Teorema binomiale
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In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo
binomiale) esprime lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio qualsiasi con la formula
seguente:
in cui il fattore
rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con
coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.
. Tali
Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello
commutativo.
Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, n = 2, n = 3 ed n = 4:
Nel caso in cui n sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituito da una serie infinita.
Questa formula generalizzata, nel caso di n reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il
nome).
Indice
1 Esposizione
2 Prima dimostrazione (induttiva)
3 Seconda dimostrazione (combinatoria)
4 Caso di esponente generale
o 4.1 Dimostrazione
5 Voci correlate
Esposizione
È possibile, secondo il teorema, espandere una qualunque potenza intera di (a + b) in una
sommatoria nella forma
dove
rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa
formula può essere scritta:
Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo 1 ad "a" e "a" a "b",
considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:
o, in maniera equivalente,
Prima dimostrazione (induttiva)
Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale
teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa
per corretta l'espressione
sicuramente vera per
+1, si ha
moltiplicando la sommatoria per
si ha
da cui, essendo
ed inoltre
si ha che, utilizzando nel primo passaggio una nota proprietà del coefficiente binomiale
essendo infine
e
si ha che
e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio
che conferma la tesi.
Seconda dimostrazione (combinatoria)
Se scriviamo
come il prodotto
con n fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine
pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo
volte e volte dai
fattori del prodotto, numero che è dato proprio da
è
.
Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di da
a , si ha subito la tesi.
Caso di esponente generale
Una dimostrazione possibile del caso
è attraverso le serie di Taylor.
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia
dove il resto o(x) indica un infinitesimo di ordine superiore al
primo.
Lo sviluppo completo è
,
dove
è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da
.
Dimostrazione
Lo sviluppo attorno all'origine della funzione
è
e, poiché
si ottiene
che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al k-esimo termine, l'errore che si ottiene è un
infinitesimo di ordine
.
Voci correlate
Trinomio di Newton
Teorema multinomiale
Coefficiente binomiale
