Teorema del limite centrale

T
26
-r-__-__}
:
-: e,va /l O
l l * c o S e:
=_
rdizzata,infafti,
_tta:
poiche
:1 ' s::anda
Teorema limite centrale
con questo termine vengono indicati un gruppo
di teoremi che risultano
:'jDensabili per la teoria delle distribuzioni
n.òessariaallo sviluppo della
, :i.Stic&inferente.
Questi teoremi costituiscono,in pratica, un modo per (quantific
are>>
la
.gge dei grandi numeri (vol. I, par. b.Sl.
Ricordiamo brevementele due formulazioni
fondamentali di tale legge:
per prove ripetute indipendenti, dove il
risultato di ciascuna prova può
essereclassificatocome successoo insuccesso,
si può asserireche (teoremadi
Bernoulli\:
al cresceredel
-numero delle proue Ia frequenza relatiua dei successi
conuergein probabilità aila probabilità di successo
in una prot)a.
r@UroUU5
:r*,1:rlrttdrllffiNnn
m
il
sI4IlgIleA
PARrEl: INFERENZA
I
il risultatodi ciascunaprovaè il valore
2) per proveripetuteindipendentiin cui
una misuradi runghezza'peso'
x di una variabilealeatoria-X@aesempio
durata),si puo asserireche(teoremadi Cebiceu):
ESEMPI
Una scat
cr medic
D e t e r mr n
indipendenti Ia media
per un numerosfficientementegrande di Proue
aleatoria connergein
aritmetícadei ualori osseruatidi una uariabile
probabilitàalla sua s7eranzamstematica'
StrpeflOre
^'eriore
a
_: m o r e s c
ì suita
numeristabilisconochei risultati
Tutte le formulazioniderlareggedei grandi
.^-^
l o r r aat
t n ordi
lì
ooerev
omer
odt-"1,
omedi
;;1?i:'1;4t
'rgola,
I
o.[i:ffi :ÌJ"#:"'ffi ffi; ;::; inevitabill
si livellano
livellano
t;t^Y:11^tovasrr".'..,1q si
delle slngols Pruvs uruLrrùvv'v l,vvv
prou"' tí aeiiazioni dalla-media,
quandoil numero.d1proveer:1:":::
i;;;;";;À1",à
il
di proveè elevato'
il numero
in altritermini,chi q,,undo
-;;i;
6,::iT:ffiifrJu,
quindi può.essereprevrsto.
--^
--ot
ri c f rt
diventastabilee
*uuto
^i n*i
sono resemaggrorl dal teorema
Le possibilitàdi effettuaretali previsioni
seguela sommadi un numero
limitecentralechestabiliscequaledìstribuzione
suflicientemente grande di variabili aleatorte'
di
pefmette
niopriopertasuaimportanza,
.^:
di veriricarsi'
ràro'opiobabilità
fiTTffffi:T#;;.;;uiJ,
drd;; ;ffiffi';iì-;,,-;;.
limite centrale è la seguente:
La formulazione piu generaledel teorema
].QSIO
di n uariabili aleatorie indipendenti
sia S,,una uariabile aleatoria somma
matemadistribuzionedi probabilità' speranza
X, auenticiascunala stessa
una
assumere
sd
or; ql crescere di n, s,, tende
tica p e llio*ro
uarianzano2:
distribuzionenormalecon media îv e
12.24)
Sn: Xr*Xr*-..*Xn
La variabile:
-,
L:
L2.zsl
Sn- nll
__r-
,/ no
standardtzzata'
tlurlud'rs ùl.'\rsr
variabile normale
corrispondente varlaDllc
è la corrlspondente
limite centrale risulta valido, per n sufficient:T:1,T,t^tÎ*"t:
LgUI gtIT<L
IlI I teorema
dellevariabili
-t( distribuzione
siala
ùr<L
qualunque
"t'.iL"t11:,:,::1t"1?:T::'2::;::
qualsiatt'1111:o]i:T*:l;
di probabilítà
aleatoie condistribu"zione
quarullLllls
di variabili
;:,'#:Tffiffii
finitee nonrisulti
,*ií" ,'^ii"oili abbiamediae varianza
11 j:delle
;u'-o
ffi *ff ;ii.;i;i,i;eq"""
;:.::"Jffi
::î#i''
vartanze'
ja varianzaè î'1*
la somma 1,,'3
;.il".l";"k;;;iuuili
í#;;;t
)rl
mgot
(.Igltc
r
sllréure
vcLrro(/ur
"hanno
v
I
1^
^^**-
.loi
rr
,
I
p e vaÍranza odistribuzione normale con medra
Se le variabili x
sia il valore n'
sempredistribuzione normale, qualunque
allora la variabile s, .ha
)
con medra nP e varlanza no-
^
^:^
-,^-lnnoo
:1
.'^l^ro
r
C
83
C A P I T O L O2 : D I S T R I B U Z I O NCI O N T I N U E
-": trtr\'a è il valore
I .j l g h e z z a, pes o'
: :.rttl e nt i I a m edia
. . ; : , r r i c lC o n e r g e l n
,, ìrt-rche i risultati
:' :-.'jrneroelevato di
- r.gt-rl&.si livellano
:. prove è elevato,il
:.ì
:ggiori dal teorema
- rima di un numero
: --,:ianza,Permettedi
l,:ntlcarsi'
I
E S E M P I O2 . 1 5 I
U n a s c a to l aconti ene50 pasti gl i e.l l peso di ci ascunapasti gl i aè una va r iabilecon
v a l o r m e d i o 1 . 2 g r e v a r i a n z a0 . 0 9 g r .
D e te rm i n a rel a probabi l i tàche l a scatol a abbi a un peso netto:
a ) s u p e ri o re a 62 gr;
b ) i n fe ri o rea 5 9 gr;
c) compreso tra 56 e 54 gr.
R i s u l ta :
n p : 5 0 ' 1 . 2: 6 0
n o 2: 5 0 ' 0 . 0 9 : 4 ' 5
r
:2'12
:
\/ 4'5
t/ ,o
a) ln questo caso dalla 12'251:
62-60
2.12
P (S' >- 62): P (Z >- O'94)- 1 - F (Z :0'94) : 0'1736
b) ln questo caso:
t:
59-60
:-0.47
,U
P (S" < 59) : P (Z < -O' 47) - 1 - F (Z : O' 47): 0' 3192
- : ' . t ' - . i , gè l a s e g u e n t e :
,tleatoríe indiPendenti
i.. , P e T A n ZmAq t e m 0 '
. ' , ; - - , t tc t S
' . t icl € a d as s um er e una
;I _
_.
"
c) In questo caso:
56_ !9
= 2 . r , : _ 1.89
z2:
64 - 60
'z'12 : 1'89
":
:
P ( 5 6< S " < 6 4 ): P ( - 1 ' 8 9< Z < 1 ' 8 9 ) : 2 F ( Z : 1 ' 8 9 ) 1 0 ' 9 4
l.î-'
12.24f
e u e s t' u l ti moc a so è rappresentatoi n fi g. 2.29.l l val oredel l a probabi l i tàè stat oot t enut o
con il programma applicativo riportato nella scheda 4'
I
normale
Fig.2.29- Distribuzione
P( s6lxl
Ualorr rnedio :
12.zsf
f( x)
,2
.16
,: .;iúcientemente grande,
al caso
,,::c : generalizzabtle
alla sola condrz\o'
*:,-...i..rsi.
'i ','.'ntu frnite e non risulti
di S" è la somma dei
:-.3J.1.t
'.: -rnma delle va\raîze'
)
:.r:'^medra p e varraîza 6n'
r.:. ,.ralunquesia il valoÍe
.12
.BB
.84
66
a.9468L2
Deviazione standartl =
Z'LZ
F
PARTE I: INFERENZASTATISTICA
Il teorema limite centralepermette di asserireche la distribuzione binomiale
tende alla distribuzione normale per valori di n sufficientementeelevati.
Si consideri una prova binomiale, tale che la probabilità di successosia p e la
p r o b a b i l i t àd i i n s u c c e s ssoi a q : l - p .
La variabile indicatrice Y assumei valori:
Y : I con probabllità p;
Y : 0 c o n p r o b a b i l i t àq - I - p .
e daila [2.2
Z=
: e î ant o:
, \/
h , r
Il valor medio della variabile indicatrice Y risulta:
I: real
l'P+0'q-P
F:E().):
---.-:l,riî
lrcrc
La varianza risulta:
o ' : v a r ( ) r ) - ( 1 - p ) ' p + ( 0 - p ) t q - ( 1 - p ) p ( p* q ) : p q .
Si consideri la variabile Sn somma delle variabili indicatrici:
Sn: Y, * Yt -f "' * Yn
In base al teorema limite centrale la variabile:
Z_
Sn-nP
{"J.
12.261
(che sono.
ha distribuzione normale con media np e deviazionestandard t/
"*
binomiadistribuzione
della
standard
azione
la
devi
media
e
la
rispettivamente,
in rr
successi
di
il
numero
indica
S,
indicatrici
1e)-La somma delle variabili
prove.
Nel seguito, per analogia con la notazione ttrlizzata per la distribuzione binomiale, la somma delle variabili indicatrici verrà generalmenteindicata
con X:
S,: X
In conclusione il teorema limite centrale permette di affermare che, quando i.,
numero delle prove è sufficientementeelevato, la distribuzione binomiale putì
essereapprossimatacon la distribuzionenormale; in tal modo si ottiene una
ncrtevolesemplificazionenel calcolo delle probabilità.
I
^
.'a
= : = - ' ,I '
i
O IIEE
:- :.:-$ . F
f
-"
: e : e r m i n a r el a p r o b a b i l i tcàh e s i p r e s e n tui n n u m e
I
C A P I T O L O2 : D I S T R I B U Z I O NCONTINUE
.:ribuzionebinomiale
, ,crnenteelevati.
sia P ela
., Jr successo
e dalla 12.261
si ottiene:
260- 250
11.18
pertanto:
P ( X > 2 6 0 :) P ( Z > 0 . 8 9:)0 . 1 8 6 7
I
-
In realtà I'approssimazione della distribuzione binomiale per mezzo di
quella normale risulta buona anchequando n non è un valore molto elevato se si
tiene conto che la distribuzionenormale è una distribuzionecontinua e si usano
le opportune modifiche ai valori, come nell'esempioseguente.
Si considerino 10 lanci di una moneta; si vuole determinarela probabilità
che si presenti un numero di teste minore di 4.
n(I
t-l
Fig. 2.30- Confronto
normalee binomiale
fra distribuzione
P (X)
0.3
12.261
.-:-J:rd . ,Pq 1"t sono,
"
.: .i:>ttibuzionebinomia:.,ì:ltro di successiin n
0.24
0.18
0.12
0.06
7
a)
r (x)
-..:.:.,:.ì
Perla distribuziol: .. r.tleralmente indicata
0.24
0.18
0.12
: i : l l l a r e che, quando il
^ , . 7 1 $ I l e binomiale puo
-,, lnodo
si ottiene una
: e : ^ e s i P r e s e n tui n n u m e r o
ó
0.06
0
b)
In fig. 2.30 a) è riportato I'andamento della distribuzione binomiale con
p : 0.5 e n: l0 in fig. 2.30 b) è riportato I'andamento della distribuzione
normale con medra np : J.
Dal confronto tra le due figure si può osservareche, mentre la funzione di
probabilità della distribuzionebinomiale ha solo 11 valori (per X che varia da 0
a 10),la funzione di densità di probabilità normale ammette infiniti valori (tutti i
numeri reali compresi tra 0 e 10), pertanto per determinare le probabilità si
devono considerare anche i valori intermedi.
lil'
PARTEI: INFERENZA
STATISTICA
[il
T
I
m
Nel caso specifico,per determinarela probabilità che si presentiun numero
di teste minore di 4 devono essereconsideratitutti i valori minori di 3.5.
Con questa approssimazione,detta approssimazione
di continuità, si puo
determinare:
In append
f
Il
1l
P (X < 3.5): F (X: 3.5) da z: -3i: - 0.95
. . / 1 0 . 0 . .50 . 5
P ( X < 3 . 5 ): F ( Z :
- 0 . 9 5 ): 0 . f l t 2
Si confrontiquestovalorecon quelloche si ottieneapplicandola distribuzione
binomiale:
3): i (:)(+)'(+)10-x:o r7,e
xi:u\ni/
\-/
\L/
Come si puo vederele due probabilità differisconodi pochissimo(anchesen non
è molto elevato).
Quando il numero n delle prove è molto elevatoil fatto dr utllizzareo meno
I'approssimazionedi continuità diventa meno importante in quanto, come si e
visto nel capitolo precedente,l'incrementodella probabilità P (X) tra due valori
successividi X diventa una quantità piccola.
utrhzzando i programmi applicativi si possono confrontare gli andamenti
delle due distribuzioni per diversi valori di n.
Un'approssimazionedei valori puntuali della distribuzione binomiale per
mezzo di quella normale e data dal teoremalimite Iocale di De Moiure-Laplace
(storicamentefu il primo teorema limite).
Tale teorema asserisce:
se p è la probabilità con cui si uerifica un successoin una proua ed è
costante per tutte Ie proue, allora la probabilita che si uerifichino X
successiin un numero n molto grande di proue tende a:
I
-.-p
1
_t1x-np f
2\\npq I
- t
,,/ npq ,/ 2n
- . /:
ptq"\x/
") ln)
I
t^
[-'
\/ z7r \/ npq
- l1x-np f
,\rnpq
-
,
--='5,t-
^ ^ rdr
f
:.
S ;.esg
Ugt-S = ^CrfÌ:a
: s.lîa'
P:0.
DP=1
l,::r ra tunzionr
P ( X-
lon la funzion
f(x:'tz) si puo
trov
"
tende a
_ù
:S;r,rpio
12.271
Questo teorema significa che, per un numero di prove sufficientemente
grande, la funzione di probabilità binomiale può essereapprossimatadalla
funzione di densità nor male:
P(X:
I
)
Nell'enunci
i'alido in tutta I
delle prove è rr
Nella pratic,
solito, che i teo
CONTINUE
2: DISTRIBUZIONI
CAPITOLO
' - - \.:'.i1 Un nUmefo
- : - ' . 1 ù r id i 3 . 5 .
r : : l l l t { i r a ,s, i p u ò
In appendice A, tavola II, sono tabulati i valori di f (z):
f (r\- +r-i"'
12.281
dove:
'9i
x-np
J npq
-rr-rl.I distribuzione
Per determinare i valori di f (x) si puo osservareche:
f (r)
'- tì'.i r{a n c hes e n non
- - :. q l l a n t o, c om e s i è
F r -Y) tra due valori
-
.
:- 'ijtiìre gli andamenti
. r . ^ . , zi rrl l eb i nom iale P er
,: ì DeMoiure-LaPlace
I
L2.2el
J npq
ES EMP IO2 .17 |
Determinarela probabilitache, estraendocon reintroduzione40 carte da un mazzo
d i SZ ,s i p re s e nti nol 2carte di fi ori , uti l i zzandol a funzi onebi nomi al ee l a f unzionedi
densità normale.
R i s u l ta :
P :O-25
-
X
,he si ueriJtchino
:
'-)'.ti
.' 0'.
12.21)
*, rrove sufficientemente
-.-:"ì appfossimatadatla
.tfr*:2;4
:40'0.25 : 10
Í1P
C o n l a fu n z i o ne bi nomi al e:
P(x :12) :(i:)
i;
n :40
Q:0'75
( 0 2 5 )' 2 1 07 5 1 2 80: 1 0 5 7
Con la funzionedi densitànormale:
z--
12-10
:0.73
40.0.25.0.75
r ( x : 1 2 ) :+ r Q \ :
J nPq
h
0.3056:0.1115
A'
f (z) si può trovarenellatavolall dell'appendice
I
Nell'enunciato del teorema limite centraleè specificatoche il teoremarisulta
valido in tutta la sua generalità,solamentequando il numero t4dellevariabilio
delle prove è molto grande.
Nètta pratica questa affermazionedeve esserequantificata e si assume,di
solito, che i teoremi limite siano validi se n230.