appendice

APPENDICE
111
APPENDICE
DEFINIZIONI
- Angolo di posizione, angolo formato dalle due semirette uscenti dal punto dell’osservatore ai punti collimati.
- Angolo orizzontale, angolo formato da due piani verticali passanti per la verticale nel
punto dell’osservatore e le verticali nei punti collimati.
- Angolo azimutale, angolo formato dalla tangente ad un meridiano ad un punto S e la
congiungente del punto S con il punto A considerato.
- Angolo zenitale, angolo formato dalla verticale e dalla congiungente tra l’osservatore e
un punto qualsiasi.
- Angolo verticale, angolo compreso fra due direzioni in un piano verticale oppure é
quell’angolo che si ottiene dalla differenza tra due angoli zenitali.
- Angolo d’inclinazione. angolo che come direzione fissa quella orizzontale; come seconda direzione quella al di sopra dell’orizzontale nel caso dell’angolo di elevazione e
quella al di sotto dell’orizzontale nel caso dell’angolo di depressione.
- Angolo di direzione, angolo formato da due direzioni di cui una fissa. Conoscendo le
coordinate di due punti posso stabilire l’angolo di direzione rispetto ad un asse o ad un
altro e viceversa.
- Superficie agraria, la proiezione ortogonale su un piano orizzontale di un appezzamento
di terreno delimitato da una linea chiusa detta di confine.
112
APPENDICE
FORMULARIO
• PASSAGGIO DA UN SISTEMA DI MISURE ANGOLARI AD UN ALTRO
1 - αr =
π
⋅αo
180
2 - αg =
200
⋅ αr
π
3 - αg =
200 o
α
180
dalle 1, 2 e 3 si ricava anche:
1 ≅ 0,01745 rad
o
1o ≅ 1g,1111 ≅ 1g 11c 11cc ,11
1 rad ≅ 57o17′ 44′ ′ ,81
1 rad ≅ 63g,66 20 ≅ 63g 66 c 20 cc
1 ≅ 0 54′
g
o
1 ≅ 0,01571 rad
g
Per saper quanti secondi ci sono in un radiante, mediante la proporzione:
2π : 360 ⋅60 ⋅ 60 = 1: α ′ ′
si ha:
1 rad = 206.264, 8′′ .
Dalla relazione precedente si ricava anche:
1′′ =
1
206264
rad
ossia
1′′ = 0,000 004 848 rad
Per passare ai radianti quando gli angoli sono espressi in secondi sessagesimali si usa la seguente espressione:
α r = 0,000 004 848 136 812 x α ′ ′
α r = α ′′ arc 1′′ ove arc 1′ ′ = 4,848 136 812 x 10
−6
113
APPENDICE
Inversamente si ha: α ′ ′ = α r / arc 1′′ = α r x 206264,8062
• FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
y ≡ Nord
A
B
D
P
H
α
r
C
0
E F
x ≡ Est
Convenzione Catastale
sen α =
HP
OH
; cos α =
r
r
posto OP = r = 1, si ha : sen α = HP; cos α = OH; tg α = AB; cot g α = DC ;
sapendo che: AB : HP = OA : OH dove OA = r = 1
si ha : tg α = AB =
HP sen α
OH cos α
=
; cot g α = DC =
=
OH cos α
HP sen α
Valori delle funzioni trigonometriche degli angoli fondamentali
Funzioni
0°
90°
180°
270°
360°
sen
0
1
0
-1
0
cos
1
0
-1
0
1
tg
0
±∞
0
±∞
0
cotg
±∞
0
±∞
0
±∞
• LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE
Dalla similitudine dei triangoli OAB e OHB si ricava
AB:HP = OB:OP , sostituendo si ha: tgα: senα = OB:1; si ricava
OB =
tgα
senα
1
=
=
= secα
senα cosα ⋅ senα cosα
(secante)
114
APPENDICE
∆
∆
Analogamente dalla similitudine dei triangoli OCD e OEB si ottiene
DC:BE = OC:OE dove AB = OE ; BE = OC = 1
sostituendo si ha
1
1
1
=
=
= cot gα
OE AB tgα
DC =
(cotangente)
Invece dalla similitudine dei triangoli
∆
∆
OCD e OFP si ottiene
DC:PF = OD:OP dove PF = OP ; OP = r = 1
sostituendo si ha :
cotg α: cosα = OD:1
OD =
cot gα
cosα
1
=
=
= cos ec α
cosα senα ⋅cosα sen α
(cosecante)
• RELAZIONI FRA LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI UNO STESSO ANGOLO
sen α + cos α = 1
2
2
tg α
sen α = ± 1 − cos α =
2
± 1 + tg 2 α
1
cos α = ± 1 − sen α =
2
tg α =
sen α
± 1− sen 2 α
ctg α =
± 1 − sen 2 α
sen α
=
± 1+ tg2 α
=
=
± 1− cos 2 α
=
cos α
1
± 1+ ctg 2α
ctg α
± 1 + ctg 2α
=
cos α
± 1− cos2 α
1
ctg α
=
1
tg α
• RELAZIONI FRA LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI DUE ANGOLI
sen (90 ° − α ) = cosα = sen (90° + α) = + cosα
cos (90 ° − α ) = senα = cos (90° + α) = − senα
115
APPENDICE
tg (90° − α ) = cotg α = tg (90° + α ) = − cotgα
cotg (90° − α) = tg α = cotg (90° + α ) = − tgα
sen (α + β ) = sen α cosβ ± cosα senβ
cos (α ± β ) = cosα cosβ m sen α sen β
tg (α ± β ) =
tgα ± tgβ
1 m tgα tgβ
cotg (α ± β ) =
=
sen 2 α − sen2 β
senα cosα m sen β cosβ
cotgα cotgβ m 1
cotgβ cotg α
cos 2 α − sen2 β
=
senα cosα ± senβ cosβ
sen (α + β ) + sen ( α − β) = 2 senα cosβ
sen (α + β ) − sen (α − β ) = 2 cosα senβ
cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2 cosα cosβ
cos (α + β ) − cos (α − β ) = −2 sen α senβ
sen(α + β ) sen(α − β ) = sen 2 α − sen2 β = cos2 β − cos2 α
cos(α + β ) cos(α − β ) = cos 2 β − sen 2 α = cos2 α − sen 2 β
• FORMULE DI PROSTAFERESI
senα + sen β = 2 sen
senα − sen β = 2 cos
cosα + cosβ = 2 cos
α +β
2
α+β
2
α+β
cosα − cosβ = −2 sen
2
α+β
2
cos
sen
cos
α−β
2
α −β
2
α −β
sen
2
α−β
2
116
APPENDICE
tgα ± tgβ =
sen(α ± β )
cosα cosβ
cotg α ± cotgβ =
senα senβ =
cosα cosβ =
senα cosβ =
tgα tgβ =
sen (β + α )
senα senβ
cos(α − β)
2
cos(α − β)
2
sen(α + β)
2
−
+
+
tgα + tgβ
cotgα + cotg β
cotg α cotgβ =
cos(α + β)
2
cos(α + β)
2
sen(α − β)
2
=−
cotgα + tgβ
tgα + cotgβ
tgα − tgβ
cotgα − cotgβ
cotgα − tgβ
=−
tgα − cotgβ
• MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UN ANGOLO
sen2α = 2 sen α cosα; cos 2α = cos 2 α − sen2 α
tg 2α =
2 tgα
1− tg α
2
cotg 2α =
=
2
cotgα − tgα
cotg2 α − 1
2 cotg α
=
cotg α
2
−
tg α
2
sen3α = 3senα − 4sen3 α; cos3α = 4cos 3 α − 3cosα
tg 3α =
3tgα − tg 3α
1 − 3tg3 α
; cotg 3α =
cotg3 α − 3cotgα
3cotg 2 α − 1
n
n
sen nα = n senα cos n−1 α −   sen 3 α cos n−3 α +   sen5 α cosn −5 α−...
3
5
n
n
cos nα = cosn α −   sen2 α cos n− 2 α +   sen 4 α cosn −4 α−...
2
4
117
APPENDICE
α
senα = 2 sen
cos
2
α
2
α
; cosα = cos2
2
− sen 2
α
2
α
α
cotg2 − 1
2 ; cotgα =
2
tgα =
α
α
2
1 − tg
2 cotg
2
2
2 tg
sen
cos
tg
α
2
α
2
α
2
cotg
=
=
=
α
2
1 − cos α
2
1+ cos α
2
senα
1 + cos α
=
=
senα
1 − cos α
=
=
1+ sen α − 1 − sen α
2
1+ sen α + 1 − sen α
2
1 − cos α
sen α
=
1 + cos α
sen α
1− cos α
=
1+ cos α
=
1 + cos α
1 − cos α
cos α ± senα 1± sen 2α = 2 sen (45° ± α)
• RELAZIONI PER UN TRIANGOLO
A
α
c
b
β
B
Teorema dei seni:
a
sen α
=
b
sen β
=
c
sen γ
Teorema delle proiezioni
a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cosβ
b = c ⋅ cos α + a ⋅ cosγ
γ
a
C
118
APPENDICE
c = a ⋅cos β + b ⋅cos α
Teorema di Carnot:
a = b + c − 2bc ⋅ cos α
2
2
2
b 2 = a 2 + c2 − 2ac ⋅ cos β
c 2 = b2 + a 2 + 2ba ⋅cos γ
Teorema di Nepero o delle tangenti
α+β
a+b
2
=
α−β
a−b
tan g
2
tan g
Formule di Briggs
sen
cos
tg
α
2
α
2
α
2
( p − b) ⋅ ( p − c )
=
b⋅c
p ⋅ ( p − a)
=
=
b⋅c
( p − b) ⋅ ( p − c )
p⋅ (p − a )
dove p é il semiperimetro del triangolo
• AREA DEL TRIANGOLO
S=
a ⋅ b ⋅sen γ
2
Formula di Erone:
S = p( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ (p − c )
119
APPENDICE
• AREA DEL QUADRILATERO
B
b
C
β
a
γ
α
c
δ
A
d
D
2S = ab senβ + bc sen γ − ac sen (β + γ )
• AREA DI UN POLIGONO QUALSIASI
B
b
a
C
β
γ
α
c
δ
A
E
d
D
Formula di camminamento
2S = ab senβ + bc sen γ + cd senδ+...−ac sen(β + γ ) − bd sen(γ + δ) +...+ ad sen(β + γ + δ)+...
• PRODOTTI NOTEVOLI
(a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b 2
a 2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a ± b)3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3
(a + b + c )2 = a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
(a − b − c )2 = a 2 + b2 + c2 − 2ab + 2bc − 2ac
120
APPENDICE
• POTENZE E RADICALI
a ⋅a = a
m
p
a :a = a
m+ p
m
p
m− p
Comunque sia l’esponente reale:
 a 
 b
(abc) = a b c ;
m
m
m m
m
=
am
b
m
;
(a )
m p
= a mp
• PROPORZIONI
a
Se
a
c
b
=
b
d
=
c
d
;
d
c
equivalente a: ad=bc si ha:
=
b
a
;
d
c
= ;
b a
a
a±b
=
c
c±d
a±b
;
b
=
c±d
d
• LOGARITMI
lg a b = c a c = b
( o p a ≠ 1; b f o)
lg a ( b ⋅ c) = lga b + lg a c
lg a ( b:c) =
lg a n b =
lga b − lg a c; lg a bn = n lga b
1
lga b; a lg a b = b; lg a a = 1;
n
lg e b = ln b; lg o = −∞;
lga 1 = 0
lg+ ∞ = +∞
lg a x = lga e ⋅ lg e x
• EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
ax 2 + bx + c = o
a)
∆ = b − 4ac > o
x ′  −b ± b2 − 4ac
=
2a
x ′′ 
b)
∆ = b2 − 4ac = 0
x′ = x ′′ = −
2
b
2a
;
a −b
a +b
=
c−d
c+d
121
APPENDICE
x ′  −b ± i 4ac − b 2
=
2a
x ′′ 
∆ = b − 4ac < o
2
c)
• DERIVATE
f (x + ∆x) − f (x)
D f ( x) = f ′ (x ) = lim
∆x
∆ x→o
=
df
dx
D cost = o

 per n = 1 D x = 1


1
1
n
n−1
D x =nx 
n=
D x=
2

2 x

1
1
n = −1 D = − 2

x
x

Figure 1
D a = a lg a
x
x
D lga x =
[se
a = e si ha
1

lga e se a = e si ha
x

1
x
]
1
D lg x = 
x
D cot g x = −
2
cos x
D arcsen x =
x
D cos x = − sen x
D sen x = cos x
D tg x =
D e =e
1
1 − x2
; D arc cos x = −
• REGOLE DI DERIVAZIONE
n
n
K=0
K=0
D ∑ a K f K ( x) = a K ∑ D f K ( x)
D f ( x)g(x ) = f ′ (x)g( x) + f (x)g ′ (x )
D f [ϕ( x)] = f ′ [ϕ (x )]ϕ ′ (x )
1
sen2 x
1
1 − x2
;
D arctg x =
1
1+ x2
122
APPENDICE
D
f (x )
g( x)
=
f ′ (x ) g(x) − f (x) g ′ (x )
g2 ( x)
• DIFFERENZIALE DELLA FUNZIONE
d f (x ) = f ′ ( x) dx
• INTEGRALI
∫ x dx =
2
∫
dx
x n+1
n +1
+c
(per n ≠ −1)
∫2
= lg x + c
x
∫ cos x = sen x +
1
∫ cos
2
x
dx = x + c
∫ sen x
c
∫a
dx = tg x + c ;
x
1
x
dx =
ax
lg a
dx = − cos x + c
+c
[ per a = e siha ∫ e dx = e + c]
x
∫
1
1− x 2
1
∫1+x
2
x
dx = ± arc sen x + c
dx = arc tgx + c
f ′ (x )
∫ f ( x) dx = ∫
df (x )
f ( x)
= lg f (x ) + c ;
∫2
f ′ (x )
• DERIVALE PARZIALI FONDAMENTALI
z = a x + b y;
z = x ⋅ y;
∂z
∂x
∂z
∂x
= y;
∂z
= a;
∂z
∂y
∂y
;
=s
∂z
∂y
=x
f (x )
dx = f ( x) + c
123
APPENDICE
z=
cosx ∂z
senx ∂z
sen x⋅ cosy
;
=−
;
=−
cosy ∂x
cosy ∂ y
sen 2 y
• REGOLE DI INTEGRAZIONE
∫ [∑
K
]
a K fK (x ) dx = ∑ K a K ∫ fK ( x) dx
in particolare
 a f ( x) dx = a f (x ) dx
∫
∫

 [fi ( x) + f2 (x )]dx = f1 (x ) dx + f2 ( x) dx
∫
∫
∫
∫ udv = uv − ∫ v d u
[ ∫ f ( x) dx ]
x =ϕ ( t )
(integrazione per parti)
= ∫ f[ ϕ( t )]ϕ ′ ( t ) dt
(integrazione per sostituzione)
Non sono forme indeterminate
0
∞
= 0;
∞
0
= ∞; ∞⋅∞= ∞
+ ∞ + ∞ = + ∞ ; 0 ∞ = 0 ; 0− ∞ = +∞
a ∞ = +∞ ;a −∞ = 0 ; ∞ ∞ = ∞ per a > 1
Trasformazione delle forme indeterminate 0 ⋅ ∞ ; + ∞ − ∞ ; 1∞ ; 0 0 ; ∞0
in quelle del tipo
0
0
ed
∞
∞
Regola di de L’Hospital (per le forme indeterminate
lim
x→ x 0
f (x )
g( x)
= lim
x→ x 0
0 ∞
; )
0 ∞
f ′ (x )
g′ ( x)
Formula di Taylor: per f(x) nel punto xo (con resto di Lagrange)
f ( x) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )(x − x 0 ) +
f ′ ′ (x 0 )
2!
( x − x0 )
2
+…+
f n (x 0 )
n!
per x0 = 0 si ha l’espressione particolare di Mac Laurin
( x − x0 )
n
+
f ( n+1 ) ( ξ)
n +1
(x − x0 ) n+1
124
APPENDICE
TOLLERANZE
•
IL CATASTO STABILISCE
- Per la misura diretta della Distanza in andata e ritorno
Tl = 0,015 D + 0,0002D
per terreno pianeggiante
Tl = 0,020 D + 0,0002D
per terreno ondulato
Tl = 0,025 D + 0,0002D
per terreno accidentato
dove D é il valore medio della distanza. Prima dell’ottobre 1987 le norme catastali ponevano
nella formula il coefficiente 0,0008 invece di 0,0002.
- Per la misura indiretta della distanza
Tl = 0,015 D
con stadia verticale
Tl = 0,025 D
con qualsiasi strumento (poligonali)
Tl = 4 cm
con distanziometro elettro-ottico e distanze misurate da due estremi
- Per la misura degli angoli
Tα = 2 ,5 n
per angoli centesimali e con poligonali
aventi sviluppo L > 2000 m
Tα = 1
per angoli centesimali e con poligonali
con sviluppo L compreso tra 2000 e 5000
m
c
c
•
n
L’I.G.M. STABILISCE
- Per la misura diretta della distanza in andata e ritorno
Tl = 0,008 D + 0,00035 ⋅D + 0,02
per terreno pianeggiante
Tl = 0,010 D + 0,00040 ⋅D + 0,02
per terreno ondulato
Tl = 0,012 D + 0,00045⋅ D + 0,02
per terreno accidentato
- Per la misura degli angoli
Tα = 45′ ′ n + 45′ ′
per angoli sessagesimali
Tα = 1 ,5 n + 1 ,5
per angoli centesimali
c
c
125
APPENDICE
RICHIAMI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE
- Una curva C si dice sghemba se i suoi punti non appartengono ad un piano dello spazio.
- La tangente alla curva C in un suo punto P qualsiasi è la retta posizione limite della
corda PP1 al tendere di P1 a P, il punto P1 appartiene alla curva C.
- La normale ad una curva C in un punto P è la perpendicolare alla tangente ivi a C.
- Il piano normale a C nel punto P è il piano in cui giacciono le ∞1 rette normali a C nel
punto P.
- Il piano osculatore in un punto P della curva C è il piano contenente la tangente alla
curva nel punto P ed un punto P1 della curva al tendere di P1 al punto P, ossia è il piano
che contiene la curva nel punto P.
- La normale principale alla curva C in P è la retta per P perpendicolare alla tangente in
quel punto ed appartenente al piano osculatore alla curva C in esso.
- Si definisce binormale a C in un punto P, la retta per P perpendicolare al piano osculatore in P alla curva C.
- Si definisce la curvatura o flessione o prima curvatura della curva C nel punto P, il
limite
1
=
ρ
lim
∆S → 0
θ
∆S
dove ρ è il raggio di curvatura, θ è l'angolo di contingenza, formato dalle tangenti alla curva
∩
nei suoi punti P e P1 e ∆S è lunghezza dell'arco PP 1 .
- Se l'equazione della curva C è del tipo y = f(x), l'espressione della curvatura in un punto
P(x,y) è data da:
1
=
ρ
f"
2
(1 + f ' ) 3 / 2
- Si definisce seconda curvatura o torsione di C in un suo punto P il limite
1
=
τ
lim
∆S → 0
ϕ
∆S
dove ϕ è l'angolo tra i piani osculatori nei suoi punti P e P1 , τ è i raggio di torsione di C in
P. Una curva a torsione nulla in ogni suo punto è piana.
- Si definisce piano tangente ad una superficie S in un suo punto P il piano formato dalle
rette tangenti alle curve della superficie S per P.
- La normale alla superficie S nel punto P è la retta per P perpendicolare al piano tangente in quel punto.
- Si definisce piano normale alla superficie S in un suo punto P e per una data tangente
in quel punto, il piano formato dalla sua normale nel punto P e dalla tangente conside-
126
APPENDICE
rata.
- Il raggio di curvatura ρ in un punto P della superficie S varia quindi al variare della
sezione normale ossia della tangente per P.
- Le sezioni normali, in corrispondenza delle quali i valori dei raggi di curvatura assumono rispettivamente il valore massimo e minimo, prendono il nome di sezioni principali di curvatura e i raggi prendono il nome di raggi principali di curvatura : R1 e R2.
Il raggio R2>R1 prende il nome di Gran Normale. Le sezioni principali risultano essere
tra loro ortogonali.
- La curvatura 1/ρ di una linea C per una superficie S per un suo punto P dipende solamente dal piano osculatore alla curva C in P e pertanto curve per P aventi lo stesso piano osculatore hanno la stessa curvatura in P.
Il valore della curvatura della linea C nel punto P è data da:
ρ = ρ n cos ω
dove ρ n è il raggio di curvatura della sezione normale per la tangente alla curva C e ω è
l'angolo formato tra la normale alla superficie S e la normale principale alla curva C nello
stesso punto.
Il teorema di Meusnier può essere così enunciato:
in un punto P di una superficie S, il raggio di curvatura di una sezione piana eguaglia il prodotto del raggio di curvatura della sezione normale con la stessa tangente, per il coseno dell'angolo acuto formato dai piani di dette due sezioni.
- La formula di Eulero :
2
2
1
2
1
cos θ
sen θ
=
+
ρn
R
R
fornisce la curvatura in un punto P di una qualsiasi sezione normale di S in P, noti i
raggi principali di curvatura di S in P e l'angolo θ che la tangente in P alla sezione normale considerata forma con la tangente in P ad una delle sezioni principali di curvatura.
- I teoremi di Meusnier e la formula di Eulero consentono di conoscere la curvatura in un
punto P di tutte le curve per esso tracciate su una superficie S, conoscendo soltanto i
raggi principali di curvatura.
- Dicesi curvatura totale o gaussiana di una superficie S in un punto P l'espressione:
K=
1
1
⋅
R
R
1
2
- Dicesi curvatura media l'espressione:
H=
1
1
+
R
R
1
2
127
APPENDICE
- La curvatura totale può essere: K .<.. 0:
>
1. Se K > 0, il punto P è ellittico; 1/R1 e 1/R2 sono dello stesso segno e così per ogni altra
sezione normale. Se ne deduce che in P tutte le curve volgono la concavità dalla stessa
parte del piano tangente.
2. Se K < 0, il punto P è iperbolico; 1/R1 e 1/R2 hanno segno opposto e le sezioni normali
volgono la concavità da una parte o dall'altra del piano tangente a S in P a seconda della
posizione delle relative tangenti sulla superficie.
3. Se K = 0, il punto è parabolico; una delle due curvature principali è nulla.
- Due superfici S ed S', che possono deformarsi l'una nell'altra in modo da non alterare la
lunghezza delle linee tracciate su di esse, si dicono applicabili . Le superfici applicabili
su di un piano si dicono anche sviluppabili .
- Due superfici S ed S' sono isometriche quando è possibile porre una corrispondenza biunivoca tra esse (isometria), tale che le linee corrispondenti abbiano la stessa lunghezza.
- Due superfici isometriche o applicabili hanno la stessa curvatura totale; pertanto le superfici applicabili sul piano, ossia sviluppabili devono avere in ogni punto , come il piano, curvatura totale K = 0 .
Le uniche superfici applicabili sul piano sono le rigate sviluppabili: coni, cilindri e rigate
luogo delle tangenti ad una curva sghemba.