3
Indice generale
Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Prefazione alla seconda edizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Prefazione alla terza edizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
I PARTE – Grandezze, sistemi di unità di misura, errori
1.
GRANDEZZE FISICHE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Il metodo scientifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Definizione di grandezza fisica, misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Misure dirette ed indirette. Grandezze fondamentali. Sistemi di unità di misura
1.4
Sistemi di unità di misura coerenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Grandezze derivate. Equazioni dimensionali, dimensioni di una grandezza . .
1.6
Grandezze adimensionali, numeri puri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7
Alcune osservazioni sulle equazioni dimensionali . . . . . . . . . . . . . . .
1.8
Uso della notazione scientifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Il sistema metrico decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Il sistema CGS di Gauss per la meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Il sistema MKS o sistema Giorgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Il sistema tecnico o degli ingegneri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Grandezze termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Differenza di temperatura come grandezza fondamentale. Scala centigrada
2.6.2 Altre scale termometriche
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Termometro a gas perfetto e scala assoluta della temperatura . . . . . . .
2.6.4 Quantità di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Scala termodinamica delle temperature
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Il sistema termotecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8
Il Sistema Internazionale di unità di misura
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9
Cambio del sistema di unità di misura. Fattori di ragguaglio . . . . . . . . . . . .
2.10 Unità di misura fuori sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Unità di misure di lunghezzef fuori dal sistema SI. Lunghezze
e masse nel sistema inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.3 Unità di massa atomica, massa molare (grammoatomo, grammomolecola)
2.10.4 Velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.5 Lavoro, Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
4
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8
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xiv
INDICE GENERALE
2.11
3.
2.10.6 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.7 Pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alcune grandezze e costanti fisiche di uso frequente espresse in unità di misura fuori dal SI .
ERRORI DI MISURA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Necessità della valutazione delle incertezze delle misure
. . . . . . . . . . . . .
3.2
Errori nelle misure, incertezze
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Errori casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Rappresentazione dei dati di un campione di misure. Istogrammi di distribuzione
3.4
Media campionaria e media di una popolazione. Scarto . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Errore di una misura diretta. Errore massimo ed errore quadratico medio. Varianza
3.6
Cifre significative per esprimere l’errore. Arrotondamenti . . . . . . . . . . . . .
3.7
Cifre significative di una misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8
Quando lo zero è cifra significativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9
Errore massimo di una misura indiretta, propagazione degli errori
. . . . . . . .
3.10 Errore relativo, bilanciamento dell’errore relativo. Precisione di uno strumento
.
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28
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32
33
33
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37
39
40
41
41
43
II PARTE – Elaborazione statistica dei dati sperimentali
4.
ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO
4.1
Permutazioni
. . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Diagrammi ad albero . . . . . . . . . . .
4.3
Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Casi notevoli di combinazioni
. . . . . .
4.5
Il binomio di Newton . . . . . . . . . . .
4.6
Permutazioni con ripetizione . . . . . . .
*4.7
Combinazioni con ripetizione . . . . . . .
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49
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50
51
52
53
54
5.
ELEMENTI DI TEORIA DELLE PROBABILITÀ
5.1
Probabilità classica di Laplace o “a priori” . .
5.2
Probabilità empirica o “a posteriori” . . . . .
5.3
Probabilità assiomatica . . . . . . . . . . . .
5.4
Teoremi della teoria delle probabilità . . . . .
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55
55
56
57
58
6.
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
6.1
Leggi di distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Variabili aleatorie discrete e continue
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Valore aspettato di una variabile aleatoria discreta, varianza . . . . . . . . . . .
6.4
La distribuzione binomiale di Bernoulli
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5
Valore aspettato, valore medio del quadrato e varianza della variabile aleatoria
nella distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6
Simmetrizzazione e massimo della funzione di distribuzione binomiale . . . . .
6.7
La distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8
Valore aspettato, valore medio del quadrato e varianza della variabile aleatoria
nella distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9
Simmetrizzazione e massimo della funzione di distribuzione di Poisson
. . . .
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72
. . . . . .
. . . . . .
73
74
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI VARIABILI ALEATORIE CONTINUE . . . . .
7.1
Densità di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
7.
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INDICE GENERALE
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
*7.13
8.
9.
xv
Valore aspettato e varianza di una variabile aleatoria continua
. . . . . . . . . . . . . . . 84
Distribuzione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
La distribuzione di Gauss o normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Condizione di normalizzazione, valore aspettato, varianza e valore medio del quadrato
nella distribuzione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Probabilità per il valore di una misura, variabile standardizzata . . . . . . . . . . . . . . . 89
Significato probabilistico della deviazione standard. Disuguaglianza di Tchebychev . . . . 91
Il teorema del limite centrale. Varianza della media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Presentazione del risultato di una misura. Livello di confidenza ed intervallo di fiducia
. . 94
Media campionaria e deviazione standard di variabili in campo biomedico.
Alcune considerazioni sul loro significato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Il problema del rigetto dei dati. Criterio di Chauvenet
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Convergenza della binomiale e della poissoniana verso la distribuzione normale . . . . . 103
La legge di distribuzione degli errori come limite di una distribuzione binomiale . . . . . 105
MISURE INDIRETTE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
Stima del valore vero di una grandezza derivata
. . . . . . . .
8.2
Deviazione standard di una grandezza derivata. Formula generale
di propagazione dell’errore
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3
Caso di variabili indipendenti. Errori incorrelati
. . . . . . . .
8.4
Deviazione standard della media
. . . . . . . . . . . . . . . .
8.5
Variabili non indipendenti. Errori correlati . . . . . . . . . . .
*8.6
Dimostrazione della disuguaglianza di Schwarz
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
107
107
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110
110
112
STIMATORI DEI PARAMETRI DI DISTRIBUZIONI . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
Metodo della massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2
Media aritmetica, moda, mediana. Giustificazione della media aritmetica . . . .
9.3
Stima dei parametri della distribuzione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . .
*9.4
Determinazione della stima corretta della deviazione standard . . . . . . . . . .
9.5
Stima dei parametri della funzione di distribuzione delle medie. Media ponderata
*9.6
Stima del parametro della distribuzione binomiale . . . . . . . . . . . . . . . .
*9.7
Stima del parametro della distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . .
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134
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137
. . . .
139
10. DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI PICCOLI CAMPIONI:
DISTRIBUZIONE DI STUDENT, DISTRIBUZIONE DI FISHER,
DISTRIBUZIONE DELLA VARIABILE x2. TEST PER LA VERIFICA DI IPOTESI
10.1 La distribuzione della variabile t di Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Livelli di confidenza ed intervalli di fiducia nella distribuzione di Student
. . . .
10.3 Test di ipotesi mediante la distribuzione di Student. Alcuni esempi di applicazione
anche in campo medico e farmaceutico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Consistenza della media campionaria di un piccolo campione
con il valore aspettato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Consistenza di due valori medi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Alcuni esempi di applicazioni in campo medico e farmaceutico . . . . . .
10.3.4 Test di Student per dati appaiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Analisi della varianza nel confronto di diversi campioni. Distribuzione di Fisher.
Test di ipotesi mediante la distribuzione di Fisher
. . . . . . . . . . . . . . . . .
*10.5 Coincidenza della variabile di Fisher con il quadrato della variabile di Student
nel caso di due soli gruppi, F = t 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Definizione generale della variabile x2, sua funzione di distribuzione
e intervalli di fiducia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.
xvi
INDICE GENERALE
11. TEST DEL x2 PER LA VERIFICA DI UNA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ ATTESA
11.1 Impostazione del test del x2 per la verifica di una ipotesi di distribuzione . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 x2 ridotto. Livelli di significatività
143
143
144
12. ADATTAMENTO DI UNA RELAZIONE FUNZIONALE AI DATI SPERIMENTALI
12.1 Metodo grafico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Metodo dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Retta dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Errori dei parametri della retta dei minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Errore standard della stima
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Retta dei minimi quadrati passante per l’origine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
*12.7 Retta dei minimi quadrati pesati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8. Parabola dei minimi quadrati. Adattamento di una curva qualsiasi ai dati sperimentali
12.9 Ricerca della forma di una dipendenza funzionale. Uso del test x2 . . . . . . . . . .
12.10 Coefficiente di correlazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.11 Interpolazioni, estrapolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
*12.12 Calcolo dell’espressione per la varianza del valore interpolato/estrapolato . . . . . .
153
153
156
158
160
162
165
166
167
168
172
177
178
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III PARTE – Formulazione di leggi fisiche, determinazione di grandezze fisiche
13. CINEMATICA E DINAMICA DEL PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Cinematica del punto. Moto rettilineo uniformemente accelerato
. . . . . . . . . .
13.2 ESPERIMENTAZIONE n. 1 – Studio del moto di caduta libera di un grave
lungo la verticale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Dinamica del punto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 ESPERIMENTAZIONE n. 2 – Formulazione della legge del periodo del pendolo semplice
13.5 ESPERIMENTAZIONE n. 3 – Determinazione dell’accelerazione di gravità
mediante il pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6 ESPERIMENTAZIONE n. 4 – Studio della cinematica e dinamica di un mobile
su un piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7 ESPERIMENTAZIONE n. 5 – Forza elastica. Determinazione della costante elastica
di una molla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
*13.8 Derivazione dell’espressione del periodo dell’oscillatore “molla a massa distribuita
– massa concentrata” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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185
185
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185
192
192
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202
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208
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216
14. DINAMICA DEL CORPO RIGIDO. ELASTICITÀ DI SCORRIMENTO
. . . . . . . . .
14.1 Pendolo composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 ESPERIMENTAZIONE n. 6 – Determinazione accurata dell’accelerazione di gravità
con il pendolo reversibile di Kater
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Pendolo di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 ESPERIMENTAZIONE n. 7 – Formulazione della legge del periodo del pendolo di torsione . . . .
14.5 Elasticità di scorrimento. Relazione tra modulo elastico di scorrimento e costante
elastica di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6 ESPERIMENTAZIONE n. 8 –Determinazione del modulo elastico di scorrimento di alcuni metalli .
15. STATICA E DINAMICA DEI FLUIDI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1 Fluidi perfetti. Equazione della fluidostatica
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Legge di Stevin, legge di Pascal, legge di Archimede
. . . . . . . . . . . . .
15.3 ESPERIMENTAZIONE n. 9 – Determinazione della densità assoluta di un materiale
mediante la bilancia idrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Bilancia di Mohr-Westphal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
219
222
227
229
235
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243
243
244
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244
251
INDICE GENERALE
15.5
xvii
n. 10 – Determinazione della densità assoluta dell’alcool etilico
in funzione della temperatura con la bilancia di Mohr-Westphal . . . . . . . . . . . . .
Dinamica dei fluidi. Legge di Poiseuille, coefficiente di viscosità . . . . . . . . . . . .
ESPERIMENTAZIONE n. 11 – Determinazione del coefficiente di viscosità dell’alcool etilico
in funzione della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ESPERIMENTAZIONE n. 12 – Determinazione del coefficiente di viscosità dell’acetone . .
ESPERIMENTAZIONE
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253
258
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258
262
16. TERMODINAMICA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1 Costante di tempo di un sistema termodinamico che scambia calore . . . . . . . . . . .
16.2 Calore specifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 ESPERIMENTAZIONE n. 13 – Misura del calore specifico di una sostanza con il calorimetro
delle mescolanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Formulazione dell’equazione di una trasformazione termodinamica di un gas . . . . . .
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263
263
264
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264
269
17. TERMOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1 Termometro a termocoppia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 ESPERIMENTAZIONE n. 14 – Calibrazione di una termocoppia rame-costantana
.
17.3 Termometri a resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4 ESPERIMENTAZIONE n. 15 – Calibrazione di un termometro a resistenza elettrica
di un metallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.5 ESPERIMENTAZIONE n. 16 – Calibrazione di un termometro a semiconduttore
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275
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280
283
15.6
15.7
15.8
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18. CORRENTE ELETTRICA CONTINUA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Misura di resistenza di conduttori metallici. Metodo dei quattro contatti . . . . . . . . . .
18.3 Resistività elettrica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4 ESPERIMENTAZIONE n. 17 – Legge di Ohm e misura della resistenza elettrica di un conduttore
metallico. Determinazione dell’andamento della resistività elettrica di un metallo
nell’intervallo di temperatura 90-300 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.5 Formulazione della legge della resistività elettrica di un semiconduttore nell’intervallo
di temperatura 250-350 K. Determinazione della banda di energia proibita
. . . . . . . .
289
289
290
291
292
300
19. OTTICA GEOMETRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1 Lenti sferiche sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2. ESPERIMENTAZIONE n. 18 – Determinazione della distanza focale di una lente
convergente sottile. Ingrandimento lineare trasversale dell’immagine di un oggetto . . . .
305
305
. . . . . . . . . .
315
. . . . . . . . . .
315
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318
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321
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325
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325
332
. . . .
354
20 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1 ESPERIMENTAZIONE n. 19 – Distribuzione di probabilità nel decadimento
di una sostanza radioattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 ESPERIMENTAZIONE n. 20 – Determinazione della legge di distribuzione
di un campione di misure di una stessa grandezza
. . . . . . . . . . .
20.3 ESPERIMENTAZIONE n. 21 – Determinazione della legge di distribuzione
delle misure di diametri di cilindretti metallici . . . . . . . . . . . . .
21. ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE E PROVE D’ESAME
. . . . . . . . . . . . .
21.1 Equazioni dimensionali, conversione di grandezze da un sistema di unità di misura
ad un altro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Distribuzioni di probabilità binomiale, di Poisson, di Gauss. Test del x2 . . . . . .
21.3 Prove d’esame del modulo Introduzione al Metodo Sperimentale (IMS) per studenti
dei corsi di laurea della Facoltà di Scienze (Equazioni dimensionali, propagazione
degli errori, distribuzioni di probabilità, parametri di una relazione funzionale
col metodo grafico)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
xviii
21.4
INDICE GENERALE
Regressione di curve, metodo dei minimi quadrati, funzione di verosimiglianza,
test del x2, coefficiente di correlazione (Prove d’esame per i corsi di laurea di Fisica,
Matematica, Chimica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APPENDICE A
Tabella AI Valori dell’integrale normale degli errori .
Tabella AII Valori critici della variabile di Student . .
Tabella AIII Valori critici della variabile di Fisher . . .
Tabella AIV Valori critici della variabile x2
. . . . . .
Tabella AV Probabilità per il chi quadrato ridotto . . .
Tabella AVI Probabilità per il coefficiente di correlazione
BIBLIOGRAFIA
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406
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412
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413
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417
SCHEMA PER LA COMPILAZIONE DELLA RELAZIONE DI LABORATORIO
INDICE ANALITICO
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380
