CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 11
ENUNCIATO del teorema:
un numero naturale è divisibile per 11 se e solo se la differenza tra la somma delle cifre che
occupano le posizioni “dispari” e la somma delle cifre che occupano le posizioni “pari” è un
”multiplo” di 11.
Precisazione 1: per posizioni dispari si intendono, leggendo il numero da destra a sinistra, la posizione delle unità (1ᵒ
posizione), delle centinaia (3ᵒ posizione), ... ; per posizioni pari si intendono, leggendo il numero da destra a sinistra, la
posizione delle decine (2ᵒ posizione), delle migliaia (4ᵒ posizione),…
Precisazione 2: con l’espressione ”multiplo” di 11 in questo caso si intende un significato leggermente diverso dal solito, ci
si riferisce cioè oltre ai numeri 0,11,22,33,44,… anche ai numeri -11,-22,-33,-44…, cioè ci si riferisce a qualsiasi numero
che si ottiene moltiplicando 11 per un numero intero relativo.
IPOTESI
,
(consideriamo cioè un qualsiasi numero naturale composto da 4 cifre)
(la differenza tra la somma delle cifre che occupano le posizioni “dispari” e
la somma delle cifre che occupano le posizioni “pari” è un “multiplo” di 11)
TESI
(k è allora un multiplo di 11, k è divisibile cioè per 11)
DIMOSTRAZIONE
Osserviamo innanzitutto che
,
cioè che il “resto” della divisione tra una potenza di 10 e 11 si può scrivere in modo che sia sempre uguale a +1 o a -1.
Quindi riscriviamo il numero k usando questa osservazione:
( prop. distributiva)
(prop. commutativa)
(raccoglimento a fattor comune)
(moltiplicazione per 1)
(per la seconda ipotesi)
(raccoglimento a fattor comune)
C.V.D.
