Disequazioni di 1° grado,di 2°
grado e superiore al secondo
Una disequazione è una disuguaglianza in
cui compaiono espressioni letterali per le
quali cerchiamo i valori di una o più
lettere che rendono la disuguaglianza
vera.
Esempi:
1° grado: 6x+5>0
2° grado: 6x2+5>0
4
2
Superiore al secondo: x +13x +36>0
Disequazione di 1° grado
Le disequazioni di primo grado sono così chiamate poiché
hanno almeno un’incognita elevata ad uno:
5(x+2x-5) 5x+10x-25>0 5x+10x>+25 15x>+25
5
15 x > 253 x > 5
3
15
15
In questa disequazione di primo grado, inizialmente abbiamo eliminato la
parentesi svolgendo i vari calcoli; successivamente abbiamo portato il
termine noto a secondo membro e addizionato le incognite a primo
membro e in questo modo abbiamo trovato la disuguaglianza per la quale
x è maggiore di 5
3
Esercitazioni (disequazioni di 1°
grado)
1)
5x-8 > 3x-6
(x>1)
2)
8x-4+x+7 > -15
3)
5x (x+5) > 5x2+24x
4)
(x+4) < x +10x-16
5)
(x+1)(x2-x+1)+(x+1) -5x > 5(1-x)+x (1+x)+2
2
(x>-2)
(x>0)
(x>16)
2
2
2
(x>5)
2
Disequazione di 2° grado
Le disequazioni di secondo grado sono così chiamate poiché
hanno almeno un’incognita elevata a due:
15x 2 +2x -1>0
22 -4 (15) (-1) 64
X
X1=-2+8 =
1
= -2
+8
30 5
______
15x2 X2=-2-8 = -10 = -1
30
30
Per prima cosa abbiamo trovato il delta attraverso la formula
b 2 - 4ac
ed infine con il delta siamo riusciti a trovare i risultati x1 e x2 con
la formula________
-b+
Nel caso in cui, nella disequazione la a > 0 si
distinguono tre casi:
a)
b)
c)
>0
<0
=0
f(x)>0
x<x1 U x>x2
(risultati interni)
f(x)<0
x1< x <x2
(risultati
f(x)>0
S= R-x1=x2
f(x)<0
S= O
(non ci sono soluzioni)
f(x)>0
S= R
(x1 e x2 =numeri reali)
f(x)<0
/
S= O
(non ci sono soluzioni)
esterni)
(x=numeri reali)
Esercitazioni disequazioni di
2°grado
1)
3x2 -12>0
2)
4x2 +8x <12
2
3)
9x -12x+4<0
4)
7x (7x-2) > -1
5)
4x 2 +11x-3<0
(x<-2 U x>2)
(-3<x<1)
(x= R)
(x= R)
(-3<x< 1)
4
Disequazioni di grado superiore al 2°
Le disequazioni di grado superiore al 2° sono così chiamate
poiché hanno almeno un’incognita elevata a 3 o ad un numero
maggiore.
Per risolvere questo tipo di disequazioni bisogna utilizzare
metodi specifici in base alla disequazione che stiamo risolvendo.
Noi abbiamo studiato 4 tipi di disequazioni diverse:
1.Disequazione normale
x3-2x2-5x +6 > 0
2.Disequazione biquadratica x4 -13x2 +36>0
3.Disequazione binomia
4.Disequazione trinomia
x3-8<0
6
3
x -3x +2>0
Nel caso in cui la disequazione è normale si risolve utilizzando il
teorema di ruffini.
x 3-2x 2-5x +6 > 0
1
1
-2
-5 6
1
1
-1
-1 -6
-6 0
x= +1+(-2 x +1)+(-5 x +1)+6 = 1
x-1 > 0 → x > 1
x 2-x -6 > 0 → x < -2 V x > 3
1
-2
x>1
x < -2 V x > 3
3
-
-
+
+
+
-
-
+
+
+
-2< x <1 U x > 3
Per prima cosa abbiamo trovato il divisore del termine noto che sostituito
alla x da come risultato 0.
La seconda operazione è stata quella di applicare la regola di ruffini.
Per terza e ultima operazione si prendono le soluzioni trovate e se ne
studiano i segni
Nel caso in cui la disequazione è biquadratica si
risolve nel seguente modo
x4 -13x2+36 > 0
z2 -13z +36 > 0
2
x4 -13x +36 > 0
4
2
Equazione associata x -13x +36 = 0
Per x2 = z z 2 -13z +36 = 0
z1 = 4, z2 = 9
z<4Vz>9
x2 < 4 V x2 > 9
-2 < x < 2 V ( x < -3 V x > 3 )
Risolviamo l'equazione biquadratica associata introducendo l'incognita z ponendo x2 = z.
Otteniamo quindi la disequazione di 2° grado nell'incognita ausiliaria z equivalente alla
disequazione di 4° grado nell'incognita x.
2
La disequazione di 2° grado ci darà dei valori di z che saranno equivalenti per
sostituzione ai valori di x della disequazione di 4° grado
Nel caso in cui la disequazione è binomia si risolve nel
seguente modo
3
x -8 < 0
3
equazione associata
x -8 = 0
3
3
x=8
x<2
]-
x=
8 =2
;2]
Risolvendo l'equazione binomia associata otteniamo i valori della x per i
quali risulta verificata la disequazione
Nel caso in cui la disequazione è trinomia si risolve
nel seguente modo
x6 - 3x3+2 > 0
6
z2 -3z +2 > 0
z1 = 1, z2 = 2
z<1Vz>2
3
x3 < 1 V x3 > 2
x6 -3x +2 > 0
x<1 V x>
3
Equazione associata x - 3x +2 = 0
Per x3= z
z 2 -3z +2 = 0
3
2
3
Risolviamo l'equazione trinomia associata introducendo l'incognita z ponendo x = z.
Otteniamo quindi la disequazione di 2° grado nell'incognita ausiliaria z equivalente alla
disequazione di 6° grado nell'incognita x.
La disequazione di 2° grado ci darà dei valori di z che saranno equivalenti per
sostituzione ai valori di x della disequazione di 6° grado
