Matematica 1

Matematica 1
I Numeri naturali
I numeri naturali sono stati introdotti, fin dall’antichità, per contare gli oggetti di un certo insieme.
Si definiscono numeri naturali quelli che vengono usati per esprimere quanti sono gli elementi di un
insieme non infinito.
L’insieme dei numeri naturali viene indicato dal simbolo N.
I numeri naturali sono zero, uno, due, tre, quattro,cinque, ………., cento, ……., mille, ….. e così via.
N
0,1,2,3,4,5,…….10,…….100,…… 1.000,…….
Se volessimo rappresentare graficamente la successione dei numeri naturali avremmo:
O
O
O
O
O
O
O
0
1
2
3
4
5
6
O
O
O
O
Dati due numeri naturali (a, b)si dice che:
- a e b sono uguali se occupano lo stesso spazio nella successione dei numeri naturali a = b;
- a è minore di b se a precede b nella successione dei numeri naturali a < b
- a è maggiore di b se a segue b nella successione dei numeri naturali a > b
Ne consegue che se a < b vale anche b > a e se a > b vale anche b < a
L’uguaglianza tra due numeri naturali gode delle seguenti proprietà:
-
proprietà riflessiva: ogni numero naturale è uguale a se stesso a = a
-
proprietà simmetrica: se il numero a è uguale al numero b, allora anche il numero b è
uguale al numero a
se a = b allora b = a
-
proprietà transitiva: se il numero a è uguale al numero b e, a sua volta, il numero b è
uguale al numero c, allora anche il numero a è uguale al numero c
se a = b e b = c allora a = c
La proprietà transitiva vale anche per i numeri naturali tra loro disuguali:
se a < b e b < c allora a < c
se a > b e b > c allora a > c
Operazioni in N
ADDIZIONE
La somma di due numeri naturali, di cui il secondo sia maggiore di uno, è il numero che si
ottiene aggiungendo al primo tante unità quante sono quelle indicate dal secondo numero.
La somma di un qualunque numero naturale con il numero uno da come risultato il numero
successivo a quello dato.
La somma di un qualunque numero naturale con il numero zero è il numero stesso.
I termini dell’addizione si dicono addendi.
L’addizione tra numeri naturali è sempre possibile.
L’addizione gode delle seguenti proprietà:


Proprietà commutativa a + b = b + a
Proprietà associativa (a + b) + c = a + (a + c)
Si dice elemento neutro dell’addizione quel numero che , sommato ad un numero qualsiasi, da
come risultato il numero stesso. L’elemento neutro è lo zero.
5 + 0 = 5
9 + 0 = 9
SOTTRAZIONE
Si chiama differenza di due numeri naturali (a e b), con a ≥ b, il numero naturale d che,
sommato al numero b, da come risultato il numero a.
d=a–b
Nell’operazione differenza il numero a si chiama minuendo ed il numero b si chiama
sottraendo.
La sottrazione gode della seguente proprietà:

Proprietà invariantiva: la differenza di due numeri non cambia se si aggiunge (o si
toglie), ad entrambi, lo stesso numero
a - b = (a + m) – (b + m)
a - b = (a - m) – (b - m)
La sottrazione è un’operazione non sempre possibile nell’insieme dei numeri naturali.
L’elemento neutro della sottrazione è il numero zero.
MOLTIPLICAZIONE
Si chiama prodotto di due numeri naturali (a e b) diversi da zero, la somma di tanti addendi
uguali ad a quante sono le unità rappresentate da b.
Il prodotto di un numero per il numero uno è il numero stesso, quindi il numero uno è
l’elemento neutro della moltiplicazione.
Il prodotto di un numero per zero è il numero zero.
Gli elementi della moltiplicazione si chiamano fattori.
La moltiplicazione in N è sempre possibile.
La moltiplicazione gode delle seguenti proprietà:




Proprietà commutativa a x b = b x a
Proprietà associativa (a x b) x c = a x (a x c)
Proprietà distributiva rispetto all’addizione a x (b + c) = a x b + a x c
Proprietà distributiva rispetto alla sottrazione a x (b - c) = a x b - a x c
L’elemento nullificatore della moltiplicazione è lo zero.
La legge di annullamento del prodotto specifica che se a x b = 0
allora a = 0
oppure b = 0
DIVISIONE
Dati due numeri naturali (a e b) diversi da zero, si chiama quoziente di a rispetto a b il numero
naturale q che, moltiplicato per b, da come risultato il numero naturale a
a:b=q
Il numero a prende il nome di dividendo, il numero b prende il nome di divisore ed il risultato c
viene chiamato quoziente.
Il divisore deve essere sempre diverso da zero.
La divisione gode della Proprietà invariantiva:
moltiplicando o dividendo entrambi i termini della divisione (sia il dividendo che il divisore) per
uno stesso numero diverso da zero, il risultato dell’operazione non cambia.
45 : 15 = 3
se moltiplico per 3 il dividendo ed il divisore, ottengo:
(45 x 3) : (15 x 3) = 135 : 45 = 3
se divido per 5 il dividendo ed il divisore, ottengo:
(45 : 5) : (15 : 5) = 9 : 3 = 3
La divisone non è sempre una operazione possibile con i numeri naturali (ad esempio 4 : 8 non
esiste tra i numeri naturali).
POTENZA DI NUMERI NTURALI
Si chiama potenza di un certo numero naturale ogni prodotto d fattori tutti uguali al numero dato.
Il fattore che viene ripetuto prende il nome di base, mentre il numero di volte che il numero viene
ripetuto nel prodotto viene chiamato esponente.
an = a x a x a x a x a x a x a x …….. x a
n vole
L’operazione con la quale si determina la potenza di un numero si chiama elevamento a potenza.
La potenza di un numero qualunque con esponente 1 da come risultato il numero stesso (base).
La potenza di un numero qualunque, diverso da zero, con esponente 0 da come risultato il numero
1.
Non si definisce la potenza con base 0 di esponente 0 in quanto non ha alcun significato.
Le potenze con base 0 danno sempre come risultato 0 (con esponente qualsiasi diverso da 0).
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
1) Prodotto di due potenze aventi la stessa base.
Il prodotto tra due o più potenze aventi base uguale da come risultato una nuova potenza
avente ancora la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
an
x
am = an+m
2) Quoziente di due potenze aventi la stessa base.
Il quoziente tra due o più potenze aventi base uguale da come risultato una nuova potenza
avente ancora la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
an
:
am = an-m
3) Potenza di una potenza.
La potenza di una potenza da come risultato una nuova potenza avente ancora la stessa base
e per esponente il prodotto degli esponenti.
(an )m = an x m
4) Potenza di un prodotto
La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze elevate all’esponente dato.
(a x b)n = an x bm
5) Potenza di un quoziente
La potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze elevate all’esponente dato.
(a : b)n = an : bm
M.C.D. e m.c.m.
Dati due o più numeri naturali, diversi da zero, si chiama massimo comun divisore (M.C.D.) il
numero più grande che divide esattamente tutti i numeri dati.
Per determinare il M.C.D. si procede come segue:
- si scompongono i vari numeri dati in fattori primi;
- si moltiplicano tra di loro i fattori comuni trovati considerando il minore esponente con cui
compaiono.
Un numero si dice numero primo quando è divisibile per 1 e per se stesso.
168, 540, 1980
FARE SCOMPOSIZIONE
Dati due p più numeri naturali, diversi da zero, si chiama minimo comune multiplo (m.c.m.) il più
piccolo fra i multipli comuni ai numeri dati (diverso da zero).
Per determinare il m.c.m. si procede come segue:
- si scompongono i vari numeri dati in fattori primi;
- si moltiplicano tra di loro i fattori comuni e non comuni trovati considerando il maggiore
esponente tra i fattori comuni presenti.
10,
25, 40
FARE SCOMPOSIZIONE
Il m.c.m. gode della seguente proprietà:
a x b
m.c.m. (a,b)= ------------------M.C.D. (a,b)
80 = 24 x 5
15= 3 x 5
80 x 15
m.c.m. = --------------- = 240
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