Incidenza oltre l`angolo limite Abbiamo visto che nel caso d

CAMPI ELETTROMAGNETICI E CIRCUITI II, A.A. 2013-14, MARCO BRESSAN
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Incidenza oltre l’angolo limite
Abbiamo visto che nel caso d’incidenza oltre l’angolo limite l’onda trasmessa non può essere un’onda
piana uniforme. Cerchiamo la soluzione nell’ambito delle onde piane non uniformi e, da quanto visto a
proposito delle onde evanescenti, poniamo
= F⊥ p⊥ + F p
E
e−γ · r
2
= 1 | γ | c F p − j ω n2 F p⊥ e−γ · r
H
⊥
ηo j ω
c | γ |
(1)
(2)
dove:
• il vettore γ =α
+ j β ha componenti reale e immaginaria non parallele;
• i vettori di polarizzazione p
⊥ e p rappresentano polarizzazioni ortogonali a γ , in particolare p⊥
rappresenta la polarizzazione lineare nella direzione perpendicolare ad α
e a β , p una polarizzazione
e β;
ellittica sul piano definito da α
• le costanti F⊥ e F definiscono l’ampiezza e la fase delle componenti perpendicolare e parallela
dell’onda piana in r = 0.
e
Nelle onde piane evanescenti, diversamente da quanto avviene per le onde piane uniformi, i vettori α
β non sono definiti univocamente dalla pulsazione e dalle caratteristiche del mezzo, ma devono essere
determinati in modo che siano verificate le relazioni imposte dalle equazioni di Maxwell
| β |2 − | α
|2 = Re(k 2 )
2α
· β = − Im(k 2 )
(3)
e, nel caso che stiamo considerando, dalla condizione che le variazioni di fase e ampiezza dei campi
sull’interfaccia siano uguali alle variazioni di fase e ampiezza che sull’interfaccia hanno l’onda incidente
e l’onda riflessa.
Dato che l’ampiezza del campo incidente, sull’interfaccia, non varia né rispetto a x né rispetto ad y ,
α
non può avere che componente secondo z , inoltre l’uguaglianza delle variazioni di fase dei campi
sull’interfaccia impone che la proiezione di β sul piano dell’interfaccia sia uguale alla proiezione sullo
stesso piano del vettore di propagazione dell’onda incidente. La seconda delle relazioni imposte dalle
equazioni di Maxwell, esclude che β possa avere componente non nulla lungo z (avendo assunto che i
devono essere perpendicolari.)
mezzi siano senza perdite, Im(k 2 ) = 0 per cui β e α
Pertanto possiamo porre
ω
β = n1 sin ϑ1 ux
c
α
= α uz
Dalla prima delle equazioni (3) otteniamo
ω 2
n1 sin2 ϑ1 − n22
c
dato che abbiamo supposto n1 > n2 e sin ϑ1 > sin ϑL = n2 /n1 , il termine sotto radice risulta positivo e
α può essere anche scritto nella forma
α=
| β |2 − Re(k 2 ) =
α=
Si trova pertanto
ω
n1
c
γ × uy
p =
| γ |
sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
ω
n1
sin2 ϑ1 − sin2 ϑL uz + j sin ϑ1 ux
c
= uy
γ =
p⊥
=
− sin2 ϑ1 − sin2 ϑL ux + j sin ϑ1 uz
2 sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
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Avendo definito γ , p⊥ e p , siamo in grado di calcolare le componenti secondo x e y del campo elettrico
e magnetico. In r = 0 risulta:
2
2
· ux = − F sin ϑ1 − sin ϑL
E
2 sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
· uy = F⊥
E
· ux = j 1 F⊥
H
η1
sin2 ϑL
· uy = −j 1 F H
η1
2 sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
Definendo ancora i coefficienti di riflessione e trasmissione, ponendo cioè sia per le componenti perpendicolari che parallele F = F Γ, F = F T , dalle equazioni di continuità si ottiene:
⎧
⎨
⎩
1 + Γ⊥ = T⊥
(−1 + Γ⊥ ) cos ϑ1 = j T⊥ sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ (1 − Γ ) cos ϑ1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
= T sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
2 sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
(1 + Γ ) = j T sin2 ϑL
2 sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
da cui si ricava
Γ⊥ =
T⊥ =
cos ϑ1 + j sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
cos ϑ1 − j sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
2 cos ϑ1
cos ϑ1 − j sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
Γ =
sin2 ϑL cos ϑ1 + j sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
sin2 ϑL cos ϑ1 − j sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
T =
2j cos ϑ1 2 sin2 ϑ1 − sin2 ϑL
sin2 ϑL cos ϑ1 − j sin2 ϑ1 − sin2 ϑL