#E2 @ F ( 7 ; 3 ' $ G F ( + " 3 $H $I7JK3; LM@N :O>$<4@PC(Q3R $ I J 3;(U S T 3V(U S 38 $ I7J 43;XWH$ I J 358YZ(QT 73; $ I7J 3; $'(6/ " $'(6+ " è iniettiva sse per ogni coppia di funzioni [ >\ ?] , Esercizio 1.2. Provare\ che $ \ a sinistra). Analogamente $^[?(_$ implica [,( (si dice che $ è cancellabile ` 9 è a \ \ \ suriettiva sse per ogni coppia di funzioni [ Vb9" , [`( implica [0( (si dice che è cancellabile a destra).>\ \ . Allora $^[e D c(f$ \ D , per ogni . c ] ^ $ . [ d ( $ tali che Svolgimento: Siano [ \ D %b . Se $ è iniettiva, allora [< D c( D e [_( \ per il principio di estensionalità. S @K8&_ tali che $<4@P9(g$<4@P8+ . Siano Viceversa sia $ non iniettiva, allora esistono @G(g [ a\ h definite \ da \ &(i\ LM@MR e [<Z(jlLM@A8R , cioè [ e \ sono mappe costanti su . \ , per Per ipotesi $^[(%$ , ma [k( S . Sia ora , \ suriettiva e sia [c( [\ a\ b" . Siccome 71( , ne segue che [<3;l( 3; per ogni 3E , cioè [k( . Viceversa 3 Date: Mercoledı̀, 2 Ottobre 2001. Key words and phrases. Esercizi di Algebra. Supportato dai fondi di incentivazione per la Didattica. 2 Esercizi di Algebra [<3;h(rq \ 3;h(ts m 24(% S T . Si ponga ['74@Pn( \ \ 74@An(_o , 3gj u 24 . Allora [d( S , mentre supponiamo che non sia suriettiva, allora per ogni e , per ogni . @)p ['( \ q.e.d. $!_= $v Esercizio 1.3. Dato un insieme finito , dimostrare che è iniettiva sse è per qualche intero positivo invertibile. Mostrare inoltre che la sua inversa è della forma . Svolgimento: È chiaro che l’invertibilità implica l’iniettività. Basta quindi mostrare che un’endofunzione iniettiva su un insieme finito è suriettiva. Forniamo due prove: (1) Sia iniettiva, allora . Ma , allora ; e si consideri l’insieme . Poiché è finito, devono (2) sia esistere due interi distinti tali che . Supponiamo che . Siccome è iniettiva si può cancellare a sinistra e quindi da cui soddisfa . Siccome era arbitrario, ne segue che è suriettiva. Quindi esiste un intero positivo tale che . Sia il minimo comune multiplo di tutti questi interi al variare di in , allora w $ {H? a $ @(p$2 I I7J ={2 O $<AOK( $<=nxy |(_LM$X}>={2 O~n?R $X7={^( $2 ={^ $<4@Pl(j3 { $<=z( $ I ={^9(p{ $ e(%a={2 $e{^C(_{ { $ ={^(:$ I = $ Y/ {^(.$ I Y ={2 w E q Ripetendo questo passo otteniamo che $z ={2({ , quindi basta prendere ( . q.e.d. Esercizio 1.4. Mostrare con un controesempio che esistono endofunzioni su insiemi infiniti che sono suriettive ma non iniettive e viceversa. Si mostri che esistono funzioni che ammettono inversa a destra ma non a sinistra. Svolgimento: Sia definita da , allora è iniettiva ma non suriettiva. Sia definita da: $yG74 $y'{V{-.q $ c z B q se .q 7=( o altrimenti allora è suriettiva ma non è iniettiva. Si noti che $`( / , mentre $'( S / , infatti $'24oz( q . Quindi $ ammette inversa sinistra ma non destra, altrimenti sarebbe invertibile . q.e.d. $,) Esercizio 1.5. Determinare una funzione invertibile la cui inversa non si esprime come iterata di (ossia , per ogni intero ). Svolgimento: Mostriamo due esempi: definita da . Allora , mentre , (1) per ogni ; (2) sia , ove è l’intervallo unitario dei numeri reali, definita da . Allora mentre . Se fosse , allora . Ma le uniche soluzioni della precedente equazione sono e . q.e.d. $ $ I J (: S $2 $H,Z $<{^(6{&Eq $ I7J 3;(:3 q $ 73;(:3nH h? $: |5 |h( o qP &x¢¡ $<={^&(%{^£ $ ={2&(!{^£>¤ $ I7J ={2N(¦¥ { $ (¦$ I7J { £>¤§©¨ (ª{ o q sono entrambe suriettive (iniettive), allora lo stesso Esercizio 1.6. Se $V9" e ,hb vale per $ . Se ;$ è suriettiva (iniettiva) cosa possiamo concludere su $ ? Svolgimento: Siano $ suriettive, allora 2«$< a0(¬240(tb e ;$ è suriettiva. Siano $ iniettive, allora sono cancellabili a sinistra per cui da ;$<4359(ª$<3 8 segue AP 3 $<435(*$<358/ 3G(­358 $ ;$ $ 3k(¦ S 3^8 $<435& (¦$<4358+ $<3;N(Q$<38 $ ( bj(pL©qKR ª(pL©q s;R $<q&(pq 2aqN(%2«sN(­q i $ $ s ¯® R bi(jLqR $ % ( c L q $<qMl(­$<«sl(*q $< ® l (ps 2aql(j74sl(*q ;$ $ e , per cui è iniettiva. Se è iniettiva, allora e deve essere iniettiva. Altrimenti esisterebbero tali che , da cui , contro l’iniettività di . Sia , , e . Allora è iniettiva mentre no. Analogamente suriettiva implica che debba essere suriettiva, mentre potrebbe non esserlo. Ad esempio siano , e si definisca , , , allora è suriettiva ma no . q.e.d. $!.# " _b $ ° °. °;$ (F+ " 7$ °G(F+ e $ ° $`( / " , q.e.d. ] Esercizio 1.7. Siano , e tali che , . Si mostri che sono biezioni e determinarne le inverse. Svolgimento: Visto il ruolo simmetrico basta mostrare l’asserto per . Ora implicano che l’inversa di è . $7°c(+ ] $7°(+ $ ° $ $'c(:+ . Mostrare che se Esercizio 1.8. Ricordiamo che è un’inversa destra per se , allora è una biezione sse ammette una sola inversa a destra sse ammette una sola inversa sinistra. è una biezione, sia una sua inversa e una sua inversa Svolgimento: Se destra, allora , da cui ho unicità. Viceversa sia . Se non è biettiva, allora non è iniettiva, ossia esistono tali che . Si osservi che se appartenessero a , allora e , ne seguirebbe e , quindi . Si definisca come segue: O ±N²c$zO2_s $ $!!9" 8 -(674$'8/(i=;$7582(6;8 $'#(.+ $ $ y 3 ¦ ( S 3 8 G ³ < $ 4 5 3 ´ i ( < $ ; 3 / 8 3 3;8 74µ 3?(_74@P 3^8(_74@8/ @C(.$'2«@P(.$<N3;(.$<358/(.$'74@P8(.@8 3#(:$<«@P(.$<4@P8/(.358 38n?u 24 87 B {E(: S @ 8 ={2( 7358 ={^ se se{`(: @ Si noti che la definizione di ^8 è consistente. Inoltre $'y(g$'^8Z(*+ S ;844@P . " e 74@PH(ª Sia infine ;$V(U/ , ma $ non sia suriettiva, allora esiste @E%¶N$< e si definisca 8 tale che ;844@P(! S 2«" @P e ;84{^N(!2{^ per {(¦ S @ . In particolare 28/$h(!$(Q+ " essendo q.e.d. L·@RM¸n¹6$< . D IPARTIMENTO DI S CIENZE CC. FF. E MM., U NIVERSITÀ 10, 22100-C OMO , I TALY E-mail address: [email protected] LEGGIO DEGLI S TUDI DELL’I NSUBRIA , V IA VAL -