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CONGETTURE E DIMOSTRAZIONI L'insieme dei numeri naturali può essere utilizzato come realtà di studio ricca e stimolante, in grado di favorire : Processi di concettualizzazione di proprietà che risultano in qualche modo familiari all'alunno per l'esperienza che egli ha condotto in questo campo numerico L'introduzione del calcolo letterale in un contesto d'uso motivante e controllabile nella complessità La riflessione su alcuni concetti importanti del pensiero matematico, quale quello di congettura, di verità di una proposizione, di dimostrazione e di verifica1 La scelta dei simboli per dimostrare Acquistare confidenza con i simboli vuol dire anche saper leggere attraverso di essi per dare pieno significato all'oggetto denotato; tale significato si può arricchire attraverso formulazioni diverse che mettano in evidenza particolari caratteristiche dell'oggetto stesso Il seguente problema è stato proposto a studenti di triennio di scuola superiore che avevano già esperienza di dimostrazioni nell'insieme N. Riportiamo il protocollo relativo all'attività di un'allieva in quanto significativo dell'evoluzione nella comprensione del problema e della percezione del senso delle formule. PROBLEMA Dimostrare che il numero ( p 1)( q 2 1) è pari, se p e q sono primi dispari. 8 Episodio 1: Anna sviluppa la formula scrivendo le parole pari dispari sul foglio vicino alle formule: ( p 1)( q 2 1) ( p 1)( q 1)( q 1) 8 8 Anna indica via via le varie parti della formula e dice “pari, pari, pari…hmm…il numero che rimane non è pari..” Episodio 2 : Anna sviluppa la formula proprio sotto le parole pari, dispari: ( p 1)( q 2 1) ( pq 2 q 2 p 1) 8 8 fa qualche calcolo orale del tipo “dispari per dispari fa dispari”, poi dice “hmm.. non funziona! “. Episodio 3 : Come il precedente, ma con calcoli del tipo “dispari per dispari fa dispari” riferiti ai fattori (p-1), (q2-1); poi dice “Ci deve essere qualche formula per i numeri primi che bisogna usare! “ Episodio 4: Anna cancella con lunghi segni le formule dei precedenti episodi e inizia col verificare la formula con alcuni primi: raccoglie i dati 1 Da Arzarello F., Bazzini L. , Chiappini G. :1994, L'algebra come strumento di pensiero: analisi teorica e considerazioni didattiche, Quaderno TID-CNR, n. 6 p 3 5 3 q 5 7 7 Anna commenta: “Perciò è già q due meno uno che è multiplo di otto!” [tra gli episodi 4 e 5 non c’è soluzione di continuità nel tempo] Episodio 5: Anna cambia foglio di carta e scrive la seguente formula: ( p 1)( q 2 1) 8 multiplo di 2 multiplo di 8 Poi Anna scrive la formula: (2h 1 1)[( 2k 1) 2 1] 2h(4k 2 4k 1 1) 4k (k 1) 2h 8 8 8 e dice: “ … se k è pari, 4k è multiplo di 8 (Anna indica il numero 8 della formula), così rimane un multiplo di 2 (Anna indica il numero 2 della formula), e siamo a posto. Se k è dispari … (Anna semplifica 8 con 4 nel solito modo, scrivendo 2 vicino a 8; poi semplifica il 2 col 2 che è coefficiente di h nella formula) Se k è dispari, non va … NO! Se k è dispari, k + 1 (Anna indica il k + 1 della formula) è pari e siamo a posto!” Episodio 6: Anna guarda di nuovo il testo del problema e dice: “Ma i primi non c’entrano niente! Bastano i dispari!”. Altri esercizi Proponiamo qualche esercizio di livello di complessità crescente. Alcuni di questi esercizi possono essere proposti anche nella scuola dell'obbligo, molti solo a studenti con una buona esperienza matematica, molti possono essere proposti, a diverso livello, sia a studenti che iniziano a lavorare con il linguaggio algebrico, sia a studenti con buone competenze. Possono quindi essere utilizzati sia per introdurre, sia per affinare, sia per recuperare abilità nell'uso del linguaggio dell'algebra (si pensi, per esempio, alla giustificazione delle formule relative alla somma di numeri naturali appartenenti a un certo insieme, che può essere effettuata per via geometrica, ricorrendo all'intuizione o al principio di induzione). 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) È vero che n e n+1 sono primi fra loro? Perché? Esistono numeri che hanno n divisori? Esistono numeri che hanno n 1 divisori? È vero che se a divide b e a divide c, allora a divide (b+c)? Perché? È vero che se a divide b + c , allora a divide b e a divide c? È vero che se a è dispari, allora a e a+2 sono primi fra loro? È possibile trovare un numero non primo e maggiore di 1, che non sia divisibile per 2, n per 3, né per 5, né per 7, né per 11? In caso affermativo, quale è questo numero? 8) È vero che se a e b sono numeri naturali tali che 3a = 2b, alora a+b è multiplo di 5? 9) Nelle seguenti formule n rappresenta un numero naturale. Esamina se le seguenti affermazioni sono vere o false ; nel secondo caso, riesci ad individuare un sottoinsieme di N che le renda vere ? 2 n 2 +1 è un numero primo 2n > n3 2 4 n +1 è divisibile per 3 n ! < nn 1 qn 1 1 q n(n 1)(n 2) 11) Dimostra che, per ogni n 1, 1 22 32 .... n 2 6 10) Dimostra che, per ogni n 1, 1 q q 2 q 3 .... q n 12) Dimostra che, per ogni n , n < 2n n 2 ( n 1) 2 13) Dimostra che 13 2 3 33 ... n 3 (1 2 .... n ) 2 4 14) Dimostra che per ogni numero naturale maggiore di 1 si ha che: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ (n-1)n = (n 1)n(n 1) 3 15) Dimostra che per ogni numero naturale maggiore di 0 si ha: 1.2.3 + 2.3.4 +3.4.5 + ...+ n(n+1)(n+2) = n(n 1)(n 2)(n 3) 4 16) Dati tre numeri a, b, c, supponiamo che il loro massimo comun divisore sia 1. Possiamo concludere che tra i tre numeri dati vi è una coppia di numeri primi fra loro? Oppure che il prodotto dei tre numeri è uguale al loro minimo comune multiplo? Oppure che almeno uno dei tre numeri è multiplo di 3? Giustifica la risposta. 17) È vero che “se n è un numero dispari maggiore di 3, i numeri n, n + 2, n + 4 non possono essere tutti primi, qualunque sia n”? 18) È vero che “dati tre numeri a , b , c tali che siano primi fra loro, allora vi è almeno una coppia di numeri primi fra loro”? 19) È vero che “dati tre numeri a , b , c tali che siano primi fra loro, allora fra i tre numeri non vi è alcuna coppia di numeri pari”? 20) È vero che “dati tre numeri a , b , c tali che siano primi fra loro, allora almeno uno dei tre numeri è multiplo di 3”? 21) È vero che un numero primo p è primo con tutti i numeri che non sono suoi multipli? 22) È vero che se p e q sono primi, allora m.c.m.(p,q) = pq? 23) I numeri p e q sono primi. Cosa si può dire di p + q , pq , pq + 1, p2 + q2 + 1? 24) Ricostruisci la seguente operazione sapendo che le cifre sono numeri primi * * * * ______ * * * * 25) È vero che se due numeri sono primi fra loro, allora la loro somma è primo con ciascuno dei numeri? Perché? 26) È vero che la formula f(n) = 6n+5 genera infiniti numeri primi. 27) A partire dalla seguente proposizione: “se p è un numero primo che divide il prodotto a a .... a , allora p deve dividere almeno uno dei numeri naturali a ,a ,....,a ” , 1 2 n 1 2 n dimostra il teorema fondamentale dell’aritmetica, e cioè che ciascun numero naturale è scomponibile in uno e un solo modo ( a meno dell’ordine dei fattori) in fattori primi. 28) È vero che se a un numero di quattro cifre si addiziona il numero ottenuto invertendo l'ordine delle cifre si ottiene un multiplo di 11? Perché? Chiudi e ritorna al documento iniziale
